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1 Séance du 02/11/2020: Exercices: https://www.apmep.fr/IMG/pdf/BTS_Info_de_gestion_obli_Metropole_2000_DV.pdf Rappel:  ax + by = (L1) cx + dy = (L2) c  L1 a  L2 on élimine l’une des variables, dans ce cas on élimine x et on calcule y. Autre méthode, on calcule x en fonction de y et on calcule y. Partie A: 1) f (0) = 0:2 et f (9) = 0:4 1 1 + k = 0:2 et 1 1 + ke9a = 0:4 1 + k = 5 et 1 + ke9a = 2:5 2) k = 4 et 1 + 4e9a = 2:5 4e9a = 1:5 e9a = 1:5 4 9a = ln 1:5 4  et a = ln 1:5 4  9 = 0:11  102 Etude d’une fonction: f (t) = 1 1+4e0:11t 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 x y 1a) lim t!+1 1 1 + 4e0:11t = 1 1 + 4  0 = 1 si t ! +1 alors 0:11t ! 1 lim t!1et = 0 et lim t!+1et = +1 exp -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 20 40 60 80 100 120 140 x y 2 la courbe admet pour droite asymptotique la droite  : y = 1 1b)  1 u 0 = u0 u2 , (eu)0 = u0eu, eat0 = aeat, (au)0 = au0  1 1 + 4e0:11t 0 = 1 + 4e0:11t0 (1 + 4e0:11t)2 = 0:44e0:11t (1 + 4e0:11t)2 1c) t 0    + 1 f 0 (t) + f 0:2 %1 1d)cf dessin 1e)cf dessin f (t) = 1 1 + 4e0:11t = 0:6 1 + 4e0:11t = 1 0:6 4e0:11t = 1 0:6 1 e0:11t = 1 0:6 1 4 0:11t = ln e0:11t = ln  1 0:6 1 4  ln et = t, 8t 2 R et eln(t) = t, 8t > 0 t = ln  1 0:6 1 4  0:11 = 16: 29  102 2) F 0 (t) = 1 0:11 ln 4 + e0:11t0 (ln (u))0 = u0 u F 0 (t) = 1 0:11  4 + e0:11t0 4 + e0:11t = 1 0:11  0:11e0:11t 4 + e0:11t = e0:11t 4 + e0:11t F 0 (t) = e0:11t 4 + e0:11t  e0:11t e0:11t = 1 4e0:11t + 1 = f (t) ea  eb = ea+b, e0 = 1 3 Rappel:La valeur moyenne de f sur [a; b] est V[a;b] (f) = 1 b a Z b a f (t) dt = F (b) F (a) b a V[7;9] (f) = 1 2 Z 9 7 f (t) dt = F (9) F (7) 2 = 1 0:11 ln 4 + e0:119 1 0:11 ln 4 + e0:117 2 = 1 0:11  2 ln 4 + e0:119 4 + e0:117  = 1 0:22 ln 4 + e0:99 4 + e0:77  = 0:3762  104 Partie B: C1) f (20) = 1 1 + 4e0:1120 = 1 1 + 4e2:2 = 0:692 9  104 69:2 9% des ménages équipés d’un ordinateur en 2010: C2)En 2007 on aura plus de 60% des ménages équipés d’un ordinateur C3)Valeur approchée du pourcentage moyen entre 1997 et 1999 est V  38% Séance du 04/11/2020: https://www.apmep.fr/IMG/pdf/BTSCGOCaledonieoctobre2002- 2.pdf https://www.apmep.fr/IMG/pdf/BTS_CGO_NlleCaledonie_nov_2003.pdf Exercice 1: 1) type a type b Total Métalliques 2500 3500 6000 Céramiques 500 3500 4000 Total 3000 7000 10000 2a) p (A \ C) = 500 10000 = 0:05 2b) p (A [ C) = 3000 + 3500 10000 = 0:65 2c) pA (C) = p (A \ C) p (A) = 0:05 0:3 = 0:17  102 4 2d) pB (M) = p (B \ M) p (B) = 0:35 0:70 = 0:5 B1)X suit B (10; 0:4) B2) p (X = 2) = C2 10  0:42  0:68 = 0:12  102 B3) p (X 6 2) = 0:17  102 Remark 1 Si on cherche la proba d’avoir au plus deux pièces mé- talliques, on calcule p (X > 8) C1) p (Y 6 368) = 0:90  102 Courbe de f (t) = 1 p 2e t2 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.4 x y 1 p 2 Z 368342 20 1 e t2 2 dt = 0:903 20 T = Y m  = Y 342 20 , f (t) = 1 p 2 e t2 2 Y 6 368 , T 6 368 342 20 = 1:3 5 C2) p (Y > 330) = 0:73  102 1 p 2 Z +1 330342 20 e t2 2 dt = 0:725 75 C3) p (Y 6 M) = 0:85 M = InvNorm (0:85; 342; 20) = 362:73  102 Exercice2: f (x) = 1 1ln(2) (x ln (x + 1)) 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 12 x y 1a) f 0 (x) = 1 1 ln (2) (x ln (x + 1))0 = 1 1 ln (2)  1 1 x + 1  = 1 1 ln (2)  x x + 1 1b)f 0 (x) > 0 si x 2 ]0; 1] et f 0 (0) = 0 car 1 1 ln (2)  3:26 1c) x 0       1 f 0 (x) 0    +    f 0 %f1 6 2) x 0 0:1 0:2 0:5 0:8 0:9 1 f (x) 0 0:02 0:06 0:31 0:7 0:84 1 3)g (x) = x f (x) = x 1 1ln(2) (x ln (x + 1)) -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y 3a) g0 (x) = 1 f 0 (x) = 1 1 1 ln (2)  x x + 1 g0 (x) = 0 = 1 1 1 ln (2)  x x + 1 1 1 ln (2)  x x + 1 = 1 x x + 1 = 1 ln (2) x = (1 ln (2)) (x + 1) x = (1 ln (2)) x + (1 ln (2)) x (1 ln (2)) x = 1 ln (2) ln (2) x = 1 ln (2) x = 1 ln (2) ln (2) = 1 ln (2) 1 7 2 Séance du 09/11/2020: https://www.apmep.fr/IMG/pdf/BTSInfogestionMetropolefacul.pdf https://www.apmep.fr/IMG/pdf/BTSInfogestionobliNlleCaledodec2000_DV.pdf Rappels de cours sur la loi exponentielle et la …abilité: Soit T une variable aléatoire T : E ! [0; +1[ de densité f Fonction de défaillance: F (t) = p (T 6 t) = Z t 0 f (x) dx Fonction de …abilité: R (t) = 1 F (t) Taux d’avarie instantanée:  (t) = f (t) R (t) = R0 (t) R (t) = f (t) 1 F (t) R0 (t) = (1 F (t))0 = F 0 (t) = R0 (t) MTBF:Moyenne de temps de bon fonctionnement: MTBF = E (T) = Z +1 0 xf (x) dx Fiabilité d’un système: En série: R (t) = R1 (t)  R2 (t)      Rn (t) En parallèle: F (t) = F1 (t)  F2 (t)      Fn (t) Loi exponentielle:La loi exponentielle est la loi suivie par T lorsque le taux d’avarie instantané est constant  (t) =  > 0 Theorem 2 R (t) = et F (t) = 1 et f (t) = et E (T) =  (T) = 1 . 8 Ex2: 1) MTBF = 1  = 1 0:0125 = 80 2) R (60) = e0:012560 = 0:472  103 3) R (t) = e0:0125t 6 0:1 0:0125t 6 ln (0:1) t > ln (0:1) 0:0125  184: 21 donc au 185 jour. 4) p (F > 3) = 0:951  103 Ex1: 3) J = Z 1 0 2x + x3 dx =  x2 + x4 4 1 0 = 1 + 1 4 = 5 4 https://www.apmep.fr/IMG/pdf/BTSInfogestionobliNlleCaledodec2000_DV.pdf Ex2: A) 1a) X suit B (n; 0:9) 1b)n = 20 p (X = 2) = 0  103 : 2)Règles: (B (n; p)  P ()) ( ) ( = np) (B (n; p)  N (m; )) ( ) (m = np et  = pnpq) , q = 1 p (N (m; )  P ()) ( )  m =  et  = p   2a)  = np = 100  0:9 = 90 2b) p (X = 4) = 0  103 p (X > 2) = 1 p (X 6 2) = 1  103 B) 1) p (25 6 Y 6 35) = 0:468  103 9 2) p (Y uploads/s3/ devoir-math-nouvelle-caledonie-2003.pdf

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