Terminale S - ES Primitives et intégrales Corrigés des exercices Calculer des p

Terminale S - ES Primitives et intégrales Corrigés des exercices Calculer des primitives Exercice 1 : •   =  + 2 + 4 + 1 =   =  + 2 ×  + 4 ×  + 1   =  4 + 2 ×  3 + 4 ×  2 +  =  4 + 2 3 + 2 +  •   = 12 −2 − = 12 ×  −2 ×  −   = 12 ×  18 −2 ×  4 − 2 = 2 3 − 2 − 2 •   = 3 −1 On reconnaît la formule  avec   =  −1  = 2  = 3  Il faut transformer la fonction :   = 3 2 × 2 −1 On obtient :   = 3 2 ×  −1 4 = 3 8  −1 •   =  √  On reconnaît la formule  √ avec  = 2 + 3  = 2  Il faut transformer la fonction :   = 2 × 7 2 √2 + 3 = 7 2 × 2 √2 + 3 On obtient :   = 7 2 × 2√2 + 3 = 7√2 + 3 •  ! =  "#" Terminale S - ES Primitives et intégrales On reconnaît la formule  $ avec   =  −1  = 2  = 2  Il faut transformer la fonction :  ! = 1 2 × 2  −1 On obtient :  ! = 1 2 × −1 1 ×  −1 = −1 2 −1 •  % =  " + ! & +  ' = 3 × # + 5 × # +  × #  % = 3 × # −1 + 5 × # −2 + 1 2 × # −3 = −3# −5 2 # −1 6 # = −3  −5 2 −1 6 •   =  * =  ×  ,- = . / ,- On reconnaît la formule  avec   = ln   = 1   On obtient :   = lnln  •   = 2/ 2/  On reconnaît la formule  avec  = 3 + 4  = 3  On obtient :   = ln3 + 4 •  4 = tan x − 89: Il faut modifier la fonction :  4 = tan x −cos 2 = sin x cos x −cos 2 = 1 −cos x cos x −cos 2 = 1 cos x −1 −cos 2 Terminale S - ES Primitives et intégrales On a donc :  4 = tan  − −sin  2 Exercice 2 :  = 3 −1 2² + 3  Une primitive est :  =    +  −  ² @ = 5 + 2 −3 + 6  = 5 + 2 −3 ² + 6  Une primitive est : A = ! ² + 2 +  −  ² ℎ =  ²  & ² est de la forme  $ Une primitive est : C = −  & D =  ² est de la forme  $ Une primitive est : E = −  % 4 Exercice 3 :  = 4 +  + 2  = 4  +   + 2  = 4² + 1 + 2  Ainsi l’ensemble des primitives est :  = 4 3  +  + 2 ln + F De plus, on souhaite que 1 = 2, c'est-à-dire Terminale S - ES Primitives et intégrales 1 = 4 3 1 + 1 + 2 ln1 + F = 4 3 + 1 + 0 + F = 7 3 + F = 2 Donc F = 2 −   = −   et la primitive vérifiant la condition initiale est  = 4 3  +  + 2 ln −1 3 Exercice 4 :  =  + 1  Toutes les primitives sont de la forme :  = &  −  + F Par ailleurs, 1 = 1 ⇔   −1 + F = 1 ⇔F = !  Ainsi la primitive recherchée est  = &  −  + !  Calculer des intégrales Exercice 5 : I + 4 −23 J K = [1 2 ² + 4 −23 ]K = 1 2 2 + 4 × 2 −23 −N1 2 0 + 4 × 0 −23KO = 2 + 8 −23 + 2 = 12 −23 I √3 + 1J  K = [2 3 × 1 3 × 3 + 1  ]K  = [2 9 × 3 + 1  ]K  = 2 9 × 3 × 1 + 1  −2 9 × 3 × 0 + 1  = 2 9 × 4  −2 9 I 3 −3# 3 + 3# J  K = [ln3 + 3# ]K  = ln3 + 3# −ln3K + 3#K = ln3 + 3# −ln2 Terminale S - ES Primitives et intégrales Exercice 6:  = I 2 Q −1 JQ K = [− 2 Q −1]K = − 2  −1 + 2 0 −1 = − 2  −1 −2 A = I 23R 3R −1 # JQ == [ 2 3R −1]# = 2 3 −1 − 2 3# −1 Problèmes Problème 1 : 1.  =  −13  a. On cherche la valeur de S  −13 J  # I −13 J =  # I 3 J −  # I 3 J  # D’une part, (intégration par parties) I 3 J =  # [3 ]#  −I 3 J =  # 3 + 1 −[3 ]#  = 3 + 1 −3 + 1 = 2 D’autre part, I 3 J  # = [3 ]#  = 3 −1 Donc : I −13 J =  # 2 −3 + 1 = 3 −3 b. Le résultat trouvé précédemment est exprimée en unités d’aires. Si l’unité choisie est 2TU, alors une unité d’aire vaut 2 × 2 = 4TU² Ainsi l’aire recherchée est 3 −3  × 4 = 12 −43 TU² 2.  = − +  − ²  a. lim → ∞ −X = lim → ∞−  ²+1 = 0 On en déduit que X est bien asymptote oblique à la courbe de  b. Il s’agit d’une aire entre deux courbes : on calcule ainsi Terminale S - ES Primitives et intégrales I −13 J = # Problème 2 : 1. Ces deux intégrales existent car sur l’intervalle Y0 ; [ %\, sin  + cos  ≠0 2. On a E + ^ = I sin  sin  + cos  J _ 6 0 + I cos  sin  + cos  _ 6 0 J = I sin x + cos  sin  + cos  _ 6 0 J = I 1 _ 6 0 J = _ 6 E −^ = I sin  sin  + cos  J _ 6 0 −I cos  sin  + cos  _ 6 0 J = I sin  −cos  sin  + cos  J _ 6 0 = [−lnsin  + cos ]0 _ 6 = −ln 1 2 + √3 2  + ln0 + 1 = −ln 1 2 + √3 2  3. En résolvant un petit système, on en déduit que E = _ 6 −ln1 2 + √3 2  2 ^ = _ 6 + ln1 2 + √3 2  2 Problème 3 : 1. E = I 3 3 + 1 J  K = [ln3 + 1]K  = ln3 + 1 −ln 2 EK + E = I 1 3 + 1 J  K + I 3 3 + 1 J  K = I 3 + 1 3 + 1 J  K = 1 On en déduit que EK = 1 −E = 1 −ln3 + 1 + ln 2 2. E  + E = I 3  3 + 1 J  K + I 3 3 + 1 J  K = I 3 3 + 1 3 + 1 J  K = I 3 J  K = [3  ]K  = 3  −1  3. E  −E = I 3  3 + 1 J  K −I 3 3 + 1 J  K = I 3 3 −1 3 + 1 J  K > 0 Terminale S - ES Primitives et intégrales Car 3 −1 > 0 sur l’intervalle uploads/s3/ corrige-exercices-primitives-et-integrales 1 .pdf

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