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ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'INGENIEURS DU MANS - UNIVERSITE DU MAINE E Ex xe e

ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'INGENIEURS DU MANS - UNIVERSITE DU MAINE E Ex xe er rc ci ic ce es s c co or rr ri ig gé és s ( (s su uj je et ts s d d' 'e ex xa am me en ns s d de e 2 20 00 06 6 à à 2 20 00 09 9) ) d du u c co ou ur rs s d de e V VI IB BR RA AT TI IO ON NS S e et t A AC CO OU US ST TI IQ QU UE E 2 2 Jean-Claude Pascal ENSIM - 2eme Année Vibrations et Acoustique 2 Ces sujets corrigés d'examen sont donnés comme des aides à la compréhension du cours. Des erreurs peuvent toujours se trouver dans les corrigés : prière de les signaler à jean-claude.pascal@univ-lemans.fr 1 ENSIM 2eme Année Juin 2006 EXAMEN VIBRATIONS & ACOUSTIQUE 2 Problème 1 : modélisation de la mesure des pertes par insertion (7/20) Dans le polycopié p.107-108 une modélisation des pertes de transmission est présentée en utilisant les éléments de la matrice de transfert T d'un silencieux. A partir de la mesure de la puissance acoustique 0 W à l'extrémité du tube de section 0 S sans silencieux et de la puissance acoustique 1 W avec un simple silencieux à chambre d'expansion de section S , la perte par insertion est définie par 1 0 log 10 W W IL = [en dB] Les deux configurations conduisant à 0 W et 1 W sont modélisées à l'aide des circuits équivalents suivants : 1) Exprimer les matrices de transfert 0 T , 1 T , 2 T et 3 T en fonction des paramètres qui sont donnés sur les dessins. 2) Expliquer à quoi correspond s Z . 3) Sans effectuer les calculs, expliquez la démarche que vous employez pour calculer 0 W et 1 W . 4) Est-ce que la perte par insertion est équivalente aux pertes par transmission ? Donner deux arguments pour étayer votre réponse. T1 T3 T2 1         s s Q p 1         e e Q p s Z e Z i p T0 0         s s Q p 0         e e Q p s Z e Z i p source source silencieux T 0 W 1 W L A l B l 0 S S 2 Problème 2 : dimension d'un pavillon exponentiel (9/20) L'extrémité d'un tube de diamètre 20 mm rayonne en espace libre. On constate qu'il y a peu d'émission dans les basses fréquences. Pour améliorer la transmission des fréquences graves au-dessus de 200 Hz, on décide d'utiliser en sortie de tube un pavillon exponentiel. En considérant qu'il n'y a que des ondes planes dans le tube, répondre aux questions suivantes: 1) Le front d'onde à l'extrémité du pavillon vibre comme un piston. Montrer que son facteur de rayonnement peut s'exprimer par       = c Zr 0 Re ρ σ , avec l'impédance de rayonnement x r u p Z = 2) En considérant que l'impédance de rayonnement de l'extrémité du pavillon correspond à l'expression asymptotique basse fréquence de celle du tube non-bafflé (cours), calculer le diamètre de sortie du pavillon pour qu'à 200 Hz le facteur de rayonnement soit de –3 dB, 3) Expliquer quelle va être l'influence de la longueur du pavillon exponentiel dans la transmission des basses fréquences ? 4) Calculer la plus petite longueur que doit avoir le pavillon pour transmettre les fréquences supérieures à 200 Hz. Problème 3 : rayonnement du piston (4/20) Un piston circulaire monté dans un baffle infini rayonne en espace libre. 1) Expliquer comment calculer les fréquences qui correspondent à une pression nulle sur le plan du baffle en champ lointain 2) Comment pourriez vous exprimer en fonction de la fréquence l'angle 0 θ qui correspond à un affaiblissement de 3 dB du lobe principal ? Remarque : vous pouvez dire que 0 x est l'argument pour lequel une fonction f prend la valeur ( ) 0 0 x f y = . 3 Corrigé Vibrations & Acoustique 2 – juin 2006 Problème 1 : modélisation de la mesure des pertes par insertion 1) Matrices de transfert : ce sont dans tous les cas des conduits droits dont seuls changent les diamètres et les longueurs. Avec la forme standard (pQ) en considérant 1 0 1 u S Q ρ = et 2 0 2 u S Q ρ = (cours)       =       2 2 1 1 Q p T Q p avec           = kl kl c s j kl s c j kl T cos sin sin cos avec ⇒ 0 T 0 S s = et B A l L l l + + = ⇒ 1 T 0 S s = et A l l = ⇒ 2 T S s = et L l = ⇒ 3 T 0 S s = et B l l = 2) s Z correspond à l'impédance de sortie de tube, vraisemblablement l'impédance du tube ouvert dont on pourra prendre l'approximation basse fréquence ( 1 0 < π S k ) de Levine et Schwinger. 3) Dans les deux cas, il faut calculer la puissance en sortie de tube : la source et l'impédance de sortie sont les mêmes. Seule change la matrice globale T : pour 0 W , 0 T T = et pour 1 W , 3 2 1 T T T T = La puissance de sortie ( 0 W ou 1 W ) s'exprime par { } { } s s s s Z p S u p S W Re 2 Re 2 2 0 0 = = ∗ . Par ailleurs, on peut écrire 0 0S Q Z p p e i e i ρ + = , où i p et i Z sont des invariants, respectivement la pression interne et l'impédance interne de la source. Il est donc possible d'écrire la pression de sortie e p (donc W ) en fonction de T , i p et i Z . Attention : avec les pertes par insertion, la puissance incidente n'est pas la m^me dans les deux configurations car la matrice globale T change. La source voit donc une impédance d'entrée différente. 4) Les pertes par insertion ne sont pas équivalentes aux pertes par transmission : a) pour les pertes par transmission l'impédance de sortie est l'impédance caractéristique, b) la longueur du tube de sortie B l influence le résultat pour les pertes par insertion, alors que ce n'est pas le cas pour les pertes par transmission car celui-ci est considéré infini, c) la longueur du tube d'entré joue aussi un rôle en modifiant la matrice globale T . Problème 2 : dimension d'un pavillon exponentiel 1) Facteur de rayonnement en fonction de l'impédance de rayonnement x r u p Z = 2 2 0 u cS W ρ σ = avec la puissance acoustique rayonnée { } { } r Z u S u p S W Re 2 Re 2 2 = = ∗ 4 d'où { } c Z r 0 Re ρ σ = . 2) Pour un tube non-bafflé ( ) [ ] ka j ka c Z r 61 . 0 4 2 0 + = ρ donc ( ) 4 2 ka = σ où a est le rayon de l'extrémité du pavillon. Pour 200 0 = f Hz, 3 − = σ L dB, soit 2 1 = σ . On peut donc calculer le diamètre D de l'extrémité du pavillon : ( ) 2 2 = ka conduit à 2 2 0 c a f = π et = = = = 200 2 344 2 2 0 π π f c a D 0.774 m. 3) Le pavillon exponentiel ne transmet pas les basses fréquences dès que la variation de section n'est plus faible devant la longueur d'onde. En dessous de la fréquence de coupure ( ) π α 4 c fc = l'onde devient évanescente et ne transporte pas d'énergie (α représente la variation de la section en fonction de la distance : voir cours). 4) Le diamètre en sortie du pavillon peut s'exprimer en fonction de celui du tube cylindrique d'entrée L e d D 2 α = soit encore L d D 2 ln α = D (0.774 m) et d (0.02 m) sont imposés et α est obtenu à partir de la condition 200 0 = < f fc Hz, soit c f c fc 0 4 4 π π α < = , ce qui permet de calculer la longueur du pavillon 1 02 . 0 774 . 0 ln 200 2 uploads/s3/ ensim2a-va2-exercicescorriges-pdf.pdf