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- 1 - © Gérard Lavau - http://perso.wanadoo.fr/lavau/homepage.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitement. Toute diffusion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord de l'auteur. APPLICATIONS LINEAIRES PLAN I : Morphismes 1) Définition et exemples 2) Propriétés 3) Image directe d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire 4) Image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire II : Cas de la dimension finie 1) Isomorphisme 2) Supplémentaire 3) Le théorème du rang 4) Structure de L(E,F) Annexe : une application du théorème du rang en S.I. I : Morphismes 1–Définition et exemples Les morphismes sont des applications entre deux structures analogues, et qui respecte ces deux structures. On a ainsi : Les morphismes de groupes : Soit (G,*) et (H,#) deux groupes et f une application de G dans H. f est un morphisme de groupe si : ∀ x ∈ G, ∀ y ∈ G, f(x * y) = f(x) # f(y) Exemples L'application exp : ( ,+) → (   *,×) est un morphisme de groupe. Cela traduit en effet la relation : exp(a + b) = exp(a) exp(b) Les morphismes d'espaces vectoriels ou applications linéaires. Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps   . On appelle application linéaire ou morphisme d'espaces vectoriels une application f de E dans F telle que : ∀ x ∈ E, ∀ y ∈ E, f(x+y) = f(x) + f(y) ∀ x ∈ E, ∀ λ ∈   , f(λx) = λx Exemples : K f :   →   x → ax où a est un paramètre fixé est une application linéaire. K Plus généralement, on peut considérer les applications de la forme :   n →   p - 2 -             x1 x2 ... xn →             y1 y2 ... yp =             a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ... ap1x1 + ap2x2 + ... + apnxn ce qu'on note également :             y1 y2 ... yp =             a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ap1 ap2 ... apn             x1 x2 ... xn Matrice définissant l'application f Cet exemple est caractéristique de toutes les applications linéaires en dimension finie. K Soit I : C0([a, b]) →   f → ⌡  ⌠ a b f(t) dt = I(f) Alors I est linéaire. K C2( ) → C0( ) y → ay" + by' + cy = Φ(y) Φ est linéaire. K {u = (un)n∈ convergente} → u → lim n→+∞ un K {u = (un)n∈ arithmétique} →   u → R(u) = la raison de la suite u On peut vérifier que {u = (un)n∈   arithmétique} est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites. En effet, u arithmétique de raison r ⇒ λu est arithmétique de raison λr. u et v arithmétiques de raison r et s ⇒ u + v arithmétique de raison r + s. Ces obeservations prouvent par ailleurs que R est linéaire. Si f est bijective, on parle d'isomorphisme. Si E = F, on parle d'endomorphisme. Si E = F et f bijective, on parle d'automorphisme. Si F =   , on parle de forme linéaire. On note L(E,F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F. On note L(E) l'ensemble des endomorphismes de E. On note GL(E) l'ensemble des automorphismes de E (il s'agit d'un groupe appelé groupe linéaire). On note E* l'ensemble des formes linéaires de E (on l'appelle dual de E). 2– Propriétés Soit f un morphisme de groupe de G dans H. On a alors f(eG) = eH. En effet, pour y = eG, on a f(x) = f(x * eG) = f(x) # f(eG), donc, en simplifiant par f(x), f(eG) = eH. On a aussi f(x–1) = f(x)–1. Prenons y = x–1. Alors : - 3 - eH = f(eG) = f(x * x–1) = f(x) # f(x–1) et de même eH = f(x–1) # f(x). Par exemple, pour l'exponentielle, cela se traduit par exp(0) = 1 et que exp(–x) = 1 exp(x). Pour f linéaire, f étant en particulier un morphisme de groupe de (E,+) dans (F,+), on a : f(0E) = f(0F) et f(–x) = –f(x) 3– Image directe d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire PROPOSITION Soit G un sous–espace vectoriel de E et f linéaire de E dans F. Alors f(G) est un sous–espace vectoriel de F. Démonstration : G étant non vide, il en est de même de f(G). Montrons la stabilité par le produit externe, la stabilité par la somme se montrant de même. Soit y élément de f(G), et λ un scalaire quelconque. Il existe x élément de G tel que : y = f(x) ⇒ λy = λ f(x) ⇒ λy = f(λx) or G est stable par le produit externe. Donc λx appartient à G et y appartient à f(G). Un cas particulier important s'obtient pour G = E. On note alors f(E) = Imf, qu'on appelle image de f. On devrait plutôt dire image de E par f. Imf est donc un sous–espace vectoriel de F. Il est clair que f est surjective si et seulement si Imf = F. 4– Image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire PROPOSITION Soit G un sous–espace vectoriel de F et f linéaire de E dans F. Alors f–1(G) est un sous–espace vectoriel de E. Démonstration : f–1(G) est non vide car f(0E) = 0F, de sorte que 0E appartient à f–1(G) puisque tout sous–espace vectoriel G contient 0F. f–1(G) est stable par la somme. En effet : x ∈ f–1(G) et x' ∈ f–1(G) ⇒ f(x) ∈ G et f(x') ∈ G ⇒ f(x)+f(x') ∈ G ⇒ f(x+x') ∈ G ⇒ x+x' ∈ f–1(G). On montre de même la stabilité par le produit externe. Un cas particulier important s'obtient pour G = {0F} DEFINITION Soit f une application linéaire d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F. On appelle noyau de f, et l'on note Kerf l'ensemble {x ∈ E | f(x) = 0F}. Autrement dit, Kerf = f–1({0F}). Le noyau est donc un sous–espace vectoriel de E. L'intérêt du noyau résulte de la propriété suivante : PROPOSITION - 4 - Soit f une application linéaire de E dans F. Alors f est injective si et seulement si Kerf = {0E}. Démonstration : f étant linéaire, f est un morphisme de groupe de (E,+) dans (F,+). La proposition énoncée s'applique en fait à tout morphisme de groupe : Soit f un morphisme d'un groupe (G,*) dans un groupe (H,#). On appelle noyau de f, et l'on note Kerf l'ensemble {x ∈ G | f(x) = eH}). Alors f est injective si et seulement si Kerf = {eG}. Supposons f injective. Et soit x élément de Kerf. Alors : f(x) = eH = f(eG) ⇒ x = eG Donc Kerf = {eG} Réciproquement, supposons Kerf = {eG}, et soit x et x' quelconques tels que f(x) = f(x'). Alors : f(x) # f(x')–1 = eH ⇒ f(x * x'–1) = eH ⇒ x * x'–1 ∈ Kerf ⇒ x * x'–1 = eG ⇒ x = x' donc f est injective. EXEMPLE : Soit f :   4 →   4             x y z t →             x+y y+z z+t t+x Soit G le plan engendré par les vecteurs             1 0 1 0 et             0 1 0 1 Déterminer Kerf et f–1(G). f est–elle injective ? Pour conclure, on peut montrer qu'un ensemble H est un espace vectoriel K en utilisant la définition (mais pratiquement, celle-ci est réservée aux exemples de base,   n,    , et     . K en montrant que H est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E (stabilité pour la somme et le produit) K en montrant que H est un sous-espace vectoriel engendré par une partie M K en montrant que H est l'image d'un espace vectoriel par une application linéaire K en montrant que H est l'image réciproque d'un espace vectoriel par une application linéaire. Prenons par exemple pour H l'ensemble des suites arithmétiques. On peut montrer que H est un espace vectoriel : K en montrant que H est stable uploads/s3/ applications-lineaires.pdf

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Administrationvectoriel alors linéaire application élément
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