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Bibm@th.net Rechercher sur le site... Accueil Lycée Supérieur Bibliothèques Références Thèmes Forum Bibliothèque d'exercices Bibliothèque de problèmes Automatismes Ressources mathématiques > Base de données d'exercices > Exercices d'algèbre linéaire > Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices > Exercices corrigés - Espaces vectoriels : sous-espaces vectoriels Théorie générale Exercice 1 - Est-ce un sous-espace vectoriel? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Parmi les ensembles suivants, lesquels sont, ou ne sont pas, des sous-espaces vectoriels? 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. . Indication Essayer de montrer que ce sont des sous-espaces vectoriels en utilisant la caractérisation. Si vous ne parvenez pas à prouver que ce sont des sous-espaces vectoriels, essayez de trouver un contre-exemple à une des propriétés requises. Corrigé 1. Soient et éléments de . Alors, est aussi élément de . En effet, De même, pour tout , on a est élément de puisque est donc un sous-espace vectoriel de . 2. n'est pas un sous-espace vectoriel de car n'est pas élément de . 3. Soient et deux éléments de . Alors est aussi élément de . En effet, De même, on prouve que pour tout , est élément de . est donc un sous-espace vectoriel de . 4. n'est pas un sous-espace vectoriel de car il n'est pas stable par addition. En effet, et sont tout les deux éléments de , mais n'est pas élément de . 5. Les éléments et sont éléments de . Si on effectue leur somme, on trouve qui n'est pas élément de : n'est pas un sous-espace vectoriel de . Plus généralement, un sous-espace vectoriel de est une droite passant par , ou lui-même, ou encore le singleton . est une parabole et n'est donc pas un sous-espace vectoriel. 6. Posons et . Comme à la première question, on montre que et sont deux sous-espaces vectoriels de . Leur intersection est donc un sous-espace vectoriel de . 7. Cette fois, aucun théorème du cours ne dit qu'une réunion de deux sous-espaces vectoriels reste un sous-espace vectoriel. Ici, prenons et . Alors n'est pas élément de car , et il n'est pas non plus élément de car . Ainsi, n'est pas stable par addition et n'est donc pas un sous-espace vectoriel de . Plus généralement, on prouve qu'une réunion de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel si et seulement si l'un des deux est inclus dans l'autre. Exercice 2 - Est-ce un sous-espace vectoriel (bis)? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Déterminer si les ensembles suivants sont ou ne sont pas des sous-espaces vectoriels : 1. ; 2. ; 3. Pour non-nul fixé, ; 4. l'ensemble des fonctions de dans qui sont dérivables; 5. , l'ensemble des solutions de l'équation différentielle , où . 6. , l'ensemble des solutions de l'équation différentielle , où . Indication Essayer de montrer que ce sont des sous-espaces vectoriels en utilisant la caractérisation. Si vous ne parvenez pas à prouver que ce sont des sous-espaces vectoriels, essayez de trouver un contre-exemple à une des propriétés requises. Corrigé 1. On va prouver que est un sous-espace vectoriel de . Remarquons d'abord que le polynôme nul est un élément de . Ensuite, prenons et deux éléments de , et . Alors et donc . De même, et donc . Ceci prouve le résultat annoncé. 2. n'est pas un espace vectoriel car le polynôme nul n'est pas élément de . Donc n'est pas un sous-espace vectoriel. 3. Remarquons que . Soient et deux éléments de , et soit également . Alors et , ce qui prouve que est un sous-espace vectoriel de . 4. On sait que la somme de deux fonctions dérivables est une fonction dérivable, et que le produit d'une fonction dérivable par un scalaire est une fonction dérivable. Par conséquent, est un sous- espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de dans . 5. Remarquons d'abord que est une partie de . Soient deux solutions et . Posons . Alors ce qui prouve que . Ainsi, est un sous-espace vectoriel de . 6. n'est pas un espace vectoriel car n'est pas solution de l'équation différentielle. Exercice 3 - Est-ce un sous-espace vectoriel? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit l'espace vectoriel des fonctions de dans . Dire dans les cas suivants si la partie de est un sous-espace vectoriel de . 1. est l'ensemble des fonctions bornées. 2. est l'ensemble des fonctions majorées. 3. est l'ensemble des fonctions paires. 4. est l'ensemble des fonctions paires ou impaires. Indication Essayer de montrer que ce sont des sous-espaces vectoriels en utilisant la caractérisation. Si vous ne parvenez pas à prouver que ce sont des sous-espaces vectoriels, essayez de trouver un contre-exemple à une des propriétés requises. Corrigé 1. Soit , et soit un majorant respectif de . Alors, pour tout , et tout , Ainsi, et sont elles aussi bornées, et est un espace vectoriel de . 2. Considérons la fonction définie pour par . Alors est majorée (par 0). Mais on a pour tout : . Ainsi, la fonction n'est pas majorée. Donc et : n'est pas un espace vectoriel de . 3. Prenons et deux fonctions paires et . Alors Ainsi, et sont paires et est un sous-espace vectoriel de . 4. Prenons et . Alors est paire et est impaire. Mais et . Ainsi, n'est ni paire, ni impaire et n'est pas un sous-espace vectoriel de . Exercice 4 - Réunion de deux sous-espaces vectoriels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit un espace vectoriel et soient et deux sous-espaces vectoriels de . Montrer que est encore un sous-espace vectoriel de si et seulement si ou . Indication Raisonner par l'absurde, prendre dans et dans et considérer . Corrigé Bien sûr, si , est un sous-espace vectoriel ce qui prouve une implication. Réciproquement, supposons que est un sous-espace vectoriel de et que pourtant n'est pas inclus dans et n'est pas inclus dans . Prenons dans et dans . Alors, puisque est un sous-espace vectoriel, il est stable par addition et donc . Mais, si est dans , alors (car est un sev) ce qui n'est pas le cas. De même, si est dans , alors ce qui est impossible. On obtient donc une contradiction et l'autre implication. Sous-espace vectoriel engendré Exercice 5 - D'un système générateurs à un système d'équations... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Donner un système d'équations des espaces vectoriels engendrés par les vecteurs suivants : 1. ; 2. et ; 3. , et . Indication Par exemple pour 2., dire que est dans l'espace vectoriel engendré si et seulement si il existe tels que ... On obtient un système de 3 équations qu'on essaie de résoudre en et . On obtient alors une équation de compatibilité qui est l'équation du sev engendré. Corrigé 1. On note le sous-espace vectoriel engendré par . Alors On a bien trouvé un système d'équations de . 2. On note le sous-espace vectoriel engendré par et . Alors, Cette dernière équation est une équation de . 3. On note le sous-espace engendré par , et . Alors, On obtient un système triangulaire dont aucun des pivots n'est nul. Autrement dit, le système admet toujours une solution, quelles que soient les valeurs de , et . Ainsi, . Exercice 6 - D'un système d'équations à un système générateurs... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Trouver un système générateur des sous-espaces vectoriels suivants de : 1. ; 2. . Indication Ecrire et essayer de résoudre le système en écrivant une coordonnée en fonction des autres... Corrigé 1. On a Posant et , on a donc . Cette solution n'est (bien sûr!) pas unique. 2. On a On a donc , avec . Exercice 7 - Coïncidence de sous-espaces [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Dans les exemples suivants, démontrer que les sous-espaces et de sont égaux. 1. , , , , , et . 2. , et . 3. , , , et . 4. , Indication Corrigé 1. Première méthode : Pour montrer que , il suffit de montrer que et sont tous deux combinaison linéaire de et . L'équation est équivalente à dont la solution est donnée par et . L'équation est équivalente à dont la solution est donnée par et . Donc, . Réciproquement, pour prouver que , il suffit de prouver que et sont combinaison linéaire de et . L'équation est équivalente à On résoud ce système en faisant qui donne , on obtient ensuite et on vérifie que cela fonctionne dans la dernière équation. De même, on peut prouver que est combinaison linéaire de et . Deuxième méthode : On peut rechercher une \emph{équation} de et de . On a : Ce dernier système admet une solution si et seulement si . On a donc . De même, Ce dernier système admet donc une solution si et seulement si . On a donc . Il uploads/s3/ exercices-corriges-espaces-vectoriels-sous-espaces-vectoriels 3 .pdf