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Lycée Berthelot L.Gulli Page 1 sur 1 Corrigé exercice Dichotomie Corrigé exerci

Lycée Berthelot L.Gulli Page 1 sur 1 Corrigé exercice Dichotomie Corrigé exercice 2 Méthode de dichotomie pour la résolution d’une équation 0 = ) x ( f Théorème : Soit f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [ ] 0 0 b ; a telle que 0 0 0 ≤ × ) b ( f ) a ( f , le corollaire du TVI assure alors que l’équation 0 = ) x ( f admet une unique solution α dans [ ] 0 0 b ; a . Donc [ ] 0 0 b ; a est donc un encadrement de α d’amplitude 0 0 a b − Etude d’un exemple : Ici f est la fonction définie sur R par 1 2 3 − + = x x ) x ( f Justifier que 0 = ) x ( f a une unique solution α dans R , montrer que 1 0 ≤ ≤α Corrigé : f est un polynôme donc dérivable sur R. Pour tout R x∈ , 0 2 2 3 > ≥ + = ² x ) x ( ' f Donc f est strictement croissante sur R. −∞ = = −∞ → −∞ → 3 x lim ) x ( f lim x polynôme x ; +∞ = = +∞ → +∞ → 3 x lim ) x ( f lim x polynôme x ; et ] [ +∞ ∞ − ∈ ; 0 Le TVI assure alors que l’équation 0 = ) x ( f admet une unique solution α dans R. De plus f est une fonction continue et strictement croissante sur l’intervalle [ ] 1 0; , car sur R, et 0 125 0 1 0 ≤ − = × , ) ( f ) ( f , le corollaire du TVI assure alors que l’équation 0 = ) x ( f admet une unique solution α dans [ ] 1 0; . Conséquence:L’équation 0 = ) x ( f admet une unique solution α dans R, et [ ] 1 0; ∈ α Mettre en place sur une feuille Excel le calcul d’un encadrement à d’amplitude 3 10− de la solution de l’équation 0 1 2 3 = − + = x x ) x ( f , par la méthode de Dichotomie. Corrigé : n an bn M=(an+bn)/2 f(an) f(M) f(an)*f(M) bn-an test 0 0 1 0,5 -1 0,125 -0,125 1 continuer 1 0 0,5 0,25 -1 -0,484375 0,484375 0,5 continuer 2 0,25 0,5 0,375 -0,484375 -0,19726563 0,09555054 0,25 continuer 3 0,375 0,5 0,4375 -0,19726563 -0,04125977 0,00813913 0,125 continuer 4 0,4375 0,5 0,46875 -0,04125977 0,04049683 -0,00167089 0,0625 continuer 5 0,4375 0,46875 0,453125 -0,04125977 -0,00071335 2,9433E-05 0,03125 continuer 6 0,453125 0,46875 0,4609375 -0,00071335 0,01980734 -1,413E-05 0,015625 continuer 7 0,453125 0,4609375 0,45703125 -0,00071335 0,00952607 -6,7954E-06 0,0078125 continuer 8 0,453125 0,45703125 0,45507813 -0,00071335 0,00440115 -3,1396E-06 0,00390625 continuer 9 0,453125 0,45507813 0,45410156 -0,00071335 0,0018426 -1,3144E-06 0,00195313 continuer 10 0,453125 0,45410156 0,45361328 -0,00071335 0,0005643 -4,0254E-07 0,00097656 Stop [ ] 4541016 0 4531250 0 , ; , ∈ α ; amplitude =0,000 9766 < 0,001 uploads/s1/ corrige-de-l-exercice-sur-la-dichotomie.pdf