Cours SMC4-CUAM Probabilité. Par: Gassous M. Anouar Introduction aux variables

Cours SMC4-CUAM Probabilité. Par: Gassous M. Anouar Introduction aux variables aléatoires L’approche modèrne pour modéliser une expérience aléa- toire est d’utiliser les variables aléatoires. En générale travailler sur l’espace abstrait ( ; P) est lourd ou com- pliqué, et dans la pratique, ce qui nous intéresse quand on a une expérience aléatoire, en générale, c’est de quan- ti…er certaines valeurs qui dépendent de l’expérience. Par exemple, si on joue 1000 fois à pile ou face, et on a en- vie de compter le nombre de pile qu’on a fait dans ces 1000 lancers de pile ou face, et donc on pose la variable aléatoire X le nombre de pile dans ces 1000 lancers. 1 Dé…nitions Dé…nition 1 Etant donné un espace de probabilité ( ; P). Une variable aléatoire c’est une fonction X : ! E: - Si l’ensemble E est …ni ou dénombrable on dit que X est une variable alétoire discrète. - Si l’ensemble E est R ou un intervalle de R on dit que X est une variable aléatoire continue. - Si l’ensemble E est Rd ou un intervalle de Rd; on parlera d’un vecteur aléatoire continue. L’ensemble F des valeurs possibles de la v.a. X est noté parfois val(X) ou X ( ) : Dé…nition 2 On peut dé…nir une probabilité sur E = X ( ), que l’on note PX de la facon suivante: PX (B) = PfX 2 Bg = Pf! 2 ; X(!) 2 Bg; pour tout B sous ensemble de E: On appelle cette probabilité PX la loi de probabilité (ou distribution de probabilité) de X: On commencera d’abord par l’étude des variables aléa- toires discrètes et dans un deuxième chapitre on étudiera les variables aléatoires continues. 2 Variables aléatoires discrètes (v.a.d.) 2-1 Loi de probabilité d’une v.a.d.. Soit X une variable aléatoire discrète de dans E = X ( ) : Dans le cas d’une v.a.d. E est dénombrable c.à d. E = fx1; x2; : : : ; xi; : : :g: et donc B introduite dans la dé…nition 2 est un sous- ensemble de fx1; x2; : : : ; xi : : :g: Il su¢t de prendre B = fxig et alors la loi de probabilité PX est déter- miner par les valeurs PX (xi) = PfX 2 fxigg = P (X = xi) = f (xi) : Remarque 3 Cette fonction x 7! f (x) est appellée fonction de masse ou fonction de distribution par analo- gie pour le cas continue (v.a.c.) on parlera d’une fonction densité de probabilité. En résumé pour déterminer la loi d’une variable aléatoire discrète il su¢t de – Déterminer E l’ensemble des valeurs que peut prendre la v.a.d. X. – Calculer P(X = xi) pour chaque valeur xi 2 E: Exemple 4 On lance une paire de dés non pipés, on con- sidère la variable aléatoire X la somme des deux résultats obtenus. On cherche la loi de X: On a X ( ; P) ! (E; PX) : l’espace = f(i; j) ; 1  i  6 et 1  j  6g muni de la probabilité uniforme P (f!g) = 1 36: Pour déterminer la loi de X on’a pas besoin de déterminer ; et P mais plutôt E et PX: E = f2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12g: PX (2) = P (X = 2) = Pf! 2 ; X (!) = 2g = P (f(1; 1)g) = 1 36: PX (3) = P ((1; 2) ; (2; 1)) = 2 36: PX (4) = P ((1; 3) ; (3; 1) ; (2; 2)) = 3 36: PX (5) = P ((1; 4) ; (4; 1) ; (3; 2) ; (2; 3)) = 4 36: PX (6) = P ((1; 5) ; (5; 1) ; (4; 2) ; (2; 4) ; (3; 3)) = 5 36: PX (7) = P ((1; 6) ; (6; 1) ; (5; 2) ; (2; 5) ; (3; 4) ; (4; 3)) = 6 36: PX (8) = P ((2; 6) ; (6; 2) ; (3; 5) ; (5; 3) ; (4; 4)) = 5 36: PX (9) = P ((3; 6) ; (6; 3) ; (4; 5) ; (5; 4)) = 4 36: PX (10) = P ((5; 5) ; (6; 4) ; (4; 6)) = 3 36: PX (11) = P ((5; 6) ; (6; 5)) = 2 36: PX (12) = P (f(6; 6)g) = 1 36: Donc la loi de probabilité est: (xi; P (X = xi)) c. à d.  2; 1 36  ;  3; 2 36  ;  4; 3 36  ;  5; 4 36  ;  6; 5 36  ;  7; 6 36  ;  8; 5 36   9; 4 36  ;  10; 3 36  ;  11; 2 36  ;  12; 1 36  : que l’on peut représenter dans le tableau suivant: Val(X) 2 3 4


12 P (X = xi) 1 36 2 36 3 36


1 36 Exemple 5 On jette trois fois de suite une pièce de mon- naie non truquée. On cherche la distribution de la variable aléatoire X qui donne le nombre de faces obtenus. E l’ensemble des réalisations de X est f0; 1; 2; 3g est la loi de probabilité est donnée par la table suivante: xi 0 1 2 3 p (X = xi) 1 8 3 8 3 8 1 8 2-2 Représentation graphique des distributions discrètes On peut utiliser des outils statistiques graphiques pour représenter la distribution d’une v.a.d. l’outil le plus util- isé dans ce cadre est le diagramme en battons, mais on peut aussi utiliser l’histogramme. Ces outils permettent de voir d’un seul coup d’oeil, l’étalement des valeurs de la variable et leurs fréquences. Histogramme (loi de probabililité somme du points de 2 dés) Diagramme en batons 2-3 Fonction de répartition La loi ou distribution de probabilité indique, pour chaque valeur xi la probabilité pi = P (X = xi) que la variable aléatoire X prenne la valeur xi. Dans certaines situations, il est plus intéressant de con- naître la probabilité de P(X  xi) que X prenne une valeur inférieure à une valeur donnée xi de E. On intro- duit alors une fonction F (x) = P (X  x): F(xi) = P(X  xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + ::: + P(X = xi) F(x) est une distribution de probabilités cumulées, on l’appelle fonction de répartition de X. Sa représentation graphique a la forme d’un escalier. Exemple 6 (Somme de deux dés) La fonction de répar- tition de X est donnée par la table suivante xi 2 3 4 5 6 7 8


12 PX (xi) 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 1 36 F (xi) 1 36 3 36 6 36 10 36 15 36 21 36 26 36 1 Pour calculer P(4 < X  8), on peut utiliser la distri- bution de probabilité: (Regarder les zones hachurées du graphe correspondant). P(4 < X  8) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) = 4+5+6+5 36 = 5 9: ou la fonction de répartition: (Regarder les ‡éches du graphe correspondant) P(4 < X  8) = F(8) F(4) = 26 36 6 36 = 5 9: - Exemple calculer P (X > 8) : 2.4 Espérance et variance Une variable aléatoire est déterminée par sa distribution de probabilité, cependant il est commode d’en donner des caractéristiques numériques, moins complètes, mais plus maniables qui donnent une idée sur la position et la dispertion de notre variable. Les deux principales sont l’espérance et la variance: - L’espérance mathématique ou moyenne Soit X une v.a.d et V al (X) = fx1; x2;


; xng: On appelle moyenne ou espérance mathématique notée E(X) ou x ou X de la v.a.d X; le nombre: E (X) = x = P i xiP (X = xi) : Autrement, E(X) est l’espérance ou moyenne pondérée des valeurs que la v.a.d peut prendre, les poids étant les probabilités que ces valeurs soient prises. Une des propriétés fondamentale de l’espérence est la linéarité dans le sens ou: Si a et b deux réelles et X; Y deux variables aléatoires, alors : E (aX + bY ) = aE (X) + bE (Y ) : - La variance et l’écart-type On appelle variance de X notée V ar (X) ; ou 2 x le nombre positif suivant: V ar (X) = E (X E (X))2 = P i (xi X)2P (X = xi) = E  X2 E (X)2 : La variance donne une mesure de la dispersion des valeurs autour de la moyenne. La variance n’est pas linéaire mais elle satisfait la relation suivante: Soient a et b deux uploads/s3/ 1-am-nwm-6-p-zfo-xn-s8-ml5-a-mque-cv-qc-20-lnci.pdf

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• Publié le Mai 13, 2022
• Catégorie Creative Arts / Ar...
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