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Analyse combinatoire cours corrige 2

février CORRIGE II Permutations sans répétitions et notation factorielle I Introduction Analyse combinatoire ème - Les di ?érents modèles mathématiques construits pour étudier les phénomènes o? intervient le hasard sont basés sur la notion de probabilité Celle-ci exige des dénombrements d ? ensembles ?nis C ? est l ? objet d ? étude de l ? analyse combinatoire Toute suite d ? éléments choisis parmi les éléments d ? un ensemble ?ni peut être ordonnée ou non selon que l ? on tient compte ou non de la position occupée par les éléments D'autre part la suite peut être avec ou sans répétitions selon qu'un même élément puisse être utilisé plusieurs ou une seule fois Exemples Si on jette un dé combien de résultats distincts sont-ils possibles Combien y a-t-il de mains ? di ?érentes au poker Combien peut-on former d ? anagrammes du mot Analyse ? De combien de façons peut-on choisir personnes parmi Combien existe-t-il de nombres compris entre et ' commençant par un chi ?re impair et contenant des chi ?res di ?érents II Permutations sans répétitions et notation factorielle Exercice II a De combien de manières di ?érentes peut-on placer personnes l'une à côté de l'autre b Combien de nombres peut-on écrire en utilisant exactement une fois chacun des chi ?res de à a Il y a choix pour la ère place choix pour la ème place puis choix puis puis choix Donc il y a manières di ?érentes de placer ces personnes b Il y a choix pour le premier chi ?re puis puis etc jusqu'à choix pour la dernière place Donc il y a nombres que l'on peut écrire de la manière demandée Dé ?nition et formule On dispose de n objets distincts Une permutation de n objets est une manière de placer ces n objets distincts sur une rangée Le nombre de permutations de n objets est noté Pn et vaut Pn n n ?? n ?? Explication Il y a n choix pour placer le er objet n ?? pour le ème pour l'avant dernier et pour le dernier Remarque Deux permutations distinctes ne di ?èrent que par l ? ordre des objets les composant Exercice II a Combien y a-t-il de possibilités d ? aligner élèves b A raison de secondes par permutations combien de temps faudrait-il pour épuiser toutes les possibilités a Il y a P ' ' possibilités d'aligner ces élèves b Il faudrait ' ' ' ?? années pour épuiser toutes ces possibilités Cfévrier CORRIGE II Permutations sans répétitions et notation factorielle II Notation factorielle Analyse combinatoire ème - Nous venons de voir que le produit n n ?? n ?? intervient naturellement dans le dénombrement du nombre de permutation de n objets Ce produit intervient encore dans de nombreux dénombrements donc la notation n a été introduite pour le décrire Le nombre n se lit n factorielle ? Donc n n n ?? n ?? Remarque La touche PRB de la calculatrice TI ou TI permet de