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Cours Concis de Mathématiques Ce travail est mis à disposition selon les termes

Cours Concis de Mathématiques Ce travail est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons Paternité - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas de Modiﬁcation 3.0 non transcrit. Pour plus d’information, voir http ://creativecommons.org/licenses/by- nc-nd/3.0/ ou écrire à Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View , California, 94041, USA. Pierre Guillot Chapitres Une table des matières détaillée se trouve à la ﬁn du livre 1 Ensembles 3 2 Nombres 22 3 Polynômes 44 4 Suites 62 5 Matrices 84 6 Continuité 108 7 Déterminants 126 8 Compacité 146 9 Dérivées 154 10 L’exponentielle 176 11 Espaces vectoriels 195 12 Formules de Taylor 220 13 Applications linéaires 235 1 14 Intégrale de Riemann 262 15 Fractions rationnelles 298 16 Diagonalisation 317 17 Équations diﬀérentielles linéaires 342 2 Chapitre 1 Ensembles – Première lecture – Ensembles et appartenance Les objets mathématiques peuvent être rangés dans des en- sembles, que l’on écrit avec des accolades. Par exemple, E = {1,2,3} et F = {19,11} sont des ensembles. On note x ∈X pour signiﬁer que x appar- tient à X, et dans le cas contraire on emploie le symbole < ; par exemple, on a 2 ∈E et 3 < F. Un ensemble ne comprend jamais de « répétition », et n’est pas ordonné : ainsi {2,2,2,3,3} = {2,3} et {3,2,1} = {1,2,3}. Il existe bien sûr des ensembles inﬁnis, comme l’ensemble N des nombres entiers, dont nous reparlerons au chapitre sui- vant. Il y a également un ensemble vide, qui ne contient aucun élément : on le note ∅ou, plus rarement, {}. Lorsque tous les éléments d’un ensemble A sont aussi dans l’ensemble B, on dit que A est une partie de B, ou qu’il est inclus dans B, et on note A ⊂B. Par exemple {2,4,6,8} ⊂{1,2,3,4,5,6,7,8,9}. 3 Les ensembles sont souvent dessinés comme des bulles, et pour représenter l’inclusion on place ces bulles les unes dans les autres, comme ci-dessous : Fixant B, on peut considérer l’ensemble P(B) dont les élé- ments sont toutes les parties de B; ainsi dans le cas où B = {1,2,3}, on a P(B) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. (On n’oublie ni la partie vide, ni B lui-même.) Enﬁn, étant donnés deux ensembles A et B, on peut for- mer leur produit cartésien noté A ×B, dont les éléments sont les paires (a,b) avec a ∈A et b ∈B. Lorsque A = {1,3} et B = {2,4,6} par exemple, on a A × B = {(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6)}. On notera que pour les paires, l’ordre est important : ainsi l’élé- ment (1,2) de N × N est diﬀérent de l’élément (2,1). Quelques constructions Lorsqu’on dispose d’un ensemble E, on peut s’intéresser aux élements de E qui vériﬁent une certaine propriété P. Ceux- ci forment à nouveau un ensemble, que l’on note ainsi : {x ∈E | P(x)}. (Parfois le | est remplacé par deux points, ou par l’expression complète « tels que ». Il y a de nombreuses variantes et il faut s’habituer à des notations qui changent de temps en temps, en général pour éviter les lourdeurs.) 4 Par exemple, supposons que A ⊂E. Alors le complémentaire de A dans E est par déﬁnition {x ∈E | x < A}. On le note généralement E −A ou E ∖A. Autre exemple, si A et B sont deux parties de E, alors leur intersection est A ∩B = {x ∈E | x ∈A et x ∈B}, leur union est A ∪B = {x ∈E | x ∈A ou x ∈B}. Exemple 1.1 – Prenons E = N × N, puis A = {(n,m) ∈N × N | n = 0}, et enﬁn B = {(n,m) ∈N × N | m = 0}. Alors A ∩B = {(0,0)}. On peut également écrire A ∪B = {(n,m) ∈N × N | nm = 0}. Note : en pratique, on écrirait plutôt A = {(0,m) ∈N × N} ou encore A = {(0,m) | m ∈N}, l’essentiel étant de se faire com- prendre. Il est très important de comprendre dès maintenant que la lettre x qui est employée ci-dessus dans la description des en- sembles peut être remplacée par n’importe quelle autre : on obtient rigoureusement les mêmes ensembles. Par exemple si A = {x ∈N | il existe y ∈N tel que x = 2y}, et si B = {a ∈N | il existe b ∈N tel que a = 2b}, alors A = B = les nombres entiers pairs. 5 Propositions mathématiques On ne peut pas utiliser tout et n’importe quoi pour décrire les ensembles. Pour se convaincre que les propriétés P comme ci-dessus ne peuvent pas être complètement arbitraires, voir l’encadré « Deux paradoxes ». Pour bien faire les choses, il conviendrait de déﬁnir précisément quelles sont les propriétés acceptables, ou en d’autres termes, déﬁnir ce qu’est un « énoncé mathématique ». Cette théorie existe, et il existe même plusieurs systèmes concurrents. Cependant il serait complètement hors de pro- Deux paradoxes L’énoncé selon lequel {x ∈E | P(x)} est un ensemble lorsque E est un ensemble peut paraître anodin. En réalité il est bien plus ﬁn qu’on pour- rait le croire. Nous allons voir deux paradoxes célèbres, dont l’élucida- tion fait intervenir de manière sub- tile cette construction. Voici le premier . Pour un entier n, considérons la propriété « n ne peut pas être décrit en moins de 16 mots ». Appelons cette pro- priété P(n), et soit A = {n ∈N | P(n)}. Les mots de la langue française sont en nombre ﬁni, donc en 16 mots on ne peut décrire qu’un nombre ﬁni de nombres. Ainsi, A est inﬁni et en particulier , non-vide. Soit alors a le plus petit élément de A. Ce nombre est« le plus petit nombre qui ne peut pas être décrit en moins de 16 mots ». On vient tout juste de dé- crire a en 15 mots ! C’est absurde. Et pour cause, la propriété P(n) ne fait pas partie des propriétés mathématiques ac- ceptables. Notre deuxième exemple utilise pour P(x) la propriété « x < x ». Celle-ci est parfaitement accep- table. C’est sa signiﬁcation intuitive proche de zéro qui donne un par- fum de paradoxe au raisonnement suivant, pourtant correct. Montrons la chose suivante : pour tout ensemble E, il existe un en- semble A tel que A < E. En eﬀet, soit A = {x ∈E | x < x}. Si on avait A ∈E, alors on consta- terait que A ∈ A exactement lorsque A < A, par déﬁnition. C’est absurde, donc A < E. On énonce souvent ce résul- tat sous la forme suivante : il n’existe pas d’ensemble de tous les ensembles. Nous venons bien de le démontrer . S’il est tentant d’écrire quelque chose comme U = {x | x est un ensemble} pour essayer de le déﬁnir malgré tout, on se rend compte que cette expression n’est pas de la forme {x ∈E | P(x)}, et donc ne désigne pas un ensemble. La présence de l’ensemble E pour « chapeauter » les x est essentielle. 6 pos de donner une description précise de l’un de ces système dès maintenant (les détails sont parfois donnés en troisième ou quatrième année, et encore). Nous allons nous contenter d’une discussion informelle qui suit les grandes lignes de ce que l’on appelle la logique du premier ordre (pour des raisons que l’on n’expliquera pas). Nous avons rencontré des propositions mathématiques : x ∈A par exemple, et on pourrait citer aussi les égalités comme x = y. La négation d’une proposition en est une, ainsi x < A est un énoncé mathématique. On peut créer de nouveaux énoncés à l’aide de « ou » et de « et » : nous l’avons fait dans la déﬁnition des intersections et des unions. On peut aussi relier deux énoncés P et Q par le symbole ⇒, qui se lit « implique ». On obtient l’énoncé P ⇒Q, qui est faux lorsque P est vrai et Q est faux ; dans tous les autres cas P ⇒Q est vrai. Voyons un exemple : A = {(x,y) ∈N × N | x , 0 ⇒y = 0}. Les éléments de A sont les paires (x,0) avec x entier, ainsi que les paires (0,y) avec y entier. Le symbole ⇒est surtout pertinent lorsqu’on l’utilise en conjonction avec le quantiﬁcateur universel, c’est-à-dire le petit symbole ∀qui signiﬁe « pour tout ». Nous pouvons par exemple utiliser ce symbole pour montrer que A ⊂B est un énoncé ma- thématique : en eﬀet il revient à dire ∀x, x ∈A ⇒x ∈B. L’autre quantiﬁcateur à notre disposition est le quantiﬁca- teur existentiel, qui s’écrit ∃et signiﬁe « il existe ». On a déjà ob- servé que, pour un nombre entier n, la propriété « n est pair » s’écrit ∃m ∈N tel que n = 2m. (En toute rigueur, en logique du premier ordre on écrit plu- tôt ∃m, m ∈N et n = 2m. On s’autorise un uploads/s3/ cours-concis-de-mathematiques.pdf