Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

UNIVERSITÉS FRANCOPHONES U R E F ALGEBRE PREMIER CYCLE Saliou Touré EDICEF 58,

UNIVERSITÉS FRANCOPHONES U R E F ALGEBRE PREMIER CYCLE Saliou Touré EDICEF 58, rue Jean-Bleuzen 92178 VANVES Cedex Diffusion EDICEF ou ELLIPSES selon pays ©EDICEF, 1991 ISBN 2-850-69697-8 ISSN 0993-3948 La loi du 11 mars 1957 n'autorise, aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41, que « les copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation col- lective » d'une part, et, d'autre part, que « les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration », toute représentation ou reproduction, intégrale ou partielle, faite sans le consente- ment de l'auteur, ou de ses ayants-droit ou ayants-cause, est illicite (loi du 11 mars 1957, alinéa 1er de l'article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. SOMMAIRE INTRODUCTION Chapitre 1 : ENSEMBLES - APPLICATIONS - RELATIONS 9 1.1. Notion de logique 9 .1.1. Propositions - Connecteurs 9 .1.2. Quantificateurs 11 1.2. Ensembles 12 .2.1. Définitions et notations 12 .2.2. Parties d'un ensemble - Complémentaire 13 .2.3. Intersection et réunion de deux ensembles 14 .2.4. Produit d'ensembles 16 1.3. Applications 17 .3.1. Définitions - Exemples 17 .3.2. Compositions des applications 18 .3.3. Applications injectives, surjectives, bijectives 19 .3.4. Images directes et images réciproques 21 .3.5. Familles 23 .3.6. Fonctions de plusieurs variables 24 1.4. Relations dans un ensemble 25 .4.1. Définitions - Exemples 25 .4.2. Relations d'équivalence 26 .4.3. Relations d'ordre 29 .4.4. Applications monotones - Applications dans un ensemble ordonné 31 .4.5. Intervalles 32 1.5. Entiers naturels - Ensembles finis 33 .5.1. L'ensemble des entiers naturels 33 .5.2. Ensembles finis - Cardinaux 34 1.6. Ensembles dénombrables 37 .6.1. Définition - Exemples 37 .6.2. Propriétés élémentaires 38 1.7. Analyse combinatoire 40 .7.1. Arrangements avec répétition 40 .7.2. Arrangements sans répétition - Permutations 42 .7.3. Combinaisons sans répétition 43 Chapitre 2 : LOIS DE COMPOSITION 46 2.1. Généralités 46 2.1.1. Définitions - Notations - Exemples 46 2.1.2. Parties stables - Lois induites 47 2.1.3. Composé de deux parties 47 2.1.4. Translations 48 2.2. Propriétés des lois de composition internes 48 2.2.1. Lois associatives 48 2.2.2. Lois commutatives 49 2.2.3. Élément neutre 50 2.2.4. Éléments symétrisables 52 2.2.5. Distributivité 54 2.2.6. Loi quotient 54 2.3. Morphismes 55 2.3.1. Définition - Exemples 55 2.4. Lois de composition externes 56 2.4.1. Définition - Notation 56 2.4.2. Parties stables - Lois induites 56 2.4.3. Restriction du domaine d'opérateurs 56 COURS D'ALGÈBRE Chapitre 3 : GROUPES 57 3.1. Généralités 57 3.1.1. Définitions - Exemples 57 3.2. Sous-groupes d'un groupe 59 3.2.1. Définition et caractérisation d'un sous-groupe .: 59 3.2.2. Sous-groupe engendré par une partie 60 33. Morphismes de groupes 62 3.3.1. Définitions-Exemples 62 3.3.2. Propriétés des morphismes de groupes 63 3.4. Groupes-quotients 65 3.4.1. Classes modulo un sous-groupe 65 3.4.2. Groupes-quotients 67 3.4.3. Décomposition canonique d'un homomorphisme 68 3.4.4. Applications aux groupes cycliques 70 3.5. Groupes symétriques 72 3.5.1. Généralités 72 3.5.2. Transpositions 73 3.5.3. Signature d'une permutation 74 3.6. Groupes opérant sur un ensemble 77 3.6.1. Définitions - Exemples 77 3.6.2. Sous-groupe d'isotropie - Orbites 78 Chapitre 4 : ANNEAUX ET CORPS 80 4.1. Structure d'anneaux 80 4.1.1. Définitions - Exemples 80 4.1.2. Règles de calcul dans un anneau 83 4.1.3. Propriétés élémentaires des anneaux 85 4.2. Sous-anneaux - Idéaux - Anneaux-quotients 87 4.2.1. Sous-anneaux 87 4.2.2. Idéaux 88 4.2.3. Anneaux-quotients 90 43. Morphismes d'anneaux 91 4.3.1. Définition et propriétés des morphismes d'anneaux 91 4.3.2. Décomposition canonique d'un morphisme d'anneaux 92 4.3.3. Caractéristique d'un anneau 93 4.4. Divisibilité dans un anneau 94 4.4.1. Généralités 94 4.4.2. Plus grand commun diviseur 95 4.4.3. Plus petit commun multiple 98 4.5. Corps 99 4.5.1. Définitions - Propriétés fondamentales 99 4.5.2. Sous-corps - Idéaux d'un corps - Morphismes de corps 100 4.5.3. Corps des fractions d'un anneau commutatif intègre 102 Chapitre 5 : POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES 104 5.1. Définitions générales 104 5.2. Structure d'anneau de K[X\ 105 5.2.1. Addition de deux polynômes 105 5.2.2. Multiplication de deux polynômes 106 5.3. Notation définitive 109 5.3.1. Immersion de A T dans ATm 109 5.3.2. Notion d'indéterminée 110 5.4. Propriétés arithmétiques de K[X] 110 5.4.1. Division euclidienne dans K[X\ 111 5.4.2. Idéaux de K[X] 113 5.4.3. Plus grand commun diviseur 114 5.4.4. Plus petit commun multiple 117 5.4.5. Polynômes irréductibles 118 5.5. Division suivant les puissances croissantes 120 5.6. Fonctions polynômes - Racines d'un polynôme 123 SOMMAIRE 5.6.1. Fonctions polynômes 123 5.6.2. Racines d'un polynôme 124 5.7. Étude de C[X] et de K[X] 126 5.7.1. Corps algébriquement clos 126 5.7.2. Polynômes de C[X\ 128 5.7.3. Polynômes de R[X] 129 5.7.4. Relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme 130 5.8. Dérivation des polynômes 131 5.8.1. Dérivée d'un polynôme 131 5.8.2. Formule de Taylor 133 5.9. Polynômes à plusieurs indéterminées 135 5.9.1. Définitions générales 136 5.9.2. Isomorphisme canonique de K[X] [Y] sur K[X,Y] 137 5.9.3. Degrés d'un polynôme à deux indéterminées 138 5.9.4. Fonctions polynômes 138 5.9.5. Dérivation partielle des polynômes 139 5.10.Définition du corps des fractions rationnelles 141 5.10.1. Fractions rationnelles 142 5.10.2. Fonction rationnelle 144 5.11.Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples 146 5.11.1. Théorèmes généraux 146 5.11.2. Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle sur C 149 5.11.3. Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle sur R 152 Chapitre 6 : ESPACES VECTORIELS 155 6.1. Définition d'un espace vectoriel 155 6.1.1. Définitions 155 6.1.2. Règles de calcul dans un espace vectoriel 156 6.1.3. Exemples d'espaces vectoriels 157 6.2. Sous-espaces vectoriels 159 6.2.1. Définitions - Exemples 159 6.2.2. Intersection de sous-espaces vectoriels. Sous-espace engendré par une partie d'un espace vectoriel 160 6.2.3. Espaces vectoriels quotients 161 6.2.4. Somme de sous-espaces vectoriels 161 6.3. Familles génératrices - Familles libres - Bases 165 6.3.1. Familles génératrices 165 6.3.2. Familles libres 167 6.3.3. Bases d'un espace vectoriel 168 6.3.4. Familles infinies 170 Chapitre 7 : APPLICATIONS LINÉAIRES 172 7.1. Généralités 172 7.1.1. Définitions 172 7.1.2. Exemples 173 7.2. Propriétés des applications linéaires 174 7.2.1. Composée de deux applications linéaires 174 7.2.2. Image et noyau d'une application linéaire 175 7.2.3. Applications linéaires et familles de vecteurs 176 7.2.4. Décomposition canonique d'une application linéaire 180 7.3. L'espace vectoriel X(E, F) 181 7.3.1. Addition dans M.E, F) 182 7.3.2. Produit d'une application linéaire par un scalaire 182 7.3.3. Cas particulier : E = F 183 7.4. Projecteurs 184 7.4.1. Définition 184 7.4.2. Propriétés des projecteurs 185 Chapitre 8 : ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 187 8.1. Le théorème de la dimension 187 COURS D'ALGÈBRE 8.1.1. Existence de bases en dimension finie 187 8.1.2. Dimension 188 8.1.3. Dimension d'un sous-espace vectoriel 192 8.2. Applications linéaires en dimension finie 195 8.2.1. Dimension de JX.E, F) 195 8.2.2. Espaces vectoriels isomorphes 197 8.2.3. Rang d'une application linéaire, d'une famille de vecteurs 198 8.3. Dualité 201 8.3.1. Dual d'un espace vectoriel 201 8.3.2. Bidual d'un espace vectoriel 203 8.3.3. Orthogonalité 204 8.3.4. Transposée d'une application linéaire 206 Chapitre 9 : MATRICES 209 9.1. Généralités 209 9.2. Matrice d'une application linéaire 209 9.2.1. Définitions, exemples et théorèmes 209 9.3. Opérations sur les matrices 215 9.3.1. Égalité de deux matrices 216 9.3.2. Addition des matrices 216 9.3.3. Multiplication d'une matrice par un scalaire 217 9.3.4. Produit de deux matrices 218 9.4. Matrices inversibles - Changement de bases 220 9.4.1. Matrices inversibles 220 9.4.2. Changement de bases 222 9.4.3. Matrices équivalentes 227 Chapitre 10 : DÉTERMINANTS 230 10.1. Applications et formes bilinéaires 230 10.1.1. Applications et formes bilinéaires alternées 230 10.1.2. Cas où dim(E) = 2 232 10.1.3. Déterminant d'ordre 2 233 10.1.4. Déterminant d'un endomorphisme 233 10.1.5. Déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2 235 10.2.Applications et formes multilinéaires 236 10.2.1. Applications et formes multilinéaires alternées 237 10.2.2. Propriétés des applications et des formes multilinéaires alternées 238 10.3.Déterminants 242 10.3.1. Déterminant d'un système de vecteurs 242 10.3.2. Déterminant d'un endomorphisme 243 10.3.3. Déterminant d'une matrice carrée 245 10.3.4. Calculs des déterminants 248 Chapitre 11 : APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS 254 11.1.Calcul de l'inverse d'une matrice carrée 254 11.2. Déterminât ion du rang 256 11.3.Systèmes d'équations linéaires 260 11.3.1. Définitions 260 11.3.2. Interprétations d'un système d'équations linéaires 260 11.4.Systèmes de Cramer 261 11.4.1. Définition 262 11.4.2. Formules de Cramer 263 11.5.Résolution d'un système linéaire quelconque 265 11.5.1. Équations principales - Inconnues principales 265 11.5.2. Condition de compatibilité et résolution 266 ll.ó.Systèmes homogènes 269 PROBLÈMES 271 BIBLIOGRAPHIE 287 Introduction L'algèbre générale et l'algèbre linéaire sont des outils fondamentaux dans les disciplines mathématiques modernes (analyse, analyse fonctionnelle, probabilité, physique mathématique, etc.). Elles constituent par conséquent des éléments es- sentiels du bagage mathématique indispensable aux mathématiciens, physiciens, ingénieurs et autres scientifiques. Le cours d'algèbre que nous soumettons aujourd'hui au public s'adresse aux étudiants en mathématiques du premier cycle des universités et aux étudiants préparant l'entrée dans les grandes écoles scientifiques. Il peut également être utile aux scientifiques qui désirent se recycler en mathématiques et à tous ceux qui veulent acquérir de bonnes connaissances de base en algèbre. L'expérience montre que le passage de la classe terminale à la première année de faculté constitue pour la majorité des étudiants une difficulté uploads/s3/ algebre-2850696978-content-pdf.pdf