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TP 4 : Analyse éléments ﬁnis UPX UNIVERSITE PARIS X NANTERRE Dans ce TP, on vou

TP 4 : Analyse éléments ﬁnis UPX UNIVERSITE PARIS X NANTERRE Dans ce TP, on vous propose d’utiliser le module de calcul par éléments ﬁnis de Catia V5. Les exercices proposés sont volontairement placés dans un ordre croissant de difﬁculté. Le premier exercice porte sur l’étude d’une structure 3D. Le second exercice porte sur la comparaison de modèles 1D et 3D d’une structure de type treillis. Un troisième exercice permet d’étudier différentes connexions possibles entre les faces planes de deux solides. Le dernier exemple permet l’étude complète d’un assemblage boulonné et préchargé. 1 Méthode des éléments ﬁnis La conception d’un produit industriel passe par une phase de tests permettant de déterminer sa tenue en service face à son environnement. Dans le domaine de la mécanique, et dans les exemples les plus simples, l’environnement peut être modélisé par des efforts imposés, des dé- placements imposés, des conditions de contact, etc... Une fois que cette première modélisation est effectuée, on peut écrire un certain nombre d’équations (plus ou moins ﬁables) régissant le comportement du milieu continu dans son environnement. L’ensemble de ces équations forme le problème de mécanique des milieux continus, problème que l’on cherche à résoudre pour connaître, à terme, les contraintes et déplacements dans tout le milieu. Malheureusement, dans la très grande majorité des cas, il est impossible de donner une expres- sion analytique de la solution du problème, même dans les cas standard où l’on peut démontrer l’existence et l’unicité de la solution. C’est pour cette raison que des méthodes numériques, permettant de fournir à l’ingénieur une solution approchée du problème de mécanique des milieux continus, ont été proposées. Parmi elles, la méthode des éléments ﬁnis est la plus utilisée actuellement dans l’industrie. Avant d’aborder ce TP, il faut donc garder à l’esprit deux points essentiels : – Le problème de mécanique des milieux continus est un modèle très imparfait de la réalité. La géométrie du produit est généralement approchée, son environnement réel en service est souvent difﬁcile à maîtriser et les conditions aux limites du problème sont donc ﬂoues. Enﬁn, son comportement matériau est identiﬁé sur un échantillon, mais il est souvent simpliﬁé à l’extrême pour ne tenir compte que des phénomènes les plus criants. – La solution obtenue par éléments ﬁnis n’est qu’une solution approchée du problème de mécanique des milieux continus. Il est donc primordial de toujours rester critique face aux résultats obtenus. 2 Etude d’une plaque trouée 2.1 Le problème posé On considère pour commencer un problème classique de mécanique des milieux continus. Il s’agit d’une plaque trouée sollicitée en traction. La géometrie, le chargement, et les conditions aux limites sont déﬁnies par la ﬁgure 1. 2.2 Préliminaires La solution est-elle unique ? La géométrie, le chargement, les conditions aux limites, et donc le problème tout entier sont symétriques par rapport aux deux axes (0,⃗ x) et (0, ⃗ y). Quel nouveau problème cela revient-il à traiter. La solution du nouveau problème est elle unique ? 2.3 Création des liaisons Il faut maintenant créer les conditions aux limites représentant les symétries identiﬁées précé- demment. Les imposer à l’aide des outils à disposition : LICENCE – Conception Assistée par Ordinateur - TP 2 2.4 Création des efforts imposés – encastrement ; – patins ; – personnalisée... PSfrag replacements ⃗ x ⃗ x ⃗ y ⃗ y L l d O p p FIG. 1 – Le problème de la plaque trouée 2.4 Création des efforts imposés On appliquera une pression négative, aﬁn d’obtenir un effet de traction dans la plaque, sur un des côtés de la plaque. Eventuellement, on pourra tester (et critiquer par la suite) une autre manière d’appliquer un chargement à l’aide de l’outil nommé force répartie. 2.5 Calcul Lancer le calcul. On demande alors de renseigner quelle est l’analyse statique qui doit être calculée, au cas où il y en aurait plusieurs. A ce stade, il est également possible de ne faire que le calcul du maillage. 2.6 Post traitement Une fois le calcul terminé, il est alors possible de calculer les contraintes et de les tracer (par défaut la contrainte équivalente de Von Mises), selon différents formats de représentation (courbes de niveau ou valeurs par éléments lissées). Depuis peu, il est également possible d’obtenir les valeurs des composantes du tenseur des contraintes. Après analyse des conditions au limites au bord du trou, commenter les valeurs obtenues pour σxx et σyy. Faire de même sur le bord où est imposée la pression (ou la force répartie). LICENCE – Conception Assistée par Ordinateur - TP 3 3 Etude d’un treillis rigide replacements ⃗ x ⃗ y L l d O p FIG. 2 – Dessin de déﬁnition du treillis rigide 3.1 Modèle tridimensionnel Dessiner le treillis comme un nouvelle pièce et faire une analyse éléments ﬁnis. Le treillis sera globalement chargé en traction. La charge sera appliquée sur le congé de raccordement situé entre les barres (5) et (7) et sa résultante sera prise égale à 1000 N. Les déplacements seront imposés sur les portions de cylindre en A et G. On fera en sorte que les points A et G soient immobiles dans la direction de la charge, par contre ils doivent pouvoir se rapprocher. Dans toute la suite, on prendra soin de se conformer à la numérotation des nœuds et des barres déﬁnie par la ﬁgure 3. PSfrag replacements (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) A B C D E F G FIG. 3 – Repérage des nœuds et barres LICENCE – Conception Assistée par Ordinateur - TP 4 3.2 Assemblage de poutres 3.2 Assemblage de poutres 3.2.1 Création de la géométrie d’une poutre On souhaite maintenant modéliser le treillis par un assemblage de poutres liées rigidement entre elles. Concevoir une poutre représentant un côté d’un triangle équilatéral dans l’atelier WireFrame : – Point initial (0; 0; 0) ; – Point ﬁnal (133, 3; 0; 0). Cacher les points qui ont été déﬁnis pour tracer le segment aﬁn de découvrir les petites sphères noires représentant les extrémités de la poutre. Déﬁnir enﬁn un point extérieur à la poutre, par exemple de coordonnées (66, 65; 50; 0). Appliquer enﬁn un matériau (Aluminium) à l’élément linéique et non pas au corps de pièce puis sauver la pièce ainsi créée. 3.2.2 Création du treillis Lancer ensuite l’atelier AssemblyDesign. Insérer une par une les 11 poutres du type de celle déﬁnie précédemment et les assembler à l’aide de l’outil coïncidence pour obtenir ﬁnalement le treillis. Il faut toutefois prendre garde au fait que le treillis peut ne pas rester plan si l’on n’y prend pas garde ! 3.2.3 Lancement du calcul Lancer enﬁn le module d’analyse par éléments ﬁnis. Commencer par mailler les poutres une par une. Chaque maillage apparaît dans l’arbre de construction. Ensuite, appliquer des sections rectangulaires (Cf dessin de déﬁnition de la ﬁgure 2) grâce à l’outil « Beam Property ». On demande d’abord de sélectionner la poutre, puis sa forme de section. L’icône représentant une clé permet de préciser les dimensions selon les axes locaux (nulles par défaut, ce qui conduit à des erreurs par la suite si on les oublie). Ces derniers sont déﬁnis grâce au point extérieur à la poutre déﬁni dans l’atelier WireFrame. Les liaisons au bâti peuvent être appliquées de la même manière qu’en 3D. Par contre, il faut désormais imposer des liaisons entre les poutres. On choisira une liaison de type personnali- sée (rigide-rigide-rigide) appliquée à chacune des 15 contraintes de coïncidence de l’arbre de construction. Imposer enﬁn un effort de type « force répartie », d’intensité 1000 N sur le nœud adéquat. Lancer le calcul et observer l’allure de la déformée. Comparer éventuellement le déplacement obtenu au point de chargement dans la direction de la charge, à celui obtenu en 3D. On pourra également calculer la déformation (et donc la contrainte) sur une ou plusieurs poutre. 3.3 Etude analytique du treillis articulé On considère le même treillis, mais cette fois on suppose que les liaisons entre les barres sont des articulations. Le calcul analytique des sollicitations dan chaque barre est ainsi très simple à réaliser. LICENCE – Conception Assistée par Ordinateur - TP 5 3.4 Comparaison des résultats Comment les barres du treillis sont-elles sollicitées ? On choisit la convention suivante : les efforts des barres sur un nœud sont dirigés du centre de ce nœud vers l’extérieur, comme indiqué sur la ﬁgure 4. Si l’effort obtenu après résolution est positif, la barre sera donc sollicitée en traction et inver- sement. On note Nα l’effort dans la barre (α). – Isoler le treillis tout entier. On note ⃗ F l’effort imposé au point D. Déterminer les actions dans les liaisons avec le bâti aux points A et G en fonction de F = || ⃗ F||. – Isoler le nœud A. Faire un schéma représentant les actions mécaniques supportée par ce nœud. En déduire les valeurs algébriques des efforts N1 et N2. – Isoler le nœud C. Faire un schéma représentant les actions mécaniques supportée par ce nœud. En déduire les uploads/s3/ elements-finis.pdf