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CPGE Moulay El Hassan TD3 : Cinématique du solide. PCSI Exercice : Gymnastique

CPGE Moulay El Hassan TD3 : Cinématique du solide. PCSI Exercice : Gymnastique mathématique. On considère les trois repères suivants : R0(O ,⃗ x0,⃗ y0,⃗ z0) ; R1( A,⃗ x0, ⃗ y1, ⃗ z1) et R2(B,⃗ x2,⃗ y1,⃗ z2) tel que : θ1(t )=(⃗ y0,⃗ y1)=(⃗ z0,⃗ z1) et θ2(t )=¿ ⃗ x2¿=¿ ⃗ z2¿ 1- Tracer les figures planes de rotation de : R1/ R0et R2/ R1. 2- Donner les vecteurs vitesse de rotation de R1/ R0et R2/ R1 notés respectivement : ⃗ ΩR1/R0 et ⃗ ΩR2/R1 . On définie les cinq torseurs suivants : {T 1}={ ⃗ R1 ⃗ M 1,O}O ={ 2t⃗ x0 ⃗ 0 }O {T 2}={ ⃗ R2 ⃗ M 2,B}B ={ ⃗ 0 4t ⃗ y1}B {T 3}={ ⃗ R3 ⃗ M 3,G}G ={ 2t⃗ x0 4t⃗ z1} G {T 4}={ ⃗ R4 ⃗ M 4,B}B ={ 2t ⃗ y1 ⃗ 0 }B {T 5}={ ⃗ R5 ⃗ M 5,G}G ={ 6t ⃗ z1 ⃗ 0 }G On donne : ⃗ OA=2⃗ x0 ⃗ OG=⃗ x0+2⃗ y1 ⃗ AB=2t 2⃗ y1 ⃗ BC=5⃗ z2 3- Donner les invariants des torseurs {T 1} et {T 2} et présicer leurs natures. 4- Montrer que {T 1}={T 3}. 5- Déterminer le torseur {T }={T 1}+{T 2}+{T 4} réduit au point C . 6- Calculer le comoment de {T 1} et {T 5}. 1 CPGE Moulay El Hassan TD3 : Cinématique du solide. PCSI 7- Sachant que θ1 (t)=θ2 (t )=t 2+3 , Claculer la dérivée : d⃗ OC dt )R0 . Problème I : Etude cinématique d’un robot de soudage. Le système représenter ci-dessous est un robot de soudage à quatre axes. En robotique, un axe est une liaison motorisée. Robot de soudage. Le robot est constitué : - D’une base (0), repère lié R0(O ,⃗ x0,⃗ y0, ⃗ z0) supposé fixe (bâti). - D’un fût (1), repère lié R1(O ,⃗ x1,⃗ y1,⃗ z0) en liaison pivot d’axe (O ,⃗ z0) avec la base (0). On note : θ1(t )=(⃗ x0,⃗ x1)=(⃗ y0, ⃗ y1). - D’un bras (2), repère lié R2( A,⃗ x1,⃗ y2,⃗ z2) en liaison pivot d’axe ( A,⃗ x1) avec le fût (1). On note : θ2(t )=(⃗ y1,⃗ y2)=(⃗ z0,⃗ z2). - D’un avant-bras (3), repère lié R3(B,⃗ x1,⃗ y3, ⃗ z3) en liaison pivot d’axe (B,⃗ x1) avec le bras (2). On note : θ3(t )=(⃗ y2,⃗ y3)=(⃗ z2, ⃗ z3). 2 CPGE Moulay El Hassan TD3 : Cinématique du solide. PCSI - D’un organe terminal (4), repère lié R4(O ,⃗ x1,⃗ y3,⃗ z3) en liaison glissière de direction z3 avec l’avant-bras (3) de paramètre λ(t). O donne : ⃗ OA=a ⃗ z0 ; ⃗ AB=b⃗ y2 ; ⃗ BC=c ⃗ y3 ; ⃗ CD=−λ(t)⃗ z3 ; ⃗ D G4=l ⃗ z3 Questions : 1- Tracer les figures planes de rotation des paramètres θ1 , θ2 et θ3: 2- Etablir le graphe des liaisons et identifier le type de la chaine. 3- Compléter le tableau suivant : Solide j / solide i Nature de liaison Caractéristiques géométriques Torseur cinématique 1/0 2/1 3/2 4/3 4- Par composition de mouvement, calculer la vitesse du point D appartenant au solide 4 dans son mouvement par rapport à R0 , notée ⃗ V (D, 4/0), en fonction des paramètres géométriques du système et leurs dérivées. 5- Déterminer les composantes de ⃗ V (D, 4/0) dans R0 . A la fin de chaque opération de soudage, le robot effectue un dégagement rapide du solide (4) afin de permettre de l’enlèvement de la pièce soudée et l’arrivée d’une autre. Lors de cette phase on doit maintenir le solide (2) en position verticale et le solide (3) en position horizontale. 6- Dans cette condition, déterminer ⃗ Γ(G4∈4/R0). ⃗ z3 . Problème II : Détermination de la loi entrée sortie cinématique (Extrait CNC 2020). On s’intéresse dans ce problème au mécanisme d’orientation de miroirs d’un système de projection utilisé dans une technologie de réalité virtuelle (figure 1). 3 CPGE Moulay El Hassan TD3 : Cinématique du solide. PCSI Figure 1 : système de projection sur plafond. L’orientation du support de miroir est commandée par un vérin électrique. On donne le schéma cinématique du mécanisme d’orientation ci-dessous (figure 2) : Figure 2 : schéma cinématique du mécanisme d’orientation. Données géométriques : Paramétrage : R0 (0,⃗ x0,⃗ y0,⃗ z0)est le repère associé au châssis (0). R1 (0,⃗ x1,⃗ y1,⃗ z0) est le repère associé à l’ensemble (1) (miroir + tige), en liaison pivot d’axe (0,⃗ z0) avec le châssis (0) tel que : θ(t )=(⃗ x0,⃗ x1)=(⃗ y0,⃗ y1). 4 CPGE Moulay El Hassan TD3 : Cinématique du solide. PCSI R2 (A ,⃗ x2,⃗ y2,⃗ z0) est le repère associé à la tige du vérin électrique (2), en liaison pivot d’axe ( A,⃗ z0) avec le solide (1). R3 (B ,⃗ x2,⃗ y2,⃗ z0) est le repère associé au corps du vérin (3), en liaison pivot d’axe (B,⃗ z0) avec le châssis (0) et en liaison glissière de direction ⃗ x2 avec la tige (2). On demande de : 1- Tracer le graphe de structure du mécanisme. 2- Déterminer l’expression de ⃗ V (A ,1/0) en fonction de a et ˙ θ . 3- Déterminer l’expression de⃗ V (A ,2/0) en fonction de λ , ˙ λ et . 4- Justifier que ⃗ V (A ,1/0)=⃗ V (A ,2/0). 5- Déterminer l’expression de ˙ λ en fonction de ˙ θ . Problème III : Détermination du rapport de réduction du réducteur d’un broyeur à cisailles rotatives (Extrait CNC 2020 TSI). Un broyeur à cisailles rotatives appelé aussi déchiqueteur à pour fonction de réduire des morceaux de déchets solides d’une taille donnée à une taille plus petite généralement métalliques. Broyeur. L’opération de broyage s’obtient par la rotation, en sens opposés à la même vitesse, de deux arbres de coupe. 5 CPGE Moulay El Hassan TD3 : Cinématique du solide. PCSI Chaque arbre de coupe tourne à la fréquence de N r=14tr /min . Un moteur hydraulique, tournant à la fréquence de rotation N m , transmet le mouvement au réducteur de rapport r g , dont le schéma cinématique est donné ci-dessous. Schéma cinématique du réducteur. Vocabulaire et nombre de dents. - Bati (0) : de nombre de dent Z0=78dents. - Pignon (1) et (1’) : de nombre de dents Z1=Z1'=15dents . - Satellite (2) et (2’) : de nombre de dents Z2=Z2'. - Porte satellite (3) et (3’). - Renvoi conique : de rapport rc= 1 2,7 . 1- Déterminer le rapport de réduction r1 du 1er train épicycloïdal en fonction du nombre de dents Z0 et Z1. 2- Déterminer le rapport de réduction global du réducteur r g. 3- Calculer la fréquence de rotation du moteur Nm. 6 uploads/s3/ td3-1.pdf