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Ann´ ee universitaire 2007-2008 Premi` ere ann´ ee de l’ Module de m´ ecanique

Ann´ ee universitaire 2007-2008 Premi` ere ann´ ee de l’ Module de m´ ecanique fondamentale M´ ecanique g´ en´ erale et analytique Emmanuel Plaut Table des mati` eres Deux citations... ou « pourquoi tant de maths ? »... 1 Introduction 3 Contrat d’objectifs 5 1 Cin´ ematique des solides ind´ eformables - Composition des mouvements 7 1.1 Mouvements de solides ind´ eformables - R´ ef´ erentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Description g´ en´ erale d’un mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Mouvement de solide ind´ eformable : approche par ´ etude des d´ eformations . . . . . . . 8 ´ El´ ements math´ ematiques sur le calcul tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Notion de r´ ef´ erentiel - Cadre de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.4 Mouvement de solide ind´ eformable : approche par ´ etude directe . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.5 Cas d’un solide en rotation autour d’un axe ﬁxe Oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.6 Cas d’un solide en mouvement autour d’un point ﬁxe O : angles d’Euler . . . . . . . . 16 1.1.7 Cas g´ en´ eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Composition des mouvements par changement de r´ ef´ erentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1 Composition des d´ eriv´ ees temporelles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2 Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.3 Composition des vecteurs rotations instantan´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.4 Composition des acc´ el´ erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ex. 1.1 : Cin´ ematique d’une grande roue de fˆ ete foraine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ex. 1.2 : ´ Etude de l’« ind´ eformabilit´ e » d’un champ de vecteurs donn´ e . . . . . . . . . . . . . 21 Ex. 1.3 : De la force d’inertie dite « centrifuge » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Cin´ etique des masses et inertie 23 2.1 Masse - Centre d’inertie - R´ ef´ erentiel de Koenig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 La masse est la quantit´ e de mati` ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Convention d’´ ecriture d’une quantit´ e proportionnelle ` a la masse . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.3 Centre d’inertie et r´ ef´ erentiel de Koenig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 R´ esultante et moment cin´ etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 D´ eﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Premier th´ eor` eme de Koenig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Table des mati` eres 2.3 Tenseur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1 D´ eﬁnitions et propri´ et´ es g´ en´ erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2 Th´ eor` eme de Huyghens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.3 Cas d’un solide en rotation autour d’un axe ﬁxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.4 Cas d’un solide en mouvement autour d’un point ﬁxe O . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.5 Cas g´ en´ eral de mouvement solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.6 Tenseurs d’inertie de solides homog` enes de forme simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 ´ Energie cin´ etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1 D´ eﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.2 Second th´ eor` eme de Koenig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.3 Cas d’un solide en rotation autour d’un axe ﬁxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.4 Cas d’un solide en mouvement autour d’un point ﬁxe O . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.5 Cas g´ en´ eral de mouvement solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Ex. 2.1 : Calcul de tenseurs d’inertie de solides homog` uploads/s3/ cours-de-mecanique.pdf