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TDI 1 ISTA Mohammedia M03 Tableau de KARNAUGH 1 Tableau de KARNAUGH Dans le cas

TDI 1 ISTA Mohammedia M03 Tableau de KARNAUGH 1 Tableau de KARNAUGH Dans le cas de deux variables binaires, nous avons quatre possibilités (ou combinaisons) à envisager que nous traduisons sous la forme de la table de vérité suivante : A chaque combinaison des variables est associée une valeur de la fonction. L'idée de KARNAUGH est d'associer une surface à chaque combinaison des variables, en adoptant la représentation suivante : Nous disposons donc de 4 cases correspondant aux 4 combinaisons de variables. La case 1 correspond à la combinaison a = 0 b = 0 ==> (a . b ) La case 2 correspond à la combinaison a = 1 b = 0 ==> (a . b ) La case 3 correspond à la combinaison a = 0 b = 1 ==> (a . b ) La case 4 correspond à la combinaison a = 1 b = 1 ==> (a . b ) Dans chacune de ces cases sera inscrite la valeur de la fonction pour la combinaison de variables correspondant à cette case. En suivant l'exemple déjà représenté ci-dessus nous avons : case n° 2 ==> combinaison de variables a = 1 et b = 0 ==> valeur de la fonction = 0. Pour chacune des cases nous associons un produit de variables Représentation d'un tableau de Karnaugh Un tableau de Karnaugh peut se représenter sous les formes suivantes : Ces trois représentations sont équivalentes. Un tableau de Karnaugh nous renseigne donc sur les données suivantes :  Le nom de la fonction (par ex : X),  Le nom des variables (a, b),  L'état des variables : 0 , 1 ou une barre représentant l'état 1,  La valeur de la fonction (1 ou 0). TDI 1 ISTA Mohammedia M03 Tableau de KARNAUGH 2 Nous notons que : Dans la case 1 les variables valent toutes 0. Si l'on adopte la notation algébrique booléenne pour les variables, elle nous renseigne du nom et de l'état de la variable ( a ; a ). Tableau de karnaugh à 3 variables A chaque case est associé un triplet des valeurs a, b, c. Exemple : La case n° 1 représentera le triplet {0,0,0} ou a = 0, b = 0 et c = 0. Nous pouvons dire également que la case n°1 correspond au produit (a . b . c ). Dans ce cas la représentation devient : Tableau de Karnaugh à 4 variables A chaque case est associé un quadruplet des valeurs a, b, c, d. Exemples : la case n° 4 représentera le quadruplet {1,0,0,0} ou a = 1, b = 0, c = 0 et d = 0 (a . b . c . d ). La case n° 11 représentera le quadruplet {1,1,1,1} ou a = 1, b = 1, c = 1 et d = 1 (a . b . c . d ). La case n° 16 représentera le quadruplet {1,0,1,0} ou a = 1, b = 0, c = 1 et d = 0 (a . b . c . d ). Adjacences des cases Dans chaque cas, l'ordre d'écriture des états des variables fait qu'entre deux cases voisines (en ligne ou en colonne) une seule variable change d'état ; on dit de telles cases qu'elles sont adjacentes. La case 2 correspond à a = 0 ; b = 1 ; c = 0 ; d = 0 La case 3 correspond à a = 1 ; b = 1 ; c = 0 ; d = 0 TDI 1 ISTA Mohammedia M03 Tableau de KARNAUGH 3 Lorsque nous passons de 2 à 3, seule la variable "a" change d'état : 2 et 3 sont adjacentes. Lorsque nous passons de 2 à 1, seule la variable "b" change d'état : 2 et 1 sont adjacentes. Lorsque nous passons de 2 à 6, seule la variable "d" change d'état : 2 et 6 sont adjacentes. Enfin, lorsque nous passons de 2 à 14, seule la variable "c" change d'état : 2 et 14 sont adjacentes. Nous venons de déterminer les adjacences de la case n° 2. Cette notion de cases adjacentes est fondamentales. Ecriture dans le tableau de KARNAUGH Supposons que l'étude d'un dispositif nous ait conduit à la table de vérité suivante : a b c Z 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 Le dispositif Z doit fonctionner : si les 3 variables a, b et c sont simultanément à l'état 0 (fonction ET : a . b . c), OU si a = 0, b = 1, c = 1 simultanément (fonction ET : a . b . c), OU si a = 1, b = 0, c = 0 simultanément (fonction ET : a . b . c) . Ce que nous traduisons par l'équation : Z = a . b . c + a . b . c + a . b . c Dans le tableau de Karnaugh, nous mettrons un "1" dans chacune des cases correspondant aux termes a . b . c, a . b . c , et a . b . c. Nous placerons un "0" dans les cases correspondant aux autres termes. Il est important de remarquer que la table de vérité, l'écriture algébrique d'une fonction et le tableau de Karnaugh ne sont que des formes d'écriture différentes du même phénomène. Repérage de zones dans un tableau de Karnaugh TDI 1 ISTA Mohammedia M03 Tableau de KARNAUGH 4 Soit à transcrire l'équation logique suivante : X = a . b . c + . a . d + a . b . c . d + b Nous devons écrire un "1" dans toutes les cases qui vérifient chaque terme de l'équation X. Le 1er terme est vrai dans les cases n°15 et 16 (en rouge), le 2ème terme est vrai dans les cases n°9 12, 13 et 16 (en bleu), le 3ème terme est vrai dans la cases n°5 (en noir), le 4ème terme est vrai dans les cases n°1, 2, 3, 4, 13, 14, 15 et 16 (en vert). Dans la pratique nous remplissons une seule fois les cases. Nous pouvons observer les faits suivants : quand un terme ne contient qu'une variable il occupe une zone de 8 cases, quand un terme est un produit de 2 variables il occupe une zone de 4 cases, quand un terme est un produit de 3 variables il occupe une zone de 2 cases, quand un terme est un produit de 4 variables il occupe une zone d'1 cases. Lecture d'une fonction dans un tableau de karnaugh La lecture d'une fonction dans un tableau de karnaugh est le problème inverse du paragraphe précédent (voir Ecriture dans un tableau de Karnaugh). Nous pouvons lire successivement chacune des cases (fonction ET) et les lier par des fonctions OU. Exemple 1 : Dans l'exemple 1 nous lisons que Y est égale à a ET b ET c ET d et nous écrivons Y = a . b . c . d . Exemple 2 : Dans l'exemple 2 nous lisons que : TDI 1 ISTA Mohammedia M03 Tableau de KARNAUGH 5 Y est égale à a ET b ET c ET d OU a ET b ET C ET d et nous écrivons Y = a . b . c . d + a . b . c . d Regroupement de cases dans un tableau de Karnaugh Soit le tableau de la fonction Y suivante : Nous pouvons écrire : En fait , nous pouvons simplifier cette expression en remarquant que : Ces deux termes correspondent à 2 cases adjacentes (cases 9 et 13). Nous aurions pu lire directement dans le tableau de Karnaugh : Notre expression est maintenant sous la forme : Minimisation d'une fonction dans un tableau de Karnaugh En continuant notre observation nous pouvons remarquer également que la fontion vaut "1" dans deux autres cases adjacentes, ce qui nous aurait conduit à l'expression : Mais l'expression la plus simple sera obtenue en regroupant les cases comme indiqué : Ce qui correspond à la manipulation algébrique illustrée ci-après : Ce qui donne l'expression la plus simple que l'on puisse obtenir : TDI 1 ISTA Mohammedia M03 Tableau de KARNAUGH 6 Y = a . c . d + a . b . d + a . b . c . d Nous avons minimiser l'équation de la fonction Y. En regroupant les cases adjacentes par deux, on suprime une variable des termes correspondants ; une manipulation algébrique simple montre que pour supprimer deux variables, il faut disposer de 4 cases adjacentes, pour en supprimer 3 il faut 8 cases adjacentes, etc... Exemple : Y = a . d + b . c . d Autre exemple : Y = b . d Résumé La méthode de lecture des fonctions dans un tableau de Karnaugh consiste donc uploads/s3/ cours-tableau-de-karnaugh.pdf