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Université Chouaïb Doukkali- Faculté des Sciences Département de Mathématiques

Université Chouaïb Doukkali- Faculté des Sciences Département de Mathématiques Filière SMIA - Semestre 1 Module :Algèbre 1 Responsable du cours : A. Haïly AU : 18-19 Corrigé de la série de TD n◦2. Arithmétique dans Z Exercice 1. Déterminer les entiers n qui véri ent les relations suivantes : 1. n −4 | 3n −17. 2. n −1 | n + 3. 3. n + 2 | n2 + 2 Solution de l'exercice 1. 1. Soit n ∈Z tel que n −4 | 3n −17. On a alors n −4 | 3n −17 −3(n −4). Donc n −4 | 3n −17 −3n + 12. D'où n −4 | 5. Par conséquent n −4 ∈{−5, −1, 1, 5}. Ou encore n ∈{−1, 3, 5, 9} Réciproquement, si n ∈{−1, 3, 5, 9} alors on a n −4 ∈{−5, −1, 1, 5}. i.e. n −4 | 5. Par conséquent on a n −4 | 3(n −4) −5 = 3n −17. En conclusion : n −4 | 3n −17 ⇔n ∈{−1, 3, 5, 9}. 2. Soit n ∈Z tel que n −1 | n + 3. On a alors n −1 | n + 3 −n + 1 = 4. Donc n −1 ∈{−4, −2, −1, 1, 2, 4} d'où n ∈{−3, −1, 0, 2, 3, 5}. Réciproquement, si n ∈{−3, −1, 0, 2, 3, 5} alors on a n −1 ∈{−4, −2, −1, 1, 2, 4}. i.e. n −1 | 4. Par conséquent on a n −1 | (n −1) + 4 = n + 3. En conclusion : n −1 | n + 3 ⇔n ∈{−3, −1, 0, 2, 3, 5}. 3. Soit n ∈Z tel que n + 2 | n2 + 2. On a n + 2 | n2 + 2 −(n2 + 2n) + (2n + 4) = 6. Donc n + 2 ∈ {−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6}. D'où n ∈{−8, −5, −4, −3, −1, 0, 1, 4}. Réciproquement, si n ∈{−8, −5, −4, −3, −1, 0, 1, 4}, alors n+2 ∈{−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6}. i.e. n+2 | 6. Donc n + 2 | (n2 + 2n) −(2n + 4) + 6 = n2 + 2. En conclusion, n + 2 | n2 + 2 ⇔n ∈{−8, −5, −4, −3, −1, 0, 1, 4} Exercice 2. Résoudre dans Z les équations : 1. xy = 2x + 3y. 2. x2 −y2 + 10x −6y = 1. Solution de l'exercice 2. 1. Soient x, y ∈Z, alors : xy = 2x + 3y ⇔(x −3)(y −2) = xy −2x −3y + 6 = 6. Si x −3 = −6, x = −3, alors y −2 = −1. Donc y = 1. Le couple (−3, 1) est solution. Si x −3 = −3, x = 0, alors y −2 = −2. Donc y = 0. Le couple (0, 0) est solution. Si x −3 = −2, x = 1, alors y −2 = −3. Donc y = −1. Le couple (1, −1) est solution. Si x −3 = −1, x = 2, alors y −2 = −6. Donc y = −4. Le couple (2, −4) est solution. Si x −3 = 1, x = 2, alors y −2 = 6. Donc y = 8. Le couple (2, 8) est solution. Si x −3 = 2, x = 5, alors y −2 = 3. Donc y = 5. Le couple (5, 5) est solution. Si x −3 = 3, x = 6, alors y −2 = 2. Donc y = 4. Le couple (6, 4) est solution. Si x −3 = 6, x = 9, alors y −2 = 1. Donc y = 3. Le couple (9, 3) est solution. En conclusion l'ensemble des solutions est S = {(−3, 1), (0, 0), (1, −1), (2, −4), (2, 8), (5, 5), (6, 4), (9, 3)}. 2. Soient x, y ∈Z, alors : x2 −y2 + 10x −6y = 1 ⇔(x + 5)2 −(y + 3)2 −25 + 9 = 1 7→⇔(x + 5)2 −(y + 3)2 = 17 ⇔ (x + 5 + y + 3)(x + 5 −y −3) = 17 ⇔(x + y + 8)(x −y + 2) = 17. Si x+y+8 = −17 i.e. x+y = −25 alors x−y+2 = −1, donc x−y = −3. Par conéquent x = −25−3 2 = −14 et y = −25+3 2 = −11. Si x+y+8 = −1 i.e. x+y = −9 alors x−y+2 = −17, donc x−y = −19. Par conéquent x = −9−19 2 = −14 1 Université Chouaïb Doukkali- Faculté des Sciences Département de Mathématiques Filière SMIA - Semestre 1 Module :Algèbre 1 Responsable du cours : A. Haïly AU : 18-19 et y = −9+19 2 = 5. Si x + y + 8 = 1 i.e. x + y = −7 alors x −y + 2 = 17, donc x −y = 15. Par conéquent x = −7+15 2 = 4 et y = −7−15 2 = −11. Si x + y + 8 = 17 i.e. x + y = 9 alors x −y + 2 = 1, donc x −y = −1. Par conéquent x = 9−1 2 = 4 et y = 9+1 2 = 5. Donc l'ensemble des solutions de l'équation est S = {(−14, −11), (−14, 5), (4, −11), (4, 5)} Exercice 3. Résoudre dans Z les systèmes suivants : (S1) x ∧ y = 18 x + y = 360 (S2) x ∧ y = 18 xy = 6480 Solution de l'exercice 3. 1. Soient x, y ∈N, tels que x ∧y = 18 et x + y = 360. Posons x′ = x x∧y = x 18, y′ = y x∧y = y 18. Alors, x′ ∧y′ = 1 et x′ + y′ = 360 18 = 20. On a alors les couples (x′, y′) solutions : (1, 19), (3, 17), (7, 13), (9, 11), (11, 9), (13, 7), (17, 3), (19, 1). On multiplie alors x′ et y′ par 18, pour obtenir (x, y), d'où (x, y) ∈{(18, 342), (54, 306), (126, 234), (162, 198), (198, 162), (234, 126), (306, 54), (342, 18)}. 2. Soient x, y ∈N, tels que x∧y = 18 et xy = 6480. Posons encore x′ = x x∧y = x 18 et y′ = y x∧y = y 18. Alors, x′ ∧y′ = 1 et x′y′ = 6480 182 = 20. On a alors pour (x′, y′) les solutions suivantes :(1, 20), (4, 5), (5, 4), (20, 1). D'où (x, y) ∈{(18, 360), (72, 90), (90, 72), (360, 18)} Exercice 4. Soient m, n deux entiers, et a, b, c, d des entiers tels que ad −bc = 1. Montrer que (am + bn) ∧(cm + dn) = m ∧n Solution de l'exercice 4. Posons x = m ∧n et y = (am + bn) ∧(cm + dn). On a x | y d'une manière claire. Réciproquement, y | am + bn donc y | dam + dbn de même y | cm + dn, donc y | bcm + bdn. Par suite, y | dam + dbn −bcm −bdn = (ad −bc)m = m. y | cam + cbn et y | acm + adn. Par suite, y | acm + adn −acm −bcn = (ad −bc)n = n. En conclusion, y divise m et n, donc y | m ∧n = x. D'où x = y Exercice 5. Montrer que ∀n ∈N∗on a : 1. (n2 + n) ∧(2n + 1) = 1. 2. (3n2 + 2n) ∧(n + 1) = 1. Solution de l'exercice 5. 1. Posons d = (n2 + n) ∧(2n + 1) = 1. On alors d | 2(n2 + n) −n(2n + 1) = n. Donc d | 2n + 1 −2n = 1. D'où d = 1. 2. Posons d = (3n2 + 2n) ∧(n + 1). On a alors d | (3n2 + 2n) −3n(n + 1) = −n. Donc d | n + 1 −n = 1. D'où d = 1. Exercice 6. Montrer que ∀n ∈N∗il existe un couple unique (an, bn) ∈Z2 tel que (1+ √ 2)n = an +bn √ 2 et que an ∧bn = 1. Solution de l'exercice 6. Par récurrence, on démontre l'existence du couple (an, bn) ∈Z2 . Pour n = 1 le résultat est vraie. Soit n ∈N∗tel que (1 + √ 2)n = an + bn √ 2. On a (1 + √ 2)n+1 = (an + bn √ 2)(1 + √ 2) = an + 2bn + (an + bn) √ 2 = an+1 + bn+1 √ 2. On a alors (an+1, bn+1) = (an + 2bn, an + bn) ∈Z2. Unicité : a + b √ 2 = c + b √ 2 avec a, b, c, d ∈Z. Alors (a −c) + (b −d) √ 2 = 0. Si b −d ̸= 0, alors √ 2 = −a−c b−d ∈Q, ce qui est absurde. Donc b = d et a = c. 2 uploads/s1/ corrige-serie22.pdf