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Devoir Surveill´ e de Math´ ematiques no 2 le samedi 12 Octobre 2019 - dur´ ee

Devoir Surveill´ e de Math´ ematiques no 2 le samedi 12 Octobre 2019 - dur´ ee 3h30. Exercice 1 : R´ esoudre les ´ equations suivantes sur C. a) 2z2 −(1 + 3i)z −2 = 0. b) (z2 + 1)4 = z4. c) z6 + 2iz3 −2 = 0. d) z7 + z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0. Exercice 2 : D´ eterminer des expressions explicites des suites r´ ecurrentes suivantes : a) (un)n≥0 d´ eﬁnie par u0 = 2 et ∀n ≥0, un+1 = 2un −3. b) (qn)n≥0 d´ eﬁnie par q0 = 1 + √ 2 et ∀n ≥0, qn+1 = √ 2qn + 1. c) (vn)n≥0 d´ eﬁnie par v0 = 3, v1 = 4 et ∀n ≥0, vn+2 = 10vn+1 −21vn. d) (wn)n≥0 d´ eﬁnie par w0 = 1, w1 = 2 et ∀n ≥0, wn+2 = 2wn+1 −4wn. Probl` eme I : On consid` ere l’application f : C →C, z 7→z2 + 2z. a) Montrer que f −1{−1} = {−1} et f −1{0} = {0, −2}. L’application est-elle injective ? b) D´ eterminer f −1(R). Traduire g´ eom´ etriquement ce domaine d’aﬃxes. c) Montrer que f −1(U) = n −1 + ε √ 2eiθ/4p cos(θ/2) pour θ ∈] −π, π] et ε ∈{−1, 1} o . d) Montrer que f est surjective. Probl` eme II : Soient E un ensemble et A, B ∈P(E) des parties de E. Consid´ erons l’application f : P(E) →P(A) × P(B), X 7→(X ∩A, X ∩B). a) Montrer que f est injective ssi A ∪B = E. b) Montrer que f est surjective ssi A ∩B = ∅. c) En d´ eduire une condition n´ ecessaire et suﬃsante pour que f soit bijective. Dans ce cas, calculer la r´ eciproque f −1. Probl` eme III : Soit ω = e2iπ/5. On appelle A0, A1, A2, A3, A4 les points d’aﬃxes respectives 1, ω, ω2, ω3, ω4 dans le plan muni d’un rep` ere orthonorm´ e (O,⃗ i,⃗ j). a) On pose u = ω + ω4 et v = ω2 + ω3. D´ emontrer que u et v sont les solutions de l’´ equation z2 + z −1 = 0 b) En d´ eduire une valeur de cos(2π/5) ` a l’aide de radicaux. c) D´ eterminer l’aﬃxe de H le point d’intersection de (A1A4) avec l’axe des abscisses. d) Soit C le cercle de centre Ωd’aﬃxe −1 2 passant par le point B d’aﬃxe i. Ce cercle coupe l’axe des abscisses en deux points M et N. On notera M le point d’aﬃxe positive. Montrer que H est le milieu de [OM]. D´ eterminer l’aﬃxe de N. e) Tracer la ﬁgure form´ ee par les points de l’´ enonc´ e ` a la r` egle et au compas. (Echelle 1 unit´ e = 4 cm) N.Provost PCSI1 2019-2020 uploads/s3/ devoir-de-mathematiques-pcsi-2 1 .pdf