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Introduction : Pour analyser un phénomène naturel en général ou un problème d’i

Introduction : Pour analyser un phénomène naturel en général ou un problème d’ingénierie en particulier, on est souvent amené à développer un modèle mathématique pouvant décrire d’une manière aussi fiable que possible le problème en question. Le développement d’un modèle mathématique s’appuis généralement sur quelques postulats de base et plusieurs hypothèses simplificatrices pour aboutir à des équations gouvernantes qui sont souvent des équations différentielles auxquelles sont ajoutées des conditions aux limites. Présentation de la méthode des éléments finis : La résolution analytique des problèmes mécaniques ne peut se faire que dans un nombre de cas limité, cependant les méthodes numériques basées sur la discrétisation de ses problèmes, présentent une alternative très efficace, souvent utilisées dans le domaine de la mécanique pour résoudre des problèmes complexes. La méthode des éléments finis est de toutes ses méthodes de discrétisation la plus utilisée car elle peut traiter des problèmes de géométrie complexe, elle couvre de nombreux domaines de la physique. Les moyens informatiques actuels (puissance des calculateurs, outils de visualisation et de simulation) la rende facile à la mise en œuvre. La méthode des éléments finis est la méthode la plus utilisée actuellement, son champ d’application ne cesse de s’élargir. Le succès de la méthode est que sa formulation utilise des procédés standards qui se répètent au cours de la résolution de problèmes de natures différentes. Cette méthode est l’une des techniques numériques les plus puissantes. L’un des avantages majeurs de cette méthode est le fait qu’elle offre la possibilité de développer un programme permettant de résoudre, avec peu de modifications, plusieurs types de problèmes. En particulier, toute forme complexe d’un domaine géométrique où un problème est bien posé avec toutes les conditions aux limites, peut être facilement traitée par la méthode des éléments finis. Principe de la méthode des éléments finis : La méthode des éléments finis consiste à diviser le domaine physique à traiter en plusieurs sous domaines appelés éléments finis à dimensions non infinitésimales. La solution recherchée est remplacée dans chaque élément par une approximation avec des polynômes simples et le domaine peut ensuite être reconstitué avec l’assemblage ou sommation de tous les éléments. Etape 1 : Formulation des équations gouvernantes et des conditions aux limites. La majorité des problèmes d'ingénierie sont décrits par des équations différentielles aux dérivées partielles associées à des conditions aux limites définies sur un domaine et son contour. L'application de la MEF exige une réécriture de ces équations sous forme intégrale. La formulation faible est souvent utilisée pour inclure les conditions aux limites. Etape 2 : Division du domaine en sous domaines : Cette étape consiste à discrétiser le domaine en éléments et calculer les connectivités de chacun ainsi que les coordonnées de ses nœuds. Elle constitue ainsi la phase de préparation des données géométriques. Etape 3 : Approximation sur un élément : Dans chaque élément la variable tel que le déplacement, la pression, la température, est approximée par une simple fonction linéaire, polynomiale ou autres. Le degré du polynôme d'interpolation est relié au nombre de nœuds de l'élément. L'approximation nodale est appropriée. C'est dans cette étape que se fait la construction des matrices élémentaires. Etape 4 : Assemblage et application des conditions aux limites : Toutes les propriétés de l'élément (masse, rigidité,...) doivent être assemblées afin de former le système algébrique pour les valeurs nodales des variables physiques. C'est à ce niveau qu'on utilise les connectivités calculées à l'étape 2 pour construire les matrices globales à partir des matrices élémentaires. Etape 5 : Résolution du système global : Le système global peut être linéaire ou non linéaire. Il peut définir soit un problème d'équilibre, de valeurs critiques ou de propagation. Le problème d’équilibre concerne les cas statiques et les cas stationnaires. Dans un problème de valeurs critiques, on s’intéresse aux fréquences et aux modes propres de vibrations du système physique étudié. Les problèmes de propagations, concernent les cas transitoires dans lesquels sont déterminées les variations dans le temps des variables physiques. Les méthodes d'intégration pas à pas conviennent mieux pour ce type de problème. Les plus utilisées sont : méthode des différences finies centrales, méthode de Newmark, méthode de Wilson. A ces méthodes doivent être associées des techniques d'itération pour traiter le cas non linéaire. La plus fréquente est la méthode de Newton Raphson. Domaines d’application de la méthode des éléments finis : Les domaines d’application de la méthode des éléments finis sont très larges et très variés. En général pour les champs d’application de cette méthode sont : 1. La mécanique des milieux continus solides 2. La mécanique des milieux continus fluides 3. L’analyse thermique 4. L’électromagnétisme et l’électrostatique Dans le cadre de la mécanique des milieux continus solides, on peut classer les problèmes de la manière suivante (figure) : • Statique linéaire : Ce type d’analyse concerne principalement les domaines ou les matériaux élastiques linéaires. On cherche la déformation du matériau (ε) et la contrainte (σ) pour différent types de sollicitations. • Dynamique linéaire : La dynamique linéaire étudie les structures élastiques linéaires soumises à des efforts cycliques (vibrations forcées) ou à des sollicitations initiales (vibrations libres). Dans ce type d’analyses on recherche les déplacements et éventuellement les vitesses et les accélérations qui donnent les fréquences et les modes propres(analyse modale • Les problèmes non linéaires : Il existe trois classes de problèmes non linéaires : 1. Les non linéarités géométriques : Ce type d’analyse intervient lorsque les déplacements et les déformations ne sont plus petits. Dans ce cas la rigidité de la structure et les efforts dépendent des déplacements (inconnus). Ce type de non linéarité est souvent rencontré dans les études de la mise en forme des matériaux, dans le flambage et dans le post-flambage. 2. Les non linéarités de comportement : Lorsque le comportement du matériau n’est pas élastique linéaire, la rigidité de la structure dépend de la déformation. Le problème devient donc non linéaire. Ce type de non linéarité est généralement constaté dans le cas de la plasticité, la viscoplasticité et l’endommagement. 3. Les non linéarités de contact : Si au cours de l déformation les appuis changent, la rigidité de la structure sera modifiée, le problème est donc non linéaire. Ce problème est caractéristique de la mise en forme comme par exemple l’emboutissage d’une tôle. Formes classique des éléments : Il existe plusieurs formes d’éléments classiques correspondant à des domaines à une, deux ou trois dimensions. Chaque type d’élément est identifié par un nom précisant sa forme et par le nombre de nœuds géométrique qui le composent. • Eléments à une dimension : • Eléments à deux dimensions triangulaires • Eléments à deux dimensions quadrangulaires : • Eléments à trois dimensions tétraédriques : • Eléments à trois dimensions hexaédriques (briques) : Règles de partition du domaine en éléments : La partition d’un domaine (V) en éléments (Ve) doit obéir aux deux règles suivantes : 1. Deux éléments distincts ne peuvent avoir en commun que des points situés sur leurs frontières communes. Cette condition exclue tout recouvrement de deux éléments. Les frontières entre deux éléments peuvent être des points, des courbes ou bien des surfaces 2. L’ensemble de tous les éléments (Ve ) doit constituer un domaine aussi proche que possible du domaine (V). Lorsque la frontière de (V) est constituée par des courbes ou des surfaces complexes que celles qui définissent les frontières des éléments, une erreur est inévitable (erreur de discrétisation géométrique). Cette erreur peut être réduite en diminuant la taille des éléments ou en utilisant des éléments à frontière plus complexe Éléments de flexion de type poutre : Position du problème : On souhaite développer un élément capable de reproduire les hypothèses classique mises en oeuvre dans les calculs de structures poutres à flexion dominante. Afin de simplifier la présentation, nous ferons les hypothèses suivantes: — Les énergies de déformation due aux efforts normaux et tranchants sont négligées. — Les sections initialement planes et perpendiculaires à la fibre moyenne restent planes et perpendiculaires à la fibre moyenne pendant la déformation (hypothèse de Navier Bernoulli). — On se restreint au cas des poutres planes chargées dans leur plan. — On se place dans le cadre des petites perturbations (petits déplacements, petites rotations et petites déformations). Les degrés de liberté de chaque nœuds sont choisis de façon à représenter les hypothèses cinématiques de Navier et à éviter toute cassure d’angle pendant la déformée : le déplacement d’un point est caractérisé par le vecteur U : avec θ = dv/ dx Les éléments ainsi fabriqués utilisent les déplacements et leur dérivées comme degrés de liberté ; on les qualifie de élément hermitiens ou éléments de Hermite. Détermination des fonctions de forme : Calcul de la déformation : La déformation dans la poutre soumise en flexion est caractérisée par : d’autre part L’expression de B est obtenue à partir de l’équation 4.1 Matrice de rigidité élémentaire : Vecteur des efforts généralisés : Cas d’un effort uniformément réparti f : L’expression de N (équation 4.1) permet de trouver le vecteur des efforts élémentaires : Éléments triangulaires à trois nœuds : Ce uploads/s3/ element-finis.pdf