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Transformée en ondelettes discrète DWT IMCLab Page 1 1. Généralités La transfor

Transformée en ondelettes discrète DWT IMCLab Page 1 1. Généralités La transformée en ondelettes discrète DWT est un algorithme rapide. Le mécanisme de décomposition DWT consiste à séparer par filtrage un signal en deux composantes : approximation et détails. L’approximation qui renseigne sur l’allure générale du signal caractérise le contenu basses fréquences (grandes échelles) et les détails qui renseignent sur les nuances caractérisent le contenu hautes fréquences (petites échelles). Transformée en ondelettes discrète DWT IMCLab Page 2 La procédure de décomposition est comme suit : Le signal initial considéré comme l’approximation du niveau 0 est convolué par la réponse impulsionnelle des filtres passe bas et passe haut. Les coefficients d’approximation et de détail du niveau 1 sont obtenus par sous échantillonnage (changement d’échelle). La décomposition pour un niveau supérieur (approximation et détail) est obtenue en réitérant la même procédure de filtrage et de sous échantillonnage. Transformée en ondelettes discrète DWT IMCLab Page 3 Bandes passantes La bande passante des filtres lors de la décomposition d’un signal contenant par exemple des fréquences entre 0 et 1000Hz est comme suit Bandes passantes des filtres passe bas et passe haut =     0 0 1000 A =     1 0 500 A =     2 0 250 A =     3 0 125 A =     1 500 1000 D =     2 250 500 D =     3 125 250 D Transformée en ondelettes discrète DWT IMCLab Page 4 2. Analyse DWT La DWT permet de décomposer un signal (résolution ou level j=0) en une approximation et un détail à la résolution j=1. La décomposition nécessite une fonction génératrice appelée fonction d’échelle φ(x) qui génère une fonction ondelette ψ(x). La fonction échelle détermine l’approximation alors que la fonction ondelette détermine les détails. 2.1. Concept du produit scalaire Les coefficients d’approximation à la résolution j=1 sont définis par [ ] =< φ > 1 1, , n a n f − − φ = φ − 1/ 2 1 1, ( ) 2 (2 ) n x x n Le signal approximation à la résolution j=1 est défini par [ ] = φ ∑ 1 1 1, . n n A f a n Les coefficients de détail à la résolution j=1 sont définis par [ ] =< ψ > 1 1, , n d n f − − ψ = ψ − 1/ 2 1 1, ( ) 2 (2 ) n x x n Le signal détail à la résolution j=1 est défini par = ψ ∑ 1 1 1, [ ]. n n D f d n Transformée en ondelettes discrète DWT IMCLab Page 5 2.2. Concept de filtrage La fonction échelle est associée à réponse impulsionnelle du filtre passe bas alors que la fonction ondelette est associée à réponse impulsionnelle du filtre passe haut. La fonction échelle (fonction génératrice) détermine les coefficients du filtre passe bas à partir desquels on détermine les coefficients du filtre passe haut. Les coefficients filtre passe bas sont donnés par =< φ φ − > [ ] ( ), (2 ) h n x x n La fonction échelle peut être écrite sous la forme φ = φ − ∑ ( ) 2 [ ] (2 ) n x h n x n Les coefficients filtre passe haut sont donnés par = − − [ ] ( 1) [1 ] n g n h n Le filtre passe haut est conjugué miroir (miroir en quadrature) du filtre passe bas. La conjugaison est représentée par le terme (- 1)n et l’effet miroir est représenté par terme (-n). La fonction ondelette peut être écrite sous la forme ψ = φ − ∑ ( ) 2 [ ] (2 ) n x g n x n Transformée en ondelettes discrète DWT IMCLab Page 6 2.3. Exemples Fonction génératrice Haar Fonction échelle Haar Présentation de la fonction Haar φ = ≤ ≤ ( ) 1 0 1 x si x Coefficients filtre passe bas = [0] 1/ 2 h = [1] 1/ 2 h Coefficients filtre passe haut = [0] 1/ 2 g = − [1] 1/ 2 g Fonction ondelette Haar Transformée en ondelettes discrète DWT IMCLab Page 7 Fonction génératrice Daubechies Coefficients filtre passe bas = + [0] (1 3)/ 4 2 h = + [1] (3 3)/ 4 2 h = − [2] (3 3)/ 4 2 h = − [3] (1 3)/ 4 2 h Réponse impulsionnelle du filtre passe bas, ondelette Daubechies Coefficients filtre passe haut = [0] [3] g h [ ] = − [1] 2 g h [ ] = 2 [1] g h [ ] = − 3 [0] g h = − [0] (1 3)/ 4 2 g = −+ [1] ( 3 3)/ 4 2 g [ ] = + 2 (3 3)/ 4 2 g [ ] = −− 3 ( 1 3)/ 4 2 g Réponse impulsionnelle du filtre passe haut, ondelette Daubechies Transformée en ondelettes discrète DWT IMCLab Page 8 3. Algorithme de Mallat 3.1. Analyse DWT Les coefficients d’approximation du signal à la résolution j=1, sont obtenus par la convolution du signal initial (approximation résolution j=0) par la séquence retournée du filtre passe bas h[n] suivi d’un sous échantillonnage (décimation) par un facteur 2. = ∗ ↓ % 1 0 [ ] ( [ ] [ ]) 2 a n a n h n = − %[ ] [ ] h n h n Les coefficients de détails à la résolution j=1, sont obtenus par la convolution du signal initial par la séquence retournée du filtre passe haut g[n] suivi d’un sous échantillonnage. = ∗ ↓ % 1 0 [ ] ( [ ] [ ]) 2 d n a n g n = − %[ ] [ ] g n g n 3.2. Synthèse DWT La procédure de synthèse est l’inverse de la procédure d’analyse. Les filtres d'analyse et de synthèse sont identiques. Lors de la reconstruction (synthèse) on détermine les approximations des niveaux inférieurs jusqu’au signal original niveau 0. L’approximation d’un niveau j-1 est obtenue en additionnant après avoir convolué par les filtres passe bas et passe haut les Transformée en ondelettes discrète DWT IMCLab Page 9 coefficients d’approximation et de détail au niveau j sur- échantillonnés. − = ↑ ∗ + ↑ ∗ 1[ ] ( [ ] 2) [ ] ( [ ] 2) [ ] j j j a n a n h n d n g n −= ↑ − + ↑ − ∑ ∑ 1 ( 2). [ ] ( 2). [ ] j j j n k k k k a a h n k d g n k La reconstruction finale du signal est = ↑ ∗ + ↑ ∗ 0 1 1 [ ] ( [ ] 2) [ ] ( [ ] 2) [ ] a n a n h n d n g n = ↑ − + ↑ − ∑ ∑ 0 1 1 ( 2). [ ] ( 2). [ ] n k k k k a a h n k d g n k = 0[ ] f a n uploads/s3/ dwt.pdf