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30/10/2021 1 Chapitre N°2: lois Usuelles Les lois continues Loi normale ou loi

30/10/2021 1 Chapitre N°2: lois Usuelles Les lois continues Loi normale ou loi de Gauss Une variable aléatoire réelle X suit une loi normale (ou loi gaussienne, loi de Laplace- Gauss) d’espérance µ et d’écart type σ (nombre strictement positif, car il s’agit de la racine carrée de la variance σ²) si cette variable aléatoire réelle X admet pour densité de probabilité la fonction p(x) définie, pour tout nombre réel x, par : 30/10/2021 2 Loi normale ou loi de Gauss La densité de probabilité d’une loi normale Une telle variable aléatoire est alors dite variable gaussienne. 30/10/2021 3 Loi normale ou loi de Gauss Notation: Une loi normale sera notée de la manière suivante N(µ, σ) car elle dépend de deux paramètres µ (la moyenne) et σ(l’écart-type). Ainsi si une variable aléatoire X suit N(µ, σ) alors: E(X) = µ et V(X) = σ² . 30/10/2021 4 Loi normale ou loi de Gauss Cas Particulier Lorsque la moyenne µ = 0, et σ² =1, la loi sera notée N(0, 1) et sera appelée loi normale standard. Sa densité de probabilité f est définie sur IR par: 30/10/2021 5 Remarque f est continue, dérivable, strictement positive sur IR f est paire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées 30/10/2021 6 Courbe représentative de la densité de probabilité d’une N(0,1) 30/10/2021 7 Courbe représentative de la densité de probabilité d’une N(0,1)  30/10/2021 8 Remarques   30/10/2021 9 Fonction de répartition Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. La fonction de répartition associée à la variable X est la fonction F définie par: 30/10/2021 10 Fonction de répartition 30/10/2021 11 Fonction de répartition 30/10/2021 12 Fonction de répartition 30/10/2021 13 Fonction de répartition La fonction F ne peut pas s’exprimer à l’aide de fonctions usuelles. On ne connait pas la primitive explicite de la fonction f définie par: On peut utiliser la calculatrice ou un tableur pour obtenir une valeur approchée de la probabilité cherchée 30/10/2021 14 Exemple X suit une loi N(0;1) 1) Calculer avec Excel Formule Excel: =loi.Normale(2;0;1)- loi.Normale(-2;0;1) 2)Calculer Formule Excel: =1-loi.Normale(-3;0;1) 3) Calculer =loi.Normale(3;0;1) 30/10/2021 15 Propriété Soit X une variable aléatoire suivant la loi N(0;1). F la fonction de répartition associée à X. Pour tout nombre réel x, on a F(-x)=1-F(x) Application Utiliser la propriété précédente pour calculer: 30/10/2021 16 Application F(1,63)=0,975 donc f(-1,96)=1-f(1,96)=1- 0,975=0,025 Par suite P(-1,96≤X≤1,96)=F(1,96)-F(-1,96)=0,975- 0,025=0,4 P(x<-1,96)=P(X>1,96)=0,025 30/10/2021 17 La loi de khi-deux ( ) Soit une série de variables aléatoires indépendantes de même loi N(0,1). Alors la variable aléatoire suit une loi de Khi-deux à v degrés de liberté, notée (n). 30/10/2021 18 Fonction caractéristique La fonction caractéristique de la loi de est: 30/10/2021 19 La densité de probabilité Où 30/10/2021 20 Espérance et variance E(Y)=n et v(Y)=2n 30/10/2021 21 Densité de probabilité La courbe de densité de probabilité de (n) a pour équation ೣ మ ೙ మ où k est tel que l’aire sous la courbe vaut 1. on observe que lorsque n augmente, la courbe de densité de (n) se rapproche d’une courbe de Gauss. 30/10/2021 22 Densité de probabilité 30/10/2021 23 Remarque Si k > 100 on peut, grâce au théorème central limite, approximer la loi (n) par la loi N(n, 2n). 30/10/2021 24 Loi de Student Soient Z et Q deux variables aléatoires indépendantes telles que Z suit N(0,1) Q suit (n) alors: ೂ ೙ suit une loi de Student de n degrés de liberté, noté St(n) 30/10/2021 25 Densité de probabilité La densité de probabilité d’une loi de Student à n degrés de liberté est: 30/10/2021 26 Espérance et variance L’espérance n’est pas définie pour n=1 et vaut 0 si n≥2 La variance n’existe pas pour n≤2 et vaut si n≥3 30/10/2021 27 Remarque La loi de Student converge vers la loi normale centrée et réduite à partir de n>30 30/10/2021 28 Loi de Fisher Soient Q1 et Q2 deux variables aléatoires indépendantes telles que Q1 suit une loi de (v1) et Q2 suit une loi de (v2) alors la variable aléatoire: F= ೂభ ೡభ ೂమ ೡమ suit une loi de Fisher à (v1, v2 ) degrés de liberté, notée F(v1, v2 ) 30/10/2021 29 Densité de probabilité భ భ భ మ 30/10/2021 30 Espérance et variance Son espérance n’existe que si v2>2 et vaut మ మ Sa variance n’existe que si v2>4 et vaut మ మ భ మ భ మ మ 30/10/2021 31 Fonctions inverses et tableur Loi Notation Variable Fct Répartition V. Critiqu e Fonction Inverse Gauss N(0,1) Z Loi.normale.standard(z) zࢻLoi.normale.standar d.inverse(1-α) Khi- Deux (n) K² Khideux(k,n,1) α;n Khideux.inverse(α;n ;1) Student St(n) T Loi.student(t;n;1) tα;n Loi.student.inverse( α,n) Fisher F(v1,v2) F Loi.f(f;v1;v2) fα;v1; v2 Inverse.loi.f(α;v,;v2) 30/10/2021 32 30/10/2021 33 Soit X un variable aléatoire , E(X) = µ et V(X)=σ². Cette inégalité permet de montrer que la probabilité d’une v.a X s’approchant d’une valeur centrale, soit E(X), est une probabilité forte, connaissant la valeur de l’écart type de la v.a, on peut toujours choisir ε assez grand pour que la probabilité relative à l’intérieur de [µ- ε; µ+ε] quelque soit la loi de prob de X proche de 1. Cette inégalité nous permettra de démontrer la loi des grands nombres L’inégalité de Beyame Tchebyshev 30/10/2021 34 Énoncée de la loi des grands nombres On considère N épreuves consécutifs et indépendants au cours de chaque épreuve un événement A Tchebychev pour prob p=P(A). Sur ces N épreuve on considère Sn réalisation de l’événement A, autrement dit on construit un échantillon de taille n pour lequel Sn est le nombre de réalisation de A. Théorème Il suffit de tirer un échantillon suffisamment grand comportant une proportion d’individus type pour que la fréquence observée soit presque au voisinage de p 30/10/2021 35  Lorsque on répète n fois une épreuve dans les même condition, la fréquence d’apparition d’un certain résultat est définie par fn=Xn/n  Lorsque on a n v.a identiques, leurs moyenne est une v.a dont la distribution devient de plus en plus stable lorsque n augmente.  On considère une v.a, à partir d’un échantillon de taille n de valeur Xi. L’évaluation de ces caractéristiques tendre à être plus précises lorsque n augmente. La loi des grands nombres 30/10/2021 36 Théorème central limite Il présente une condition pour qu’une v.a converge vers une variable normale. Étant donner une suite de v.a indp X1,… Xn et de même loi (i.i.d). Soit donc la v.a Sn= ∑Xi Les lois discrètes Loi de Bernoulli Si une épreuve ne présente que deux issues ( = résultats) possibles, on l'appelle épreuve de Bernoulli. Les deux résultats sont appelés succès et échec. 30/10/2021 37 Loi de Bernoulli Soit une épreuve de Bernoulli et soient S et E les deux résultats possibles. On pose : P(S)=p et P(E)=1-p On appelle X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si l'issue est S et la valeur 0 si l'issue est E. X suit une loi de bernouilli B(p) E(X)=p et V(X)=p(1-p) 30/10/2021 38 Loi Binomiale Soit une épreuve de Bernoulli et soit p la probabilité d'obtenir un succès (et donc q = 1 - p, la probabilité d'un échec). Si l'épreuve est répétée n fois dans les conditions du schéma de Bernoulli, c'est-à-dire que les épreuves sont identiques et indépendantes. Alors à partir de Bernoulli on peut simuler une variable binomiale B(n,p) en utilisant le fait q’une Binomiale est une somme de n variables de Bernouilli indépendantes 30/10/2021 39 Loi binomiale Si Y une variable suit une loi binomiale B(n,p) E(y)=np et V(Y)=np(1-p) K=nombre de succès. 30/10/2021 40 Loi de poisson La loi de poisson peut modéliser les événements rares. Par exemple, elle peut modéliser le nombre d’appels reçus par un standard téléphonique, le nombre de voyageurs se présentant à un guichet dans la journée, etc. Cette loi s’exprime à l’aide de la fonction exponentielle et dépend d’un paramètre λ > 0, qui correspond au nombre moyen d’occurrence du phénomène 30/10/2021 41 Loi de poisson Soit Z une variable aléatoire suivant une loi de poisson de paramètre λ. E(Z)= V(Z)= λ 30/10/2021 42 Exemple Si on sait qu’en général un standard téléphonique reçoit 20 appels dans la journée et que l’on peut modéliser le nombre aléatoire d’appels par une loi de Poisson, on pourra calculer la probabilité d’avoir k appels, pour tout k, à l’aide des formules données par une loi de Poisson P(20). 30/10/2021 43 Proposition Soit Xn des v.a telle que Xn B(n, pn) et Y P(λ) alors pour tout 0 ≤ k ≤ n, on a si alors Plus généralement La loi Binomiale peut être approximée par la loi de Poisson de paramètre λ = n.p si les conditions suivantes sont vérifiées : n est grand et généralement ≥ 30 p < 0.1 30/10/2021 44