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Institut Supérieur de Génie Appliqué Prof : N. ARSALANE 3ème Ingénierie des Sys

Institut Supérieur de Génie Appliqué Prof : N. ARSALANE 3ème Ingénierie des Systèmes Electronique TP Traitement De Signal et Synthèse des filtres TP2 : Génération des signaux bruités et décomposition en séries de Fourrier 1. Objectif du TP Le but de ce TP porte des intérêts multiples qui se manifestent dans la production et la génération des signaux, l’analyse temporelle et spectrale des signaux bruités et la décomposition en séries de Fourrier de quelques signaux. On cherche dans cette manipulation, à montrer qu'un signal non sinusoïdal peut être décomposé en série de Fourier. En se plaçant dans le cas particulier d'un signal créneau et d’un signal dent de scie périodique, on va effectuer son analyse en fréquence c'est-à-dire que l'on va faire apparaître les premiers harmoniques le composant. Ces harmoniques seront caractérisés par leur amplitude et leur fréquence. Dans cet énoncé vous trouverez en première partie un bref descriptif théorique sur le bruit blanc gaussien et sur le développement en série de Fourrier et en deuxième partie le TP proprement dit qui se compose de plusieurs exercices. 2. Rappels théoriques 2.1. Bruit Blanc Gaussien Un bruit blanc est une réalisation d'un processus aléatoire dans lequel la densité spectrale de puissance est la même pour toutes les fréquences de la bande passante. Le bruit blanc gaussien est un bruit blanc qui suit une loi normale de moyenne et variance données. Des générateurs de signaux aléatoires (« signal de bruit ») sont utilisés pour des essais de dispositifs de transmission et, à faible niveau, pour l'amélioration des systèmes numériques. Échantillon de bruit blanc. Par analogie avec la lumière blanche qui mélange toutes les fréquences lumineuses, un bruit blanc est un processus stochastique qui possède la même densité spectrale de puissance à toutes les fréquences. Ceci correspond à une auto corrélation nulle en tout point sauf à l'origine : le processus est décorrélé. S'il estgaussien, cette décorrélation entraîne l'indépendance1. Page 1 Institut Supérieur de Génie Appliqué Prof : N. ARSALANE 3ème Ingénierie des Systèmes Electronique TP Traitement De Signal et Synthèse des filtres 2.2. Série de Fourrier Une fonction périodique f (t), de période T, peut être considérée comme la superposition d'un signal continu et d'une infinité de signaux sinusoïdaux. On montre, en effet, que sous certaines conditions, f ( t ) peut se développer en série de Fourier sous la forme : 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ( ) ( cos( ) sin( )) 1 ( ) 2 ( )cos( ) (1) 2 ( )sin( ) n n n t T t t T n t t T n t f t A A n t B n t A f t dt valeur moyenne T A f t n t dt T B f t n t dt T                     t0 étant une valeur quelconque de t. L'équation (1) peut également se mettre sous la forme : 0 1 ( ) cos( ) n n n f t A C n t         Avec 2 2 , n n n n n n B C A B Arctg A           3. Manipulation 3.1. Synthèse d’un signal sinusoïdal Soit un signal sinusoïdal sin 2 s t y T        , caractérisé par une période s T =100 s. En prenant en considération que la période d’observation du signal est égale à deux périodes : 1. Générer un vecteur temps t, sachant que le pas d’échantillonnage temporel du signal est dt=1s. 2. Générer le signal y(t), et tracer le en fonction du vecteur temps. 3. Dans les manipulations qui suivent, nous allons uniquement changer le pas d’échantillonnage. Retracer le signal sinusoïdal y(t), en prenant le pas dt=10s ; dt=50 ; Que constater vous ? Page 2 Institut Supérieur de Génie Appliqué Prof : N. ARSALANE 3ème Ingénierie des Systèmes Electronique TP Traitement De Signal et Synthèse des filtres 3.2. Ajout de bruit blanc Gaussien On considère toujours le signal sin 2 s t y T        . L’objectif de l’exercice 2 est d’observer l’influence du bruit sur le signal, pour cela on va porter un intérêt sur l’ajout d’un bruit blanc gaussien. Un bruit blanc est une réalisation d'un processus aléatoire dans lequel la densité spectrale de puissance est la même pour toutes les fréquences de la bande passante. Le bruit blanc gaussien est un bruit blanc qui suit une loi normale de moyenne et variance données. Des générateurs de signaux aléatoires (« signal de bruit ») sont utilisés pour des essais de dispositifs de transmission et, à faible niveau, pour l'amélioration des systèmes numériques. 1. A l’aide de la commande ‘randn’, écrire un code permettant de générer un bruit gaussien, avec un ecart type de la distribution de bruit B=0.3 ; 2. Reprenez le code de l’exercice précédent en gardant dt=1s, et générer un signal y(t) bruité ? 3. Tracer le bruit généré, le signal bruité et le spectre du signal bruité. Utiliser la commande subplot afin de tracer les trois graphes les uns en dessous des autres. 4. Refaire la simulation pour les valeurs suivantes B=0.5, B=1, que constatons-nous ? 3.3. Synthèse de Fourier : 3.3.1. Cas d’un signal créneau Une fonction périodique f(t) de période T peut, sous certaines conditions mathématiques qui seront toujours réalisées dans la pratique en physique, se décomposer en une somme de fonctions sinusoïdales de la forme : (décomposition en séries de Fourier)       0 1 2 ( ) cos sin ( ) n n n f t a a n t b n t nentier et T            Les coefficients a0, an et bn sont indépendants du temps et sont donnés par les intégrales suivantes. On remarque que a0 est la valeur moyenne de la fonction f (t) : a0 est donc nul si la fonction f(t) est alternative. Deux cas particuliers : *** Si la courbe représentative de la fonction f(t) admet un centre de symétrie situé sur l’axe Ox, alors, en choisissant ce point comme origine des temps: f(-t)=-f(t) La fonction f(t) est une fonction impaire ; son développement en séries de Fourier ne comportera que des termes en sinus (les coefficients an sont nuls). Page 3 Institut Supérieur de Génie Appliqué Prof : N. ARSALANE 3ème Ingénierie des Systèmes Electronique TP Traitement De Signal et Synthèse des filtres *** Si la courbe représentative de la fonction f(t) admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie, alors f(-t)=f(t) (fonction paire). Le développement en séries de Fourier ne contient alors que des termes en cosinus ((les coefficients bn sont nuls). 1) Ecrire un code permettant de calculer la décomposition en série de Fourier d’un signal créneau ? On considère pour cette synthèse que le nombre des coefficients n=5. Etape1 : Ecrire une commande qui permet de prendre le nombre des coefficients n comme paramètre d’entré (utiliser la commande ‘input’). Etape2 : Créer une incrémentation temporel dt=1./(50*n*f0) ; Etape3 : Créer un vecteur temps sur deux périodes du signal par incrément dt. Etape4 : Ecrire un programme permettant le calcul de la décomposition en série de Fourrier à partir de l’équation ci-dessus. Sachant que le signal créneau est un signal pair, alors bn=0 ; et on suppose que la valeur d’amplitude a=1, et a0=a/2. 2) Tracer le signal créneau obtenu en fonction du temps ? 3) Retracez le signal créneau pour différentes valeurs de coefficients n, n=15 et n=50. Que peut-on conclure ? 3.3.2. Cas d’un signal dent de scie Connaissant l’équation des coefficients Cn et sachant que le signal est impair donc les an =0, alors nous pouvons en déduire l’expression de bn : Page 4 Institut Supérieur de Génie Appliqué Prof : N. ARSALANE 3ème Ingénierie des Systèmes Electronique TP Traitement De Signal et Synthèse des filtres 2.( 1) . n n b n    1) Ecrire un code permettant de calculer la décomposition en série de Fourier d’un signal à dent de scie ? On considère pour cette synthèse que le nombre des coefficients n=5. Etape1 : Ecrire une commande qui permet de prendre le nombre des coefficients n comme paramètre d’entré (utiliser la commande ‘input’). Etape2 : Créer une incrémentation temporel dt=1./(50*n*f0) ; Etape3 : Créer un vecteur temps sur deux périodes du signal par incrément dt. Etape4 : Ecrire un programme permettant le calcul de la décomposition en série de Fourrier à partir de l’équation ci-dessus. Sachant que le signal créneau est un signal pair, alors bn=0 ; et on suppose que la valeur d’amplitude a=1, et a0=a/2. 2) Tracer le signal dent de scie obtenu en fonction du temps ? 3) Retracez le signal dent de scie pour différentes valeurs de coefficients n, n=15 et n=50. Que peut-on conclure ? 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