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Fonctions polynômes Page 1 sur 4 Adama Traoré Professeur Lycée Technique FONCTI

Fonctions polynômes Page 1 sur 4 Adama Traoré Professeur Lycée Technique FONCTIONS POLYNÔMES – FONCTIONS RATIONNELLES Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Exercice 1: Mettre sous forme canonique les expressions suivantes : 1) 15 6 2 ) ( 2 + + = x x x f ; 2) 5 4 ) ( 2 + + = x x x f ; 3) 1 9 3 ) ( 2 + + = x x x f ; 4) 4 5 ) ( 2 + − − = x x x f ; 5) 5 3 2 ) ( 2 + − − = x x x f ; 6) 7 8 ) ( 2 + − = x x x f ; 7) 27 18 3 ) ( 2 + + = x x x f ; 8) 1 10 ) ( 2 + + = x x x f Exercice 2: Soit le polynôme 40 18 3 ) ( 2 3 + − − = x x x x P 1) Calculer P(2) 2) Déterminer les réels a ; b ; c tels que ) )( 2 ( ) ( 2 c bx ax x x P + + − = 3) Résoudre dans ℝ l’équation 0 ) ( = x P 4) Résoudre dans ℝ l’inéquation ) (x P >0. Exercice 3: Montrer que la fonction polynôme f définie par 16 16 12 4 ) ( 2 3 4 + + + + = x x x x x f est le carré d’une fonction polynôme g que l’on déterminera. Exercice 4: Soit le polynôme b et a où b ax x x x x x f + + + + + = 2 3 4 5 4 3 2 ) ( sont des réels, et le polynôme 6 5 ) ( 2 + − = x x x g . Trouver les réels a et b pour que le polynôme ) (x f soit divisible par ) (x g . Exercice 5: Soient f et g deux fonctions polynômes définies respectivement sur ℝ par 2 2 3 ) 1 ( ) ( 4 8 4 ) ( − = − + − = x x g et x x x x f . 1) En effectuant la division euclidienne de f par g montrer qu’il existe 4 réels a, b, c, d telles que pour tout x 1 ≠ ; 2 ) 1 ( ) ( ) ( − + + + = x d cx b ax x g x f . 2) En utilisant la méthode des coefficients indéterminés trouver les constantes réels a ; b ; c telles que 2 ) 1 ( 1 ) ( ) ( − + − + + = x c x b a x x g x f . Fonctions polynômes Page 2 sur 4 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Exercice 6: Soit la fonction rationnelle définie par 2 1 4 3 ) ( 2 − + − = x x x x f . Montrer qu’il existe trois réels a ; b ; c tels que : ∀x∊ℝ-{2} 2 ) ( − + + = x c b ax x f . Exercice 7: Trouver le quotient et le reste de la division euclidienne de ) (x f par ) (x g dans chacun des cas suivants : 1°) 1 2 4 ) ( 2 3 − + + = x x x x f et 1 ) ( − = x x g 2°) 1 2 4 ) ( 2 3 − + + = x x x x f et 3 2 ) ( 2 − + = x x x g 3°) 1 7 3 5 ) ( 2 3 4 + − + − = x x x x x f et 6 ) ( 2 − + = x x x g . Exercice 8: Soit la fonction numérique h définie par ) 3 )( 1 ( 2 3 ) ( 2 − − + − = x x x x x h . Sur ℝ-{1 ;3} la fonction h coïncide-t-elle avec une fonction polynôme ? Exercice 9: Trouvez la fonction polynôme g de degré 4 qui coïncide avec la fonction f définie par 1 ) ( + = x x f sur {0 ; 2 1 ;3}. Exercice 10: Soit P la fonction polynôme de degré 4 telles que : P(0)= –10 ; P(1) = –11 ; P(–1) = –7 ; P(2) = 56 ; P(–2) = 4. Trouver le polynôme P(x) pour tout nombre réel x. Exercice 11: Soit le polynôme 1 2 3 2 ) ( 2 3 + + + = x x x x f . 1°) Trouvez les réels a et b tels que pour tout réel x, ( ) 4 2 ) ( x b ax x x f − + + = 2°) En déduire une factorisation de ) (x f . Exercice 12: Déterminer le nombre réel a pour que 2 soit une racine du polynôme 12 2 3 ) ( 2 − + − = a ax x x P . Factorisez ) (x P et en déduire son autre racine. Fonctions polynômes Page 3 sur 4 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Exercice 13: I)-Soit le polynôme 6 13 5 3 ) ( 2 3 4 + − − + = x x x x x f . 1°) Calculer ) 3 ( ) 2 ( − f et f 2°) En déduire une factorisation de ) (x f 3°) Trouvez les zéros de f et leur ordre de multiplicité. II)- On donne 12 16 7 ) ( 2 3 − + − = x x x x P 1°) Calculer ) 2 ( ) 2 ( − P et P 2°) Donnez tous les zéros de P en précisant leur ordre de multiplicité. Exercice 14: Après déterminé l’ensemble de définition, simplifier l’expression de ) (x f dans les cas suivants : 1) 6 7 6 ) ( 3 2 + − − + = x x x x x f ; 2) 30 19 6 5 ) ( 3 2 − − + + = x x x x x f ; 3) 2 5 2 3 8 3 2 ) ( 2 3 2 3 − − − − − − = x x x x x x x f ; 4) 28 53 7 2 4 7 2 ) ( 2 3 3 − − + − − = x x x x x x f . Exercice 15 : Soit la fonction rationnelle f définie par 2 3 3 5 4 ) ( 2 2 3 + + + + + = x x x x x x f . 1) Déterminer l’ensemble de définition de f 2) Trouver les réels a, b, c, d tels que 2 1 ) ( + + + + + = x d x c b ax x f . Exercice 16 : 1) Trouver les nombres réels A et B tels que : 1 ) 1 ( 1 + + = + x B x A x x . En déduire la valeur de la somme S telle que : ) 1 ( 1 ........ 4 3 1 3 2 1 2 1 1 + + + × + × + × = n n S . 2) Trouver les nombres réels A, B, C que : 2 1 ) 2 )( 1 ( 1 + + + + = + + x C x B x A x x x . En déduire la valeur de la somme S telle que : ) 2 )( 1 ( 1 ........ 5 4 3 1 4 3 2 1 3 2 1 1 + + + + × × + × × + × × = n n n S . Exercice 17 : Soit le polynôme ) (x f définie par 8 14 ) ( 3 + − = x x x f . on admet que f admet trois racines réelles distinctes notées : λ β α ; ; . 1) Calculer λ β α 1 1 1 + + puis calculer 2 2 2 λ β α + + sans calculer λ β α ; ; . 2) Calculer ) 4 (− f et déterminer alors les trois zéros de f et leurs ordres de multiplicité. Vérifier les résultats précédents. Fonctions polynômes Page 4 sur 4 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Exercice 18 : 1°) Montrer que si un polynôme P(x) se factorise par x – α alors α est racine de P(x). 2°) Soit p un entier naturel tel que p≥ 1. Effectuer le produit suivant : ( )( ) 1 2 2 3 4 3 3 2 2 1 .... − − − − − − − + + + + + + + − p p p p p p p x x x x uploads/s3/ exofonction-1 1 .pdf