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OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES ÉPREUVE DE SÉLECTION 2012 – CORRIGÉ EXER

OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES ÉPREUVE DE SÉLECTION 2012 – CORRIGÉ EXERCICES POUR LES ÉLÈVES DE COLLÈGE ET DE SECONDE Exercice 1. Fred et Sarah sont les aînés d’une même et grande famille. Fred a deux fois moins de frères que de sœurs, tandis que Sarah a autant de sœurs que de frères. Combien d’enfants y a-t-il dans cette famille ? Solution de l’exercice 1 Notons f le nombre de ﬁlles et g le nombre de garçons de cette famille. Fred a donc g −1 frères et f sœurs, et le texte indique alors que f = 2(g −1). D’autre part, Sarah a elle f −1 sœurs et g frères, et l’énoncé nous dit alors que f −1 = g. En remplaçant g par f −1 dans la première égalité, on trouve f = 2 · (f −2), ce qui conduit à f = 4 puis à g = f −1 = 3, ce qui donne un total de 7 enfants. Exercice 2. Pour préparer un steak, il faut le cuire une minute sur chaque côté. On ne dispose que d’une seule poêle, dans laquelle on peut mettre deux steaks. a) Comment préparer quatre steaks en quatre minutes ? b) Comment préparer cinq steaks en cinq minutes ? On ne tient évidemment pas compte du temps perdu lors des manipulations. Solution de l’exercice 2 a) Il est clair que si l’on commence par cuire les steaks A et B ensemble pendant une minute, puis qu’on les retourne et qu’on les fait cuire à nouveau ensemble une minute, ces deux steaks seront alors cuits à souhait pour un temps total de deux minutes. Il sufﬁt alors de faire cuire les steaks C et D de la même façon pour obtenir nos quatre steaks cuits, pour un total de quatre minutes. b) Il est facile de vériﬁer que l’on peut adopter la stratégie du a) pour un nombre pair quelconque de steaks. Mais, pour un nombre impair cela ne fonctionne plus. Notons A, B, C, D, E les cinq steaks. Les faces du steak A sont notées A1 et A2, et on adopte des notations similaires pour les autres steaks. Pour atteindre l’objectif souhaité, on peut alors utiliser la procèdure suivante : on fait cuire une minute chacune des paires de faces A2, B1, puis B2, C1, puis C2, D1, puis D2, E1, puis E2, A1. 1 Exercice 3. Sur une boîte rectangulaire de dimension 6 cm × 4 cm, on a placé un ruban en diagonale comme le montre la ﬁgure ci-dessous (le ruban est représenté en gris sur la ﬁgure). A B C D On a mesuré AB = 1 cm et BC = 5 cm. Calculer la largeur du ruban. Solution de l’exercice 3 Pour trouver la largeur du ruban nous allons calculer la surface A du trapèze ABCD de deux façons différentes. L’aire d’un trapèze vaut base × hauteur. En prenant la base CD on trouve A = 1 × 4 = 4 cm2. Si l est la largeur du ruban, en calculant A avec les base BC, on trouve A = 5 × l. On en déduit que l = 4 5. Exercice 4. Autour d’une même table sont assises 2013 personnes qui ont toutes des tailles différentes. On dit qu’une personne est grande si elle est plus grande que ses deux voisins, et qu’elle est petite si elle est plus petite que ses deux voisins. Prouver que, quelle que soit la répartition choisie autour de la table, il y a autant de personnes grandes que de petites. Solution de l’exercice 4 En tournant dans le sens des aiguilles d’une montre, entre deux personnes consécutives quelconques, on inscrit un + si la deuxième personne est plus grande que la première, et un −sinon. On obtient ainsi une suite de 2013 symbôles + et −. Une grande personne correspond alors à la succession +−, tandis qu’une petite correspond à la succession −+. Il s’agit donc de prouver qu’il y a autant d’alternances +−que d’alternances −+. Or, dans cette suite de 2013 symbôles, si l’on part d’un symbôle + (par exemple celui écrit à la droite de la personne qui a la plus haute taille de toutes), et que l’on considère les groupes de symbôles identiques et consécutifs comme un seul et même symbôle, cela ne change pas les alternances +−ou les alternances −+. Par contre, dans ces conditions, la nouvelle suite obtenue n’est qu’une succession d’alternances +−+−+ · · · . Et, puisque l’on doit revenir au point de départ, il y a donc autant d’alternances +−que de −+, ce qui est bien la conclusion demandée. Exercice 5. Prouver que le nombre 102011 + 102012 + 102013 est divisible par 37. Solution de l’exercice 5 On a 102011 + 102012 + 102013 = 102011(1 + 10 + 100) = 102011 × 111 = 102011 × 3 × 37, d’où le résultat. 2 Exercice 6. On considère une étoile régulière à cinq branches (cf.ﬁgure). x Déterminer l’angle x indiqué sur la ﬁgure. Solution de l’exercice 6 Première solution. Une fourmi qui parcourt l’étoile en commençant par le milieu d’une arête fera deux tours complets en tournant 5 fois d’angle 180◦−x. On trouve donc 5(180◦−x) = 2 ∗360◦. On en tire que x = 36◦. Deuxième solution. Inscrivons l’étoile dans un cercle. L’angle au centre qui correspond à x vaut un cinquième du circle, soit 360/5 = 72. Par conséquent x = 72/2 = 36◦. Troisième solution. Commençons par calculer les angles du pentagone intérieur. La somme des angles dans un pentagone fait 540◦(pour le voir, tracez deux diagonales pour découper le pentagone en 3 triangles, et 3 × 180 = 540), donc chaque angle mesure 540 5 = 108◦. Regardons maintenant un des triangles qui forment les pointes. Les angles à la base mesurent 180 −108 = 72◦, donc x = 180 −2 × 72 = 36◦. 108◦ 72◦ 36◦ 3 EXERCICES POUR LES ÉLÈVES DE PREMIÈRE ET TERMINALE Exercice 7. Prouver que le nombre 102011 + 102012 + 102013 est divisible par 37. Solution de l’exercice 7 On a 102011 + 102012 + 102013 = 102011(1 + 10 + 100) = 102011 × 111 = 102011 × 3 × 37, d’où le résultat. Exercice 8. On considère une étoile régulière à cinq branches (cf.ﬁgure). x Déterminer l’angle x indiqué sur la ﬁgure. Solution de l’exercice 8 Première solution. Une fourmi parcourt l’étoile en commençant par le milieu d’une arête fera deux tours complets en tournant 5 fois d’angle 180◦−x. On trouve donc 5(180◦−x) = 2 ∗360◦. On en tire que x = 36◦. Deuxième solution. Inscrivons l’étoile dans un cercle. L’angle au centre qui correspond à x vaut un cinquième du circle, soit 360/5 = 72. Par conséquent x = 72/2 = 36◦. Troisième solution. Commençons par calculer les angles du pentagone intérieur. La somme des angles dans un pentagone fait 540◦(pour le voir, tracez deux diagonales pour découper le pentagone en 3 triangles, et 3 × 180 = 540), donc chaque angle mesure 540 5 = 108◦. Regardons maintenant un des triangles qui forment les pointes. Les angles à la base mesurent 180 −108 = 72◦, donc x = 180 −2 × 72 = 36◦. 108◦ 72◦ 36◦ 4 Exercice 9. Trouver tous les couples (p, q) de nombres premiers pour lesquels les nombres 2p + q, p + 2q et p + q −18 sont tous les trois des nombres premiers. On rappelle qu’un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2, qui n’est divisible que par 1 et par lui-même. Solution de l’exercice 9 Soit p et q deux nombres premiers, s’il en existe, qui vériﬁent les conditions demandées. Puisque p ⩾2 et q ⩾2, on a 2p + q ⩾6 et p + 2q ⩾6. S’agissant de nombres premiers, c’est donc que 2p + q et p + 2q sont impairs, et ainsi que p et q sont impairs. Mais alors le nombre p + q −18 est un nombre pair et premier, d’où p + q −18 = 2. Nous sommes donc amenés à chercher les nombres premiers p et q tels que p+q = 20. Une exploration directe et "à la main" montre alors que le couple (p, q) est l’un des couples (3, 17), (7, 13), (13, 7), (17, 3). Si l’on revient maintenant à la condition que 2p+q et p+2q sont premiers, on constate alors que seuls les cas p = 3, q = 17 et p = 17, q = 3 correspondent effectivement à des solutions du problème posé. Exercice 10. Soit ABC un triangle et I le centre de son cercle inscrit. On suppose que AI = BC et que d ICA = 2 d IAC. Quelle est la valeur de [ ABC ? Solution de l’exercice 10 Notons α l’angle d IAB et β l’angle d IBA. Par hypothêse, d ICA = 2α . A B C I α β 2α 90◦+ β Il est facile de vériﬁer que β = 90◦−3α et d IAC = uploads/s3/ 2012-10-test-ofm-corrige.pdf