PC* Devoir n  6: DS 2012 −2013 Vendredi 26 Octobre Octobre 2012 - 4h Exercice

PC* Devoir n  6: DS 2012 −2013 Vendredi 26 Octobre Octobre 2012 - 4h Exercice I Soit a ∈R et A ∈M3(R) dé nie par A =   1 0 −2 −2 −1 0 1 2 a  . 1. Calculer det(A). Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle inversible ? 2. On suppose a ̸= 6. On note X =   x y z  et B =   α β γ  . Résoudre le système AX = B. (On pourra par exemple utiliser les formules de Cramer). En déduire A−1. 3. On prend dans la suite a = 3. Soit E un espace vectoriel sur R de dimension 3. Soit B = (e1, e2, e3) une base de E et f endomorphisme de E de matrice A dans B. (a) Soit ε1 = −2e1 + e2 + 2e3. Calculer f(ε1). Que constate-t-on ? (b) Soit ε2 = e1 et ε3 = −2e2 + e3. Déterminer f(ε2) et f(ε3) en fonction de e1, e2, e3 puis en fonction exclusivement de ε2 et ε3. (c) Montrer que (ε1, ε2, ε3) est une base de E et montrer que la matrice de f dans cette base est A′ =   3 0 0 0 1 −2 0 1 −1  . (d) Calculer A′2 et A′3. Donner une expression de A′p pour tout p de N. (e) Soit n ∈N. Calculer A4n. 4. (a = 3). (a) Véri er que A′3 −3A′2 + A′ −3I3 = (0). En déduire que A3 −3A2 + A −3I3 = (0). (b) Soit P0(X) = X3 −3X2 + X −3. Déterminer les racines dans C de P0. (c) Soit n ∈N. Le reste de la division euclidienne de Xn par P0 est noté Rn(X) = anX2 + bnX + cn. En utilisant les racines de P0, calculer expli- citement an, bn, cn. (d) En déduire une expression de An en fonction de A2, A et I3. Exercice II On considère deux suites (an)n ∈N∗et (bn)n ∈N∗d'éléments de C telles que, pour tout i , tout j , ai + bj ̸= 0. On suppose de plus les bj tous distincts. Pour tout N ∈N∗on note MN la matrice carrée d'ordre N d'élément général mi,j = 1 ai + bj , 1 ≤i ≤N et 1 ≤j ≤N. On note DN = det(MN) et F(X) = (X −a1)...(X −aN−1) (X + b1)...(X + bN) . DS 6 - 1 sur 4 PC* Devoir n  6: DS 2012 −2013 1. Déterminer les scalaires c1, ..., cN tels que : F(X) = N ∑ i=1 ci X + bi 2. On note D = 1 a1+b1 .. 1 a1+bN−1 F(a1) .. .. .. .. .. .. .. .. 1 aN+b1 .. 1 aN+bN−1 F(aN) Montrer que D = 1 a1+b1 .. 1 a1+bN−1 cN a1+bN .. .. .. .. .. .. .. .. 1 aN+b1 .. 1 aN+bN−1 cN aN+bN 3. En déduire que DN = F(aN) cN DN−1. 4. Montrer que DN = ∏ 1≤i<j≤N(aj −ai) ∏ 1≤i<j≤N(bj −bi) ∏ (i,j)∈{1,...,N}2(ai + bj) DS 6 - 2 sur 4 PC* Devoir n  6: DS 2012 −2013 Problème Si n ∈N, Mn(R) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coe cients réels. L'élément ligne i et colonne j d'une matrice M de Mn(R) sera noté mi,j. La matrice identité de Mn(R) est notée Id. On appelle matrice semi-magique d'ordre n, une matrice M de Mn(R) telle qu'il existe un réel, noté σ(M) véri ant ∀i ∈{1, .., n} n ∑ j=1 mi,j = σ(M) et ∀j ∈{1, .., n} n ∑ i=1 mi,j = σ(M) On note SMn l'ensemble des matrices semi-magiques d'ordre n. On note Kn l'ensemble Kn = {(i, j) ∈{1, ..., n}2/ i + j = n + 1}. On appelle matrice magique d'ordre n une matrice M de Mn(R) ayant les proprié- tés suivantes : M est semi-magique et σ(M) = tr(M) = n ∑ i=1 mi,i et σ(M) = ∑ (i,j)∈Kn mi,j. On note MGn l'ensemble des matrices magiques d'ordre n. Un vecteur colonne X ∈Mn,1(R) est dit vecteur propre d'une matrice M ∈Mn(R) si X ̸= 0 et si il existe un réel λ tel que MX = λX. 1. On note V l'élément de Mn,1(R) dont tous les éléments sont égaux à 1. V =    1 . . . 1   . Montrer que M est une matrice semi-magique si et seulement si V est vecteur propre commun de M et tM associé à la même valeur propre. 2. (a) Montrer que l'ensemble des matrices semi-magiques est un sous-espace vectoriel de Mn(R). (b) Véri er que Id est semi-magique. Montrer que le produit de deux matrices semi-magiques est une matrice semi-magique. (c) Montrer que MGn est un sous-espace vectoriel de Mn(R). 3. Soit E la matrice à coe cients réels telle que : ∀(i, j) ∈{1, ..., n}2, ei,j = 1. Montrer que E est magique. Montrer que ∀p ∈N∗, Ep = np−1E. 4. Montrer que, pour toute matrice semi-magique M on a : EM = ME = σ(M)E. 5. Dans cette question on impose n = 3. (a) Montrer que toute matrice de MG3 est la somme d'une matrice magique symétrique et d'une matrice magique antisymétrique et que cette décom- position est unique. (b) Construire toutes les matrices magiques antisymétriques de MG3. DS 6 - 3 sur 4 PC* Devoir n  6: DS 2012 −2013 (c) Construire toutes la matrices magiques symétriques de MG3 de trace nulle. En remarquant que M −1 3tr(M)E a une trace nulle, en déduire toutes les matrices magiques symétriques de MG3. Donner une base de l'ensemble des matrices symétriques de MG3. 6. On se propose de démontrer que si M est une matrice magique de de MG3, alors, pour tout entier p impair, M p est magique. (a) Soit M matrice magique de MG3 de trace nulle. On admet qu'il existe un un polynôme du troisième degré P, P(X) = X3 + aX2 + bX + c ∈R3[X] tel que P(M) = M 3 + aM 2 + bM + cId = (0) avec a = −tr(M). Montrer que si c ̸= 0 alors M est inversible et que la relation démontée dans la question 4) conduit à une contradiction. En déduire l'existence d'un réel λ tel que M 3 = λM puis montrer que pour tout entier p impair, M p est magique. (b) Soit M une matrice magique de MG3. On note M0 = M −1 3tr(M)E. Calculer M p et montrer que, pour p entier impair, M p est magique. 7. Dans cette question on impose n = 4 et on considère la matrice magique d'ordre 4 de MG4 A =     2 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0     (a) Véri er que A2 = A + 2Id. (b) Soit p ∈N. Montrer qu'il existe deux entiers positifs ap et bp tels que Ap = apA + bpId. (c) Démontrer que pour tout p ≥2, Ap n'est pas magique. DS 6 - 4 sur 4 uploads/s3/ ds-6-2.pdf

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Administrationmatrice montrer matrices d'ordre magique
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