Chapitre E4: Modulation et démodulation du signal Exercices Corrigé TD-E4 : Mod

Chapitre E4: Modulation et démodulation du signal Exercices Corrigé TD-E4 : Modulation et démodulation du signal Exercice 1 : caractéristiques d’un signal modulé en amplitude et puissance transportée 1. Les trois composantes spectrales correspondent aux fréquences fp −fm, fp et fp + fm. On mesure graphi- quement fp = 3kHz et fm = 200Hz. 2. La composante à la fréquence fp a pour amplitude A, tandis que celle à fp + fm vaut A × m 2 . La mesure graphique du rapport des deux amplitudes nous donne m 2 ≈0, 18, on en déduit m = 0, 36. Exercice 2 : Caractéristiques d’un signal modulé en amplitude et puissance transportée 1. Voir figure. 2. On mesure 9 × Tp = 1, 1ms d’où fp = 8, 2kHz. On mesure Tm = 1, 1ms d’où fm = 909Hz. 3. (a) Il y a trois composantes spectrales : fp = 162kHz, fp+fm = 172kHz et fp−fm = 152kHz. La bande passante autorise un spectre du signal dont le contenu spectral va jusqu’à environ 9 2 = 4, 5kHz, toutes les hautes fréquences (aigües) ne sont donc pas restituées, d’où un son de faible qualité sonore. (b) s(t) = A h cos (2πf −pt + φ −p) + m 2 cos 2π fp + fm  + φp  + m 2 cos 2π fp −fm  + φp i s(t)2 = A2  cos (2πf −pt + φ −p)2 + m2 4 cos 2π fp + fm  + φp 2 + m2 4 cos 2π fp −fm  + φp 2 + termes croisés  s(t)2 = R × P = A2 1 2 + m2 8 + m2 8  P = Pp + 2 × Pb Pp = P 1 + m2 2 = 1561kW Pb = P −Pp 2 = 220kW L’essentiel de la puissance du signal est contenu sur l’onde porteuse, le signal audio intéressant ne correspond qu’à une faible puissance du signal total transmis. 1 PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016 Chapitre E4: Modulation et démodulation du signal Exercices Exercice 3 : Débruitage d’un signal par détection synchrone 1. z(t) = 10 × [u(t) × p(t)] × A cos (2πfot + φ) z(t) 10 = UA cos (2πfot) cos (2πfot + π) + AP cos 2πfpt  cos (2πfot + φ) = UP 2 [cos φ + cos (4πfot + φ)] + AP 2  cos 2π fp −fo  −φ  + cos 2π fo + fp  + φ  Le spectre du signal en sortie du multiplieur est représenté sur la figure ci-dessous : 2. Il faut choisir fc de telle sorte que fc < fo −fp. Ainsi, en sortie du filtre passe-bas ne passera que la composante continue de z(t). 3. Il faut avoir |cos φ| = 1, c’est-à-dire choisir φ = π[π]. 2 PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016 Exercice 4:Transmission d’un signal périodique par modulation d’amplitude 1. On sait que le signal périodique si(t) , de période T0 , peut se mettre sous la forme suivante (cf. annexe 2) : si(t) = ∞  −∞ cn exp  j2pnt T  avec : cn = 1 T0  s0  n T0  = Am T0  T0/2 −T0/2 cos pt T0  exp(−j2pf t) d t où f = n T0 Calculons cn : cn = Am 2T0  T0/2 −T0/2 exp  jpt T0  + exp  −jpt T0  exp(−j2pf t) d t = Am 2T0  T0/2 −T0/2 exp −j2pt  f − 1 2T0  + exp −j2pt  f + 1 2T0  d t L’intégration donne un sinus cardinal. Il vient alors, en faisant f = n/T0 : cn = Am 2 sin  p(n −1/2)  p(n −1/2) + sin  p(n + 1/2)  p(n + 1/2)  d’où c0 = 2Am p c1 = 2Am 3p c2 = −2Am 15p On en déduit, puisque c−n = cn : an = cn + c−n = 2cn et bn = cn −c−n = 0 Finalement si(t) peut se mettre sous la forme : si(t) = A 1 + 2 3 cos(v0t) −2 15 cos(2v0t) + · · · avec A = 2Am p et v0 = 2pf0 Sur la figure S16.2 on a représenté graphiquement le spectre de Fourier  si(f) jusqu’à l’ordre deux inclus. 0 f −2f0 2f0 −f0 f0 ˆ si(f) FIG. S16.2. 98 16. Solutions des exercices 2. Le spectre du signal modulé en amplitude, s(t) =  ap,m + si(t)  cos(vpt) , s’obtient en prenant la Trans- formée de Fourier :  s(f) = 1 2  ap,md(f)+ si(f)  ∗  d(f −fp)+d(f +fp)  = 1 2  ap,md(f −fp)+ si(f −fp)  + 1 2  ap,md(f +fp)+ si(f +fp)  Par définition, le signal analytique sa(t) associé à s(t) a le spectre suivant :  sa(f) = ap,md(f −fp) + si(f −fp) =  ap,md(f) + si(f)  ∗d(f −fp) d’où sa(t) =  ap,m + si(t)  exp(jvpt) 3. Si l’on veut transmettre les deux premiers harmoniques, la bande passante doit être : Df = 2 × 2f0 = 4f0 = 4 kHz Les fréquences caractéristiques du signal s(t) transmis sont donc, en dehors de fp = 1 MHz : fp −f0 = 0, 999 MHz fp −2f0 = 0, 998 MHz fp + f0 = 1, 001 MHz et fp + 2f0 = 1, 002 MHz 4. Le signal analytique sa,1(t) , correspondant à s1(t) , admet comme spectre :  sa,1(f) = ap,md(f −fp) + Ad(f −fp) + A 3 d(f −fp −f0) d’où : sa,1(t) = (ap,m + A) exp(jvpt) + A 3 exp[j(vp + v0)t] = ap,m + A + A 3 exp(jv0t) exp j(vpt) ce qui s’écrit aussi : sa,1(t) = A(t) exp j(vpt) = |A(t)| exp j[vpt + f(t)] avec A(t) = ap,m + A + A 3 exp(jv0t) On en déduit l’amplitude réelle |A(t)| et la phase f(t) : |A(t)| = ap,m + A + A 3 cos(v0t) 2 + A2 9 sin2(v0t) 1/2 = a2 p,m + 10A2 9 + 2A(ap,m + A) 3 cos(v0t) + 2ap,mA 1/2 et : tan f = (A/3) sin(v0t) ap,m + A + (A/3) cos(v0t) Pour ap,m = 2 V et A = 1 V , on trouve : |A(t)| =  9, 1 + 2 cos(v0t) 1/2 et tan f(t) = sin(v0t) 9 + cos(v0t) Chapitre E4: Modulation et démodulation du signal Exercices Exercice 5 : Démodulation par détection d’enveloppe (d’après CCP PSI 2005) 1. ve = vs + vd donc vd = ve −vs. On en déduit les deux régimes de fonctionnement possible : ▷La diode est bloquée tant que vs > ve (vd < 0), alors le condensateur se décharge dans la résistance avec une constante de temps τ = RC et vs(t) = ve(0)e−t τ . Au cours de la décharge il existe un instant tel que vs = ve, la diode devient alors passante. ▷La diode est passante tant que vs = ve (vd = 0). Le condensateur se charge avec vs(t) = ve(t). Si le temps de décharge est grand devant la période T, alors on a vs(t) ≈Ve, c’est-à-dire vs est égale à l’amplitude des oscillations, i.e. à Vo(1 + m cos ωt). Le temps τ ne doit pas non plus être choisi trop grand devant T sinon on risque de ne plus suivre les crêtes du signal : T < τ < 2T . 2. Loi des nœuds : i = C dvs dt + 1 R vs . i = −CVomω sin ωt + 1 R Vo (1 + m cos ωt) i = Vo R h 1 + mejωt −RCmωej(ωt+ π 2 )i = Vo R  1 + mejωt (1 −RCωj) = Vo R  1 + mejωtejφ q 1 + (RCω)2  avec tan φ = −RCω i(t) = Vo R [1 + g cos (ωt + φ)] avec tan φ = −RCω et g = m q 1 + (RCω)2 3. i(t) > 0 ⇒1 + g cos (ωt + φ) > 0 ⇒g < 1 ⇔m2 1 + (τω)2 < 1 ⇔τ < 1 ω r 1 m2 −1 (m < 1) 4. D’après la question 3, l’application numérique conduit à la condition sur τ : τ < 32, 5µs. D’après la question 1), τ > 2π Ω. Finalement : 2, 0µs < τ < 32, 5µs 5 PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016 uploads/s3/ corrige-2 3 .pdf

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Administrationsignal spectre si(t) modulation démodulation
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