1 DS1 : Fibre optique Mines-Ponts. MP. 2006 On étudie la propagation d’ondes él

1 DS1 : Fibre optique Mines-Ponts. MP. 2006 On étudie la propagation d’ondes électromagnétiques dans une fibre optique (domaine infrarouge proche). Dans tout le problème : exprimer signifie donner l’expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique. On donne la vitesse de la lumière dans le vide : c = 3.108 m.s−1. 1.1 Préliminaire Q1. Quelle est, exprimée en longueur d’onde, la bande spectrale des micro-ondes 1 ? [Quel physicien fut le premier à produire expérimentalement et détecter des ondes électromagnétiques de fréquence de l’ordre du GHz, en 1887, confirmant ainsi la théorie de J. C. Maxwell ?] 2 À quel domaine de longueur d’ondes le rayonnement proche infrarouge appartient-il ? 1.2 Guidage par fibre optique On considère (Fig. 1) un guide d’ondes diélectrique constitué de deux cylindres concentriques de section circulaire, et constitués l’un et l’autre de matériau isolant (la silice). L’indice de réfraction de la partie centrale, appelée cœur, est noté n1 (cet indice n’est pas nécessairement uniforme) ; l’indice de la partie périphérique, appelée gaine, est noté n2, avec n2 < n1 ; l’indice de gaine est uniforme. Le milieu extérieur est l’air, assimilé au vide et donc d’indice égal à 1. On note f la fréquence des ondes, ω leur pulsation et λ0 = c f leur longueur d’onde dans le vide. 1.2.1 Fibre optique à saut d’indice Dans une fibre à saut d’indice, le cœur (de diamètre 2.a) et la gaine sont des milieux homogènes : n1 et n2 sont uniformes. On note z la direction générale de propagation (Fig. 2). Q2. Montrer que le rayon lumineux est guidé dans le cœur (c’est-à-dire qu’il n’en sort pas) si θ est supérieur à une certaine valeur, θL, que l’on exprimera en fonction de n1 et de n2. Calculer θL pour une fibre d’indice de cœur n1 = 1, 456 entourée d’une gaine d’indice n2 = 1, 410. Q3. On note i l’angle d’entrée du rayon à l’extérieur de la fibre (Fig. 2). Exprimer, en fonction de ∆= n1 −n2 (∆≪n2) 3 et n1, la valeur maximale de i (notée imax) pour que le guidage soit assuré dans la fibre. Calculer sin(imax) (appelée ouverture numérique). Introduction aux questions 4 à 8 La condition θ > θL est nécessaire mais non suffisante pour rendre compte du détail de la propagation dans la fibre. Anticipons sur les résultats de l’approche ondulatoire en introduisant, de manière empirique à ce stade, une phase associée aux rayons 4 : les ondes planes associées aux rayons totalement réfléchis interfèrent. Seuls certains angles d’inclinaison satisfont une condition de phase qui construit une interfé- rence identique tout le long de l’axe de propagation ; ils correspondent aux modes guidés. Considérons (Fig. 3) la direction de propagation parallèle à AB et à CD et le plan d’onde 5 (π) relatif à cette direction. Pour qu’il y ait propagation, il faut que les champs correspondant à cette direction soient en phase. 1. fréquences comprises entre 300 MHz et 300 GHz environ. 2. Hertz 3. ∆très inférieur à n2. 4. Des travaux relativement récents justifient cette procédure, qui semble paradoxale. En effet, on manipule des concepts antagonistes : nous utilisons des rayons lumineux (approche corpusculaire) mais nous introduisons un déphasage φ = 2.π.ℓ λ0 (approche ondulatoire). 5. Un plan d’onde est un plan où les ondes sont en phase ; ces plans sont perpendiculaires à la direction de propagation. Q4. On ne tient pas compte de l’éventuel déphasage introduit par la réflexion sur l’interface cœur/gaine. Montrer alors que le déphasage φ entre l’amplitude de l’onde en P et l’onde en P ′ s’exprime par 6 : φ = 4.π.n1. 2.a λ0 . cos(θ). Q5. En déduire l’existence de modes de propagation 7, valeurs discrètes de θ notées θm où m est un entier, pour lesquelles la propagation est possible. Exprimer le nombre NM de modes possibles, en fonction de n1, n2, a et λ0. L’entier m est appelé l’ordre du mode. Q6. Le diamètre de cœur 2.a étant donné, démontrer l’existence d’une fréquence de coupure 8 pour le mode d’ordre m. Préciser le comportement fréquentiel 9 du dispositif. Q7. Le mode fondamental correspond, par définition, à m = 0. Exprimer, puis calculer, pour λ0 = 1, 5.10−6 m, la valeur maximale que peut prendre a pour que seul ce mode se propage. On dit alors que la fibre est monomode. Q8. Soit L la longueur de la fibre 10. Exprimer la différence ∆T de temps de parcours de l’entrée à la sortie, entre le trajet de durée minimale (θ = 0) et le trajet maximal (θ = θL). Donner l’expression approchée de ∆T en fonction seulement de L, ∆et c. On convient que le débit maximal de la fibre, Rsaut max, est l’inverse de ∆T. Calculer Rsaut max (bits par seconde). Introduction à la fibre optique à gradient d’indice Dans les fibres optiques utilisées en télécommunications, un message (Fig. 4) est constitué d’une succession de signaux (on dit quelquefois impulsions) binaires (présence [0] ou absence [1]) de durée égale, δ. Le débit numérique maximal, exprimé en signaux par seconde, est alors Rsaut max = 1 δ . Divers phénomènes distordent les impulsions qui se propagent, ce qui entrave la reconstitution de l’information. On améliore la situation en utilisant une fibre diteà gradient d’indice. L’indice de réfraction est continu à l’intérieur de ce genre de fibre 11 ; il varie dans le cœur avec la distance r à l’axe Oz et il est constant dans la gaine (r ≥a), avec la valeur n2. L’indice dans le cœur (Fig. 5), est modélisé, pour 0 ≤r ≤a, par n(r) = n1. q 1 −n2 1−n2 2 n2 1 .F( r a), où F est monotone croissante sur [0, 1], avec F(0) = 0. 1.2.2 Fibre optique à gradient d’indice Q9. On admet que la loi de Descartes est applicable de proche en proche, c’est-à-dire que n(r). sin(θ(r)) est constant. Un rayon lumineux entre dans la fibre au centre de la face d’entrée, avec un angle externe d’incidence i ; il se dirige à l’intérieur de la fibre vers les r croissant avec un angle interne θ0 au point (z = 0+, 6. φ = 2.π.ℓ λ0 avec ℓ= n1.(PB + BC + CP ′) 7. il y a interférence constructive si φ est un multiple de 2.π 8. fréquence au-delà ou en-deça de laquelle il n’y a pas de propagation. 9. Dire si le dispositif est : 1) passe-bas = ne laisse passer que les fréquences en-deça de la fréquence de coupure ; 2) passe-haut = ne laisse passer que les fréquences au-delà de la fréquence de coupure ; 3) passe-bande = ne laisse passer que les fréquences entre deux fréquences de coupure ; 4) coupe-bande = lne laisse pas passer les fréquences entre deux fréquences de coupure. 10. On prendra L = 1 km. 11. En réalité, il est constant par morceaux autour de l’axe de révolution. r = 0), de sorte que sin(i) = n1. cos(θ0). Montrer que ce rayon se propage dans un plan et que l’équation différentielle donnant sa trajectoire dans la fibre s’écrit : 1 + dr dz 2 = n2(r) n2 1. sin2 θ0 [1]. Q10. Quelle est la valeur de F(1) ? Retrouver l’expression de l’ouverture numérique (cf. question 3), à partir de l’équation différentielle [1] et de l’expression générale de l’indice. Q11. En considérant le portrait de phase 12 associé à [1], montrer que la trajectoire des rayons, r(z), est une fonction périodique de z. Q12. Dans une fibre à gradient d’indice de longueur L, la différence de temps de parcours entre le trajet minimal et le trajet maximal est ∆T ′ = 1 2.n1.  n1−n2 n1 2 . L c . Déduire de cette relation le débit numérique maximal (cf. question 8). Exprimer et calculer Rgrad indice max Rsaut max . 12. Le portrait de phase est la courbe paramétrée (r, dr dz ). Pour une fonction r(z) périodique, le portrait de phase est une courbe fermée. Pour simplifier, on prendra : F( r a ) = r a 2 ; montrer que r(z) est périodique. uploads/s3/ ds1b-pc.pdf

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