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Traitement Analogique du Signal CNAM Saclay 2006 Aide mémoire mathématique Tria

Traitement Analogique du Signal CNAM Saclay 2006 Aide mémoire mathématique Triangle de Pascal ........................................................................................................................... 1 Dénombrement................................................................................................................................ 1 Trigonométrie.................................................................................................................................. 2 Logarithmes - Exponentielles........................................................................................................ 3 Nombres complexes ........................................................................................................................ 4 Dérivées........................................................................................................................................... 5 Série entière..................................................................................................................................... 6 Série de Fourier............................................................................................................................... 7 Transformée de Fourier................................................................................................................... 7 Transformée de Laplace.................................................................................................................. 8 Triangle de Pascal ( ) 1 0 = + b a 1 ( ) b a b a + = + 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 b ab a b a + + = + 1 2 1 ( ) 3 2 2 3 3 3 3 b ab b a a b a + + + = + 1 3 3 1 ( ) 3 3 2 2 3 4 4 4 6 4 b ab b a b a a b a + + + + = + 1 4 6 4 1 méthode de construction ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ (1 + 4) (4 + 6) (6 + 4) (4 + 1) (1 + 0) 1 = 5 = 10 =10 = 5 = 1 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ( ) 5 4 3 2 2 3 4 5 5 5 10 10 5 b ab b a b a b a a b a + + + + + = + 1 5 10 10 5 1 … 1 6 15 20 15 6 1 La forme générale est la suivante (voir : Série entière) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ = − − − − − = + + − − + + − + ⋅ + = + α α α α α α α α α α α α α α α 0 2 2 1 ! ! ! ... ! 1 .... 1 ... ! 2 1 n n n n n y x n n y x n n y x y x x y x Ú Ú Ú 1 α C 2 α C ( ) ! ! ! n n C n − = α α α formule de calcul des combinaisons Dénombrement Permutations : Combinaisons : Arrangements : n n × × × × = ... 3 2 1 ! opérateur factoriel ( ) ! ! ! p n p n C p n − = (p≤n) ( ) ! ! p n n A p n − = (p≤n) Sylvain LARRIBE Page 1/8 TAS_Formule_Math_2006.doc (.PDF) Imprimé le 17/03/2006 Traitement Analogique du Signal CNAM Saclay 2006 Trigonométrie 0° 30° 45° 60° 90° α 0 6 π 4 π 3 π 2 π α cos 1 5 . 0 2 1 = 0 α sin 0 5 . 0 2 1 = 707 . 0 2 2 ≈ 866 . 0 2 3 ≈ 1 α tan 0 577 . 0 3 3 ≈ 1 732 . 1 3 ≈ ∞ + α cot ∞ + 732 . 1 3 ≈ 1 577 . 0 3 3 ≈ 0 866 . 0 2 3 ≈ 707 . 0 2 2 ≈ Fonction paire (symétrie suivant l'axe 0y) : ) cos( ) cos( α α = − Fonction impaire (symétrie suivant l'origine 0) : sin( ) sin( ) α α − = − ) tan( ) tan( α α − = − M X 0 0 hypoténuse adjacent côté cos = = α M Y 0 0 hypoténuse opposé côté sin = = α α α α α cot 1 0 0 adjacent côté opposé côté cos sin 0 tan = = = = = X Y A AT α α α α tan 1 0 0 opposé côté adjacent côté sin cos 0 cot = = = = = Y X A BC 1 sin cos 2 2 = + α α α α 2 2 cos 1 tan 1 = + α α 2 2 sin 1 cot 1 = + ( ) b a b a b a sin sin cos cos cos ⋅ − ⋅ = + ( ) b a b a b a sin sin cos cos cos ⋅ + ⋅ = − ( ) a b b a b a cos sin cos sin sin ⋅ + ⋅ = + ( ) a b b a b a cos sin cos sin sin ⋅ − ⋅ = − ( ) b a b a b a tan tan 1 tan tan tan ⋅ − + = + ( ) b a b a b a tan tan 1 tan tan tan ⋅ + − = − a a a 2 2 sin cos 2 cos − = = 1 cos 2 2 − = a a 2 sin 2 1− a a a 2 2 tan 1 1 2 1 2 cos cos + = + = a a a cos sin 2 2 sin ⋅ = a a 2 tan 1 tan 2 + = 2 2 cos 1 sin 2 a a − = produit en somme ( ) ( ( ) b a b a b a − + + = ⋅ cos cos 2 1 cos cos ) ( ) ( ( ) b a b a b a + − − = ⋅ cos cos 2 1 sin sin ) ( ) ( ( ) b a b a b a − + + = ⋅ sin sin 2 1 cos sin ) somme en produit 2 cos 2 sin 2 sin sin q p q p q p − ⋅ + = + 2 cos 2 sin 2 sin sin q p q p q p + ⋅ − = − 2 cos 2 cos 2 cos cos q p q p q p − ⋅ + = + 2 sin 2 sin 2 cos cos q p q p q p − ⋅ + − = − ( ) ( ) ϕ ω θ ω ω ω + = + = + t C t C t B t A sin cos sin cos avec 2 2 B A + = C et A B arctan − = θ ou B A arctan = ϕ ou ϕ θ sin cos C C A = = et ϕ θ cos sin C C B = − = Sylvain LARRIBE Page 2/8 TAS_Formule_Math_2006.doc (.PDF) Imprimé le 17/03/2006 Traitement Analogique du Signal CNAM Saclay 2006 Logarithmes - Exponentielles Base des logarithmes népérien : 7 352 471 287 360 235 045 459 828 281 2,718 ≈ e Logarithme népérien : ( ) 1 ln = e Logarithme de base n : n x x n ln ln log = avec et 0 > x 0 > n Logarithme décimal (base 10) : 10 ln ln log10 x x = ou 10 ln ln log x x = ( ) b a b a ln ln ln + = × ( ) a b a log log log + = × ou b b a b a ln ln ln − = a n an ln ln = n a a n a n ln ln 1 ln = = 1,386 1,099 0,693 1,609 1,792 1,946 0,301 0,477 0,602 0,699 0,778 0,845 1,585 1 2 2,322 2,585 2,807 3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y=ln(x) Logarithmes y=log10(x) b a b a e e e + = ⋅ b a b a b a e e e e e − −= ⋅ = ( ) b a b a e e ⋅ = a n n e a ln = 2 ln 2 n n e = 10 ln 10 n n e = 148,413 54,598 20,086 100 10 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 y=ex Exponentielles y=10x y=log2(x) 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8 16 32 64 128 y = 2x = ex.ln(2) Sylvain LARRIBE Page 3/8 TAS_Formule_Math_2006.doc (.PDF) Imprimé le 17/03/2006 Traitement Analogique du Signal CNAM Saclay 2006 Nombres complexes La multiplication par j correspond à une rotation de 90° ou 2 π radians dans le plan complexe. 1 2 − = j forme algébrique jb a z + = avec a la partie réelle et b la partie imaginaire du nombre complexe z. forme trigonométrique θ ρ = z  avec ρ le module et θ l’argument. Passage de la forme algébrique à trigonométrique : 2 2 b a + = ρ et a b = θ tan ⇒ π θ k a b + = arctan Passage de forme trigonométrique à algébrique : θ ρ cos = a θ ρ sin = b soit ( ) θ θ ρ θ ρ θ ρ sin cos sin cos j j z + = + = Deux nombres complexes : 1 1 1 θ ρ = + = jb a z  et 2 2 2 θ ρ = + = jd c  uploads/s3/ aide-memoire-mathematique.pdf