KARIM Mohammed – Faculté des Sciences de Fès www.fsdmfes.ac.ma Chapitre 1: S

 KARIM Mohammed – Faculté des Sciences de Fès www.fsdmfes.ac.ma Chapitre 1: Systèmes de Numération et Codes I. Introduction Habituellement, on utilise le système décimal pour représenter les nombres, mais il est possible d’utiliser d’autres systèmes de numération. Nous nous intéressons dans ce chapitre aux systèmes de numération fréquemment rencontrés en technologie numérique. Il s'agit des systèmes binaire, octal, décimal et hexadécimal. Avant de décrire ces systèmes, nous allons définir la notion de base d'un système de numération ainsi que le principe d’écriture d’un nombre dans un système de numération de base b quelconque. 1- Base d’un système de numération La base b est définie comme étant le nombre de symboles différents utilisés pour représenter des nombres dans un système de numération de base b. Le système décimal, par exemple, dispose de dix symboles (appelés chiffres) notés 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. En décimal, b=10. 2- Forme polynomiale Tout nombre N peut être représenté dans un système de numération de base b sous la forme suivante : (N)b = a0b0 + a1b1 +……………..+ anbn avec 0≤ ai ≤b-1 Cette forme est appelée forme polynomiale Soit l’écriture simplifiée : (N)b = (an …... a0)b Le nombre N est représenté comme une séquence de symboles : an ……a0. La notation ()b indique que le nombre est écrit en base b. En décimal, on ne note pas d’indice. Le poids (rang) de ai est égal à i. Par exemple, dans le système décimal, on écrit 154 pour représenter le nombre : 154 = 4.100 + 5.101 + 1.102  KARIM Mohammed – Faculté des Sciences de Fès www.fsdmfes.ac.ma II- Systèmes de Numération 1. Système décimal (b = 10) Le système décimal est composé de dix symboles (appelés chiffres) allant de 0 à 9. Un nombre décimal s'écrit comme une séquence de chiffres : an ………… a0. Le poids de chaque chiffre dépend de sa position dans le nombre décimal considéré. Il est égal à l'exposant de la base qui lui est associée dans la forme polynomiale du nombre considéré N. Le chiffre de droite s'appelle le chiffre le moins significatif (à poids faible), celui de gauche s'appelle le chiffre le plus significatif (à poids fort). La séquence ‘541’ et la séquence ‘145’ ne représentent pas le même nombre décimal car les poids des chiffres ne sont pas les mêmes. Selon la forme polynomiale, nous pouvons écrire :  = =          , où ai ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Exemple: 496 = 6 x 100 + 9 x 101 + 4 x 102 4 est le chiffre le plus significatif (poids : 2) 6 est le chiffre le moins significatif (poids : 0) Remarque : Si N n'est pas entier, on traitera la partie entière de la manière indiquée ci-dessus. La partie fractionnaire sera traitée selon le même principe en utilisant les puissances négatives. Exemple : 415,26 = 5 x 100 + 1 x 101 + 4 x 102 + 2 x 10-1 + 6 x 10-2 De toute évidence, le système décimal est le plus familier de nous tous. Malheureusement, les circuits numériques ne fonctionnent pas en mode décimal, c'est à dire un mode qui nécessite dix niveaux de tension différents pour leur fonctionnement. C'est la raison pour laquelle la technologie numérique fait appel à un système qui n'utilise que deux niveaux de tension distincts. Ce système est appelé système binaire. 2. Système binaire (b = 2) C'est le système le plus utilisé en électronique numérique. Il comprend deux symboles {0,1} appelés bits. Un nombre binaire s'écrit de la façon suivante : (N)2 = (an ………… a0)2 où ai ∈ {0,1} a0 est le bit le moins significatif (LSB : Low Significant Bit). an est le bit le plus significatif (MSB : Most Significant Bit)  KARIM Mohammed – Faculté des Sciences de Fès www.fsdmfes.ac.ma Exemple : (101010)2 ; (10111)2 Selon la forme polynomiale, nous pouvons écrire :  = =         , où ai ∈ {0,1} Exemple : (10111)2 = 1 x 20 + 1 x 21 + 1 x 22 + 0 x 23 + 1 x 24 3. Système octal (b = 8) Ce système dispose de huit symboles : {0,1,2,3,4,5,6,7}. De la même manière, un nombre octal s'écrit: N = (an ………… a0)8 où ai ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7} Exemple: (377)8 ; (255)8 Selon la forme polynomiale, nous pouvons écrire :  = • =           , où ai ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7} Exemple : (2145)8 = 5 x 80 + 4 x 81 + 1 x 82 + 2x 83 4. Système hexadécimal (b = 16) Ce système dispose de 16 symboles chiffrés de 0 à 9 plus les lettres majuscules A, B, C, D, E et F qui correspondent aux valeurs allant de 10 à 15. Un nombre hexadécimal s’écrit : (N)H = (an ………… a0)H où ai ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Exemple : (1FF)H ; (1A2C)H Selon la forme polynomiale, un nombre hexadécimal s’écrit :  = • =           , où ai ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Exemple : (1FF)H = F x 160 + F x 161 + 1 x 162 III. Conversions 1. Conversion d'un nombre écrit en base quelconque vers le décimal L’équivalent décimal d'un nombre N écrit dans une base b quelconque s'obtient par application directe de la forme polynomiale :  KARIM Mohammed – Faculté des Sciences de Fès www.fsdmfes.ac.ma    =  Exemple : convertir les nombres suivants en leur équivalent décimal (la base est indiquée en indice) : a. (10111)2 b. (2145)8 c. (1FF)H a. (10111)2 = 1 x 20 + 1 x 21 + 1 x 22 + 0 x 23 + 1 x 24 = 1 x 1 + 1 x 2 + 1 x 4 + 0 x 8 + 1 x 16 = 1 + 2 + 4+ 0 +16 = 23 b. (2145)8 = 5 x 80 + 4 x 81 + 1 x 82 + 2x 83 = 5 x 1 + 4 x 8 + 1x 64 + 2 x 512 = 5 + 32 + 64 + 1024 = 1125 c. (1FF)H = F x 160 + F x 161 + 1 x 162 = 15 x 1 + 15 x 16 + 1 x 256 = 15 + 240 + 256 = 511 2. Conversion d'un nombre décimal en binaire Nous avons vu, d'après la forme polynomiale, qu’un nombre binaire s'écrit :  =       Le problème revient donc à déterminer les valeurs des bits ai. Pour cela, il existe deux méthodes. 1) Première méthode : Il s'agit d’une répétition de divisions par 2 jusqu'à ce que le quotient soit 0. Les restes des différentes divisions correspondent aux bits ai à déterminer. On écrit le premier reste à la position du LSB (à droite) et le dernier reste à la position du MSB (à gauche). Exemple: Convertir le nombre décimal 65 en binaire Division Quotient Reste 65/2 32 1 → → → → a0 32/2 16 0 → → → → a1 16/2 8 0 → → → → a2 8/2 4 0 → → → → a3  KARIM Mohammed – Faculté des Sciences de Fès www.fsdmfes.ac.ma 4/2 2 0 → → → → a4 2/2 1 0 → → → → a5 1/2 0 1 → → → → a6 65 = (1000001)2 2) Deuxième méthode : Cette méthode consiste à écrire le nombre décimal comme une somme de puissances entières de 2. Si un terme 2k est présent dans la somme en question, on inscrit un ‘1’ vis à vis de sa position, sinon on y inscrit un ‘0’. Cette méthode nécessite la connaissance des différentes puissances entières de 2. Exemple: Convertir le nombre décimal 36 en binaire. 36 = 32 + 4 (la plus grande puissance entière de 2 contenue dans 36 est 32) = 25 + 22 Notons que les termes 24, 23, 21, 20 sont absents. Nous en concluons que a4=a3=a1=a0=0. Donc 36 = (100100)2 3. Conversion d'un nombre décimal en octal Même principe qu’avant, sauf qu’au lieu de diviser par 2, on divise par 8. Exemple: Convertir le nombre décimal 65 en octal Division Quotient Reste 65/8 8 1 → → → → a0 8/8 1 0 → → → → a1 1/8 0 1 → → → → a2 65 = (101)8 4. Conversion d'un nombre décimal en hexadécimal De la même manière, par une suite de divisions successives par 16, on convertit un nombre décimal en hexadécimal.  KARIM Mohammed – Faculté des Sciences de Fès www.fsdmfes.ac.ma Exemple: Convertir le nombre décimal 65 en hexadécimal Division Quotient Reste 65/16 4 1 → → → → a0 4/16 0 4 → → → → a1 65 = (41)H 65 = (1000001)2= (101)8 = (41)H N.B. :  Plus la base est grande, moins il faut de coefficients uploads/s3/ electronique-numerique-chap-1.pdf

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