Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI TD 7 Bijections et fonctions récipro

Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI TD 7 Bijections et fonctions réciproques usuelles Injections, surjections, bijections Exercice 1 : [corrigé] Soit E, F et G trois ensembles, et f : E →F et g : F →G deux applications. Démontrer que 1. Si g ◦f est injective alors f est injective. 2. Si g ◦f est injective et f est surjective alors g est injective. 3. Si g ◦f est surjective alors g est surjective. 4. Si g ◦f est surjective et g est injective alors f est surjective. 5. Donner un exemple où g ◦f est bijective, mais f n’est pas surjective et g n’est pas injective. Exercice 2 : [corrigé] Étudier l’injectivité, la surjectivité, la bijectivité de chacune des applications suivantes. Si l’une d’entre elle est bijective, donner son application réciproque. 1. f : R2 → R2 (x, y) 7→ (x + y, x −y) . 2. g : R2 → R2 (x, y) 7→ (x + y, xy) . 3. [D’après Banque PT 2016, sujet C]. h : R∗ + × R → D (x, y) 7→ (x2+y2 2 , y) avec D = n (X, Y ) ∈R2; Y 2 < 2X o . Exercice 3 : [corrigé] Montrer que l’application : f : C \ {i} →C \ {1} définie par : f(z) = z + 1 z −i est bijective et expliciter son application réciproque. Exercice 4 : [corrigé] Montrer que l’application : f : C →C définie par : f(z) = z + 2z est bijective et expliciter son application réciproque. Exercice 5 : [corrigé] Soient f : N →N qui à un entier k associe 2k et g : N →N qui à un entier k associe k 2 si k est pair et k −1 2 si k est impair. 1. Étudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité de f et g. 2. Préciser f ◦g et g ◦f. Bijectivité de fonctions réelles Exercice 6 : [corrigé] 1. Démontrer que la fonction f définie par ∀x ∈[0; 1 2]; f(x) = p 1 −4x2 réalise une bijection de [0; 1 2] dans [0; 1] et expliciter sa fonction réciproque. 1 Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI 2. Donner l’ensemble sur lequel la fonction réciproque est dérivable. Exercice 7 : [corrigé] On considère la fonction réelle f définie sur R par : f(x) = 1 √ x2 + x + 1 . 1. Montrer que la restriction de f à l’intervalle  −1 2; +∞  induit une bijection vers un ensemble que l’on précisera. Donner une expression simple de l’application réciproque associée. 2. Reprendre la question ci-dessus avec la restriction de f à l’intervalle  −∞; −1 2  . Exercice 8 : [corrigé] 1. Montrer que sh réalise une bijection de R sur R. 2. Sur quel intervalle sh−1 est-elle dérivable? 3. Donner une expression explicite de la bijection réci- proque et construire sa représentation graphique sur le graphique ci-contre sur lequel la courbe représen- tative de sh a été tracée. −1 −2 −3 1 2 1 −1 −2 Exercice 9 : [corrigé] On note f la fonction définie sur R par : f(x) = ex −e−x ex + e−x . 1. Montrer que f induit une bijection de R vers un ensemble à préciser. 2. Pour x ∈] −1; 1[, on pose : g(x) = 1 2 ln 1 + x 1 −x  . Calculer : g ◦f et f ◦g. Conclure. Les nouvelles fonctions : Arcos, Arcsin, Arctan. Exercice 10 : [solutions] Calculer (a) Arcos(cos(25π)) (b) Arcsin(sin(39π 2 )) (c) Arcos(cos(35π 4 )) (d) Arcsin(sin(34π 3 )) Exercice 11 : [corrigé] 1. Montrer que : ∀x ∈[−1; 1], cos π 2 −Arcsin(x)  = cos(Arcos(x)). En déduire : ∀x ∈[−1; 1], Arcos(x)+ Arcsin(x) = π 2 . 2. Retrouver le résultat précédent en étudiant la dérivée de la fonction f définie sur [−1; 1] par f(x) = Arcos(x) + Arcsin(x). Exercice 12 : [corrigé] 1. Donner une expression simple de Arcos(cos(x)) pour x ∈[π; 2π], puis x ∈[2π; 3π]. Utiliser une représentation graphique de cette fonction afin de conjecturer le résultat. 2. Donner une expression simple de Arcsin(sin(x)) pour x ∈ 3π 2 ; 5π 2  . Exercice 13 : [corrigé] En précisant l’ensemble auquel appartient le réel x, donner une expression simple des expressions suivantes : 2 Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI (a) cos(2Arcosx); (b) cos(2Arcsinx); (c) sin(2Arctanx); (d) tan(2Arcsinx). Exercice 14 : [corrigé] [D’après Banque PT ]. Calculer la dérivée de la fonction f définie sur R∗ par f(x) = arctan(x) + arctan( 1 x). En déduire une expression simple de f. Exercice 15 : [indications] [corrigé] 1. Montrer que pour tout x ∈[−1; 1], sin(Arcos(x)) = cos(Arcsin(x)) = √ 1 −x2. 2. En effectuant des encadrements de Arcsin(1 3) et Arcos(1 4), montrer que Arcsin(1 3) + Arcos(1 4) ∈[0; π]. 3. En utilisant les questions précédentes, résoudre l’équation : arcos(x) = arcsin(1 3) + arcos(1 4). Exercice 16 : [corrigé] Soit A = Arctan(2) + Arctan(3). (a) Montrer que A ∈]π 2 ; π[. (b) Calculer tan(A). (c) En déduire que A = 3π 4 . Exercice 17 : [corrigé] Résoudre les équations suivantes sur R : (Penser à vérifier pour quels réels x, les membres des équations sont définis). (a) Arcsinx = Arctan2x; (b) Arcsinx = 2Arcosx; (c) Arccos(x2) = Arcsin(2x); (d) Arctanx + Arctan3x = π 2 ; (e) Arcsinx = Arcsin x 2 + π 3 ; (f) Arcsin(2x) −Arcsin(x √ 3) = Arcsinx. Exercice 18 : [indications] [corrigé] Montrer de deux manières différentes la relation suivante : ∀x ∈R, Arctan(x + 1) −Arctan(x) = Arctan  1 x2 + x + 1  . Exercice 19 : [corrigé] Étudier les fonctions suivantes : (a) f : x 7→Arcos(2x + 1); (b) g : x 7→Arcsin(x −1 x + 1); (c) h : x 7→Arcsin  √x x + 1  . Exercice 20 : [corrigé] Fonctions de Transfert. Dans cet exercice, la lettre j désigne le nombre com- plexe i. 1. On donne ci-contre l’expression de la fonction de transfert d’un filtre passe-bas. Donner l’expression du gain (module de la fonction de trans- fert) et l’expression de la phase (argument de la fonction de transfert) en fonction de ω, ω0 = 1/(RC). 2. De même, prenons la transmittance complexe d’un filtre passe-bas du second ordre : T(jω) = 1 1 + 2jmω ω0 +  jω ω0 2 avec ω0 la pulsation naturelle du filtre et m est le coefficient d’amortissement (m > 0). On suppose que m < 1. (a) Donner arg(T(jω0). (b) Soit ω ̸= ω0. Montrer que arg(T(jω) = −arctan    2mω ω0 1 −ω2/ω2 0   + kπ avec k = 0 si ω < ω0 et k = 1 si ω > ω0. 3 Indications et solutions du TD 7 Mathématiques PTSI Exercice 15 : 1. Si α ∈  −π 2 ; π 2  , alors cos(α) = p 1 −sin2(α). 2. Penser à l’indication de la question précédente. 3. 1 3 ≤ 1 2 donc par croissance de Arcsin on en dé- duit : Arcsin 1 3  ≤π 6 . On fait de même avec Arcos. 4. Si arcos(x) = arcsin( 1 3) + arcos( 1 4), alors les co- sinus des deux termes sont égaux. En s’aidant des questions précédentes, on calcule facilement ces cosinus en fonction de x ce qui donne une unique valeur de x possible. Exercice 18 : Une premièrefaçon de faire est de vérifier que les dérivées des deux expressions coincident. Une deuxième méthode consiste à vérifier que leurs tangentes sont égales. Indications Solution de l’exercice 10 : (a) Arcos(cos(25π)) = Arcos(−1) = π. (b) Arcsin(sin( 39π 2 )) = Arcsin(1) = π 2 . (c) Arcos(cos( 35π 4 )) = Arcos( − √ 2 2 ) = 3π 4 . (d) Arcsin(sin( 34π 3 )) = Arcsin(− √ 3 2 ) = −π 3 . Correction de l’exercice 1 : 1. Supposons que g ◦f est injective et montrons que f est injective. Soient x et y deux éléments de E tels que f(x) = f(y). Alors : g(f(x)) = g(f(y)) ⇔g ◦f(x) = g ◦ f(y). Or, par hypothèse, g ◦f est injective donc : g ◦f(x) = g ◦f(y) ⇒x = y. Ceci étant vrai pour tout élément x, y ∈E, on en déduit que f est injec- tive. 2. Supposons que g ◦f est injective et f est surjective . On veut montrer que g est injective. Soient alors x, x′ ∈F tels que g(x) = g(x′). L’appli- cation f est surjective, donc x, x′ ont un antécédent par f : ∃a, a′ ∈E, f(a) = x, f(a′) = x′. Finale- ment, g(f(a)) = g(f(a′)) ⇔g ◦f(a) = g ◦f(a′). Or g ◦f est injective. Par conséquent, a = a′. Cela implique que f(a) = f(a′) ⇔x = x′. Finalement, nous avons montré ∀x, x′ ∈E, g(x) = g(x′) ⇔x = x′. Par définition, g uploads/s3/ applications-et-fonctions-reciproques-usuelles-td7.pdf

Tags
Administrationfonction exercice l’exercice [corrigé] correction
Documents similaires
  • 50
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager