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TS Spé-maths Corrigé du contrôle n°1 G. Guidini Terminale S Spécialité Maths. C

TS Spé-maths Corrigé du contrôle n°1 G. Guidini Terminale S Spécialité Maths. CORRIGÉ DU CONTRÔLE N°1 Exercice 1 1. Déterminons le nombre de multiples de 67 compris entre – 1789 et 2013. Tout multiple de 67 est de la forme 67k où k est un entier relatif. Ceux qui sont compris entre – 1789 et 2013 sont tels que 1789 67 2013. k    Or, 1789 2013 1789 67 2013 26 30 67 67 k k k          (car k est un entier). Il y a 57 valeurs possibles pour k (26 négatives, une nulle et 30 positives). Donc il y a 57 multiples de 67 compris entre – 1789 et 2013. 2. Déterminons l’ensemble S des entiers relatifs n tels que 2 3 n  divise 35. L’ensemble des diviseurs de 35 est :   35 35; 7; 5; 1;1;5; 7;35 . D     S est donc l’ensemble des entiers relatifs n tels que 2n + 3 appartienne à 35. D Or,     35 2 3 2 38; 10; 8; 4; 2; 2; 4;32 19; 5; 4; 2; 1;1; 2;16 n D n n             L’ensemble des entiers relatifs n tels que 2 3 n  divise 35 est donc   S 19; 5; 4; 2; 1;1; 2;16      3. Déterminons l’ensemble des couples d’entiers naturels (x ; y) tels que 2 2 4 15. x y   2 2 4 15 (2 )(2 ) 15. x y x y x y       x et y étant deux entiers naturels, on a 2 0. x y    Si le couple (x ; y) est solution de l’équation précédente alors 2 et 2 x y x y   sont deux diviseurs positifs associés de 15. Or les diviseurs positifs de 15 sont : 1, 3, 5 et 15. On a 2 2 x y x y    (puisque 0). y  On a donc deux possibilités : 2 1 2 3 ou 2 15 2 5 x y x y x y x y               Par addition on obtient : 4 16 4 8 4 2 ou ce qui équivaut à ou 2 15 2 5 7 1 x x x x x y x y y y                        Réciproquement, on vérifie que (4 ; 7) et (2 ; 1) sont bien solutions de l’équation 2 2 4 15. x y   On conclut : les couples d’entiers naturels (x ; y) solutions de l’équation 2 2 4 15 x y   sont (4 ; 7) et (2 ; 1). Remarque : si on avait demandé de déterminer les couples d’entiers relatifs solutions de cette équation, il aurait suffi de remarquer que si le couple (x ; y) est solution alors les couples (x ; – y), (– x ; y) et (– x ; – y) le sont aussi. Cela permet de limiter la recherche aux seuls couples d’entiers naturels, puis à donner ensuite toutes les solutions : (4; 7), ( 4; 7), (4; 7), ( 4; 7), (2;1), ( 2;1), (2; 1 ), ( 2; 1).         Exercice 2 1. Le nombre 474 747 est obtenu en juxtaposant trois fois le nombre 47.  474 747 = 3×158 249 donc 474 747 est divisible par 3.  474 747 = 7×67 821 donc 474 747 est divisible par 7.  474 747 = 13×36 519 donc 474 747 est divisible par 13.  474 747 = 37×12 831 donc 474 747 est divisible par 37. 2. Démontrons que cette propriété est vraie quel que soit le nombre à deux chiffres choisi. En juxtaposant trois fois le nombre ab , on obtient le nombre . ababab Or     5 4 3 2 5 3 4 2 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1 . ababab a b a b a b a b                      4 2 4 2 4 2 10 10 10 1 10 10 1 10 10 1 10 10101 . ababab a b a b ab             10101 3 7 13 37   Donc 3 7 13 37 ababab ab    On en déduit que : Quels que soient les chiffres a et b, le nombre ababab est divisible par 3, par 7, par 13, par 37 et ... par . ab TS Spé-maths Corrigé du contrôle n°1 G. Guidini Exercice 3 Soit n un entier relatif quelconque. 1. 2 2 ( 4)(2 9) 28 2 9 8 36 28 2 8. n n n n n n n            2. Démontrons que n + 4 est un diviseur de 2 2 8 n n   si, et seulement si, n + 4 est un diviseur de 28.  Supposons que n + 4 divise 2 2 8. n n   Il est clair que n + 4 divise aussi ( 4)(2 9), n n   on en déduit que n + 4 divise la différence   2 2 8 ( 4)(2 9). n n n n      Donc n + 4 divise 28.  Réciproquement, supposons que n + 4 divise 28. Sachant que n + 4 divise aussi( 4)(2 9), n n   on en déduit que n + 4 divise la somme ( 4)(2 9) 28. n n    Donc n + 4 divise 2 2 8. n n   On a ainsi démontré l’équivalence : n + 4 divise 2 2 8 n n   si, et seulement si, n + 4 divise 28 3. Déterminons les valeurs de n pour lesquelles le nombre 2 2 8 4 n n n    est un entier relatif. 2 2 8 4 n n n    est un entier relatif si, et seulement si n + 4 divise 2 2 8 n n   c’est-à-dire si, et seulement si n + 4 divise 28. Or l’ensemble des diviseurs de 28 est :   28 28; 14; 7; 4; 2; 1;1; 2; 4; 7;14; 28 . D         2 28 2 8 4 32; 18; 11; 8; 6; 5; 3; 2; 0;3;10; 24 4 n n n D n n               Exercice 4 On se propose de déterminer les points à coordonnées entières de la courbe C d’équation 8 . 2 5 x y x    1. Condition nécessaire. On suppose qu’il existe un couple (x ; y) d’entiers relatifs tels que 8 . 2 5 x y x    a) Montrons que, dans ce cas, 2 5 x  divise 2 16. x  Si 8 2 5 x x   est un entier alors 2 5 x  divise x + 8. On en déduit que 2 5 x  divise tout multiple de x + 8 en particulier 2(x + 8). Donc 2 5 x  divise 2x + 16. b) On vient de montrer que 2 5 x  divise 2x + 16. Or 2x – 5 divise aussi 2x – 5. On en déduit que 2x – 5 divise la différence (2 16) (2 5), x x    c’est-à-dire divise 21. Or l’ensemble des diviseurs de 21 est :   21 21; 7; 3; 1;1;3; 7; 21 D     On en déduit que si un point M(x ; y) de la courbe C a des coordonnées entières, alors 2x – 5 est nécessairement un diviseur de 2x – 5 – 21 – 7 – 3 – 1 1 3 7 21 2x – 16 – 2 2 4 6 8 12 26 x – 8 – 1 1 2 3 4 6 13 21 et x est nécessairement une valeur de la dernière ligne du tableau. 2. Condition suffisante. a) Toutes les valeurs de l’ensemble   E 8; 1;1; 2; 3; 4; 6;13   répondent-elles au problème posé ? Autrement dit, si un point de la courbe a son abscisse dans l’ensemble E, son ordonnée est-elle entière ? Il suffit de calculer la valeur de 8 2 5 x uploads/s1/ corr-controle-1-ts-spe.pdf