ALGÈBRE Tome 1 GROUPES, CORPS ET THÉORIE DE GALOIS Daniel Guin – Thomas Hausber

ALGÈBRE Tome 1 GROUPES, CORPS ET THÉORIE DE GALOIS Daniel Guin – Thomas Hausberger Collection dirigée par Daniel Guin 17, avenue du Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France À propos de la couverture : Le groupe de Galois de l’équation x4 −2 = 0 est le groupe de Galois G = Gal(K/Q) du corps K = Q(i, 4 √ 2) engendré sur Q par les racines complexes ± 4 √ 2, ±i 4 √ 2 du polynôme x4 −2. Il existe un élément σ de G défini par σ(i) = i et σ( 4 √ 2) = i 4 √ 2 et un élément τ défini par τ(i) = −i et τ( 4 √ 2) = 4 √ 2. Ces deux éléments engendrant G, on voit que le groupe de Galois est isomorphe au groupe diédral D4 des isométries du carré. Les sous-corps de K correspondent aux sous-groupes de G par la correspondance de Galois : par exemple, à H = ⟨σ⟩correspond le sous-corps Q(i) des invariants de K sous l’action de H. On peut représenter les inclusions entre les groupes et les extensions de corps par les diagrammes ci-dessous, où chaque flèche représente une inclusion. K = Q(i, 4 √ 2) Q(i 4 √ 2)                    Q( 4 √ 2)            Q(i, √ 2)  Q((1 + i) 4 √ 2)  Q((1 −i) 4 √ 2)  Q( √ 2)              Q(i)  Q(i √ 2)               Q                 D4 = ⟨σ, τ⟩ ⟨σ2, τ⟩ ⟨σ⟩≃Z/4Z  ⟨σ2, στ⟩ ⟨σ2τ⟩ ⟨τ⟩  ⟨σ2⟩   ⟨στ⟩  ⟨σ3τ⟩  {e}                                      Cette correspondance renverse le sens des inclusions, donc celui des flèches. On peut se représenter les deux diagrammes comme deux arbres qui seraient reflet l’un de l’autre, dans l’esprit de la gravure « les 3 mondes » d’Escher. L’équation x4 −2 = 0 est le trait d’union entre le monde des groupes et celui des corps. Peut-être le troisième monde est-il celui de l’esprit du mathématicien dont l’inspiration et la raison ont fait naître les concepts, en se heurtant aux contingences de l’univers mathématique ? Le groupe de Galois est le groupe des relations rationnelles entre les racines, par rapport au corps de base Q. Il est trivial lorsque toutes les racines sont différenciées sur la base. Faire une extension, par exemple adjoindre le nombre imaginaire i, permet de regrouper les racines en catégories, selon qu’elles sont invariantes sous σ ou pas. C’est l’idée qui a guidé Galois lors de l’élaboration de son traité sur la résolution des équations : briser progressivement les symétries entre les racines. Ces travaux ont permis de faire émerger les structures contemporaines de groupe et de corps. Algèbre T1 En général, les formules donnant les racines ne sont pas connues. La connaissance du groupe de Galois nous renseigne sur leur expression. Lorsque le groupe est résoluble, c’est-à-dire lorsqu’il existe une suite G ▷G1 ▷. . . ▷Gn = {e} formée de sous-groupes normaux emboîtés tels que les quotients successifs soient abéliens, alors les solutions sont exprimables par radicaux. C’est le cas sur notre exemple : D4 ▷Z/4Z ▷{e}. Le dessin de la couverture a été réalisé par Jos Leys(1), ingénieur passionné d’imagerie ma- thématique, reconnu internationalement dans le monde de l’édition scientifique pour la qualité de ses illustrations, en relation directe avec le « substrat » mathématique. Les auteurs le remercient chaleureusement. (1)http://www.josleys.com iii Imprimé en France ISBN : 978-2-86883-974-9 Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35. c ⃝2008, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A TABLE DES MATIÈRES Avant-propos xiii Avertissement xvii Première partie – GROUPES 1 I Généralités sur les groupes 3 I.1 Définitions — exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.2 Sous-groupes — morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . 8 A - Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 B - Sous-groupes engendrés . . . . . . . . . . . . . . . . 11 C - Ordre d’un groupe, d’un élément . . . . . . . . . . . 13 D - Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 I.3 Produit direct de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Thèmes de réflexion 25 TR.I.A. Étude du groupe symétrique Sn . . . . . . . . . . . . . . 25 TR.I.B. Groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 TR.I.C. Détermination des groupes d’ordre n, pour 1 ⩽n ⩽9 . . 30 Travaux pratiques 33 TPI. Étude de quelques groupes de permutations . . . . . . . . 33 II Groupes quotients 37 II.1 Classes modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . 37 II.2 Compatibilité avec la structure . . . . . . . . . . . . . . . 41 II.3 Groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Algèbre T1 II.4 Caractérisation des sous-groupes normaux . . . . . . . . . 45 II.5 Sous-groupes normaux et morphismes . . . . . . . . . . . 47 II.6 Sous-groupes d’un groupe quotient . . . . . . . . . . . . . 48 Thèmes de réflexion 53 TR.II.A. Sous-groupes dérivés et abélianisation . . . . . . . . . . . 53 TR.II.B. Étude des sous-groupes normaux de Sn . . . . . . . . . . 54 TR.II.C. Étude des automorphismes de Sn . . . . . . . . . . . . . . 57 Travaux pratiques 59 TP.II. Classes, structure quotient et systèmes générateurs forts 59 III Présentation d’un groupe par générateurs et relations 65 III.1 Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 III.2 Générateurs et relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Thèmes de réflexion 75 TR.III.A. Présentation du groupe quaternionique H . . . . . . . . . 75 TR.III.B. Groupes de présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . 75 TR.III.C. Quelques propriétés des groupes libres . . . . . . . . . . . 76 TR.III.D. Produit libre de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 IV Groupes opérant sur un ensemble 81 IV.1 Définitions – Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 IV.2 Stabilisateurs – Orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 IV.3 Produit semi-direct . . . . . uploads/s3/ algebre-tome-1 1 .pdf

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