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Factorisations de polynômes I. est racine de P Si P est de la forme P(x) = c, a

Factorisations de polynômes I. est racine de P Si P est de la forme P(x) = c, alors P est un polynôme de degré 0. Si P est de la forme P(x) = bx + c, alors P est un polynôme de degré 1. Si P est de la forme P(x) = ax² + bx +c, alors P est un polynôme de degré 2. Dans une fonction polynôme, il ne peut jamais y avoir de ou ou ou ... est dit racine de P si P( ) = 0 Exemple : P(x) = 3 + x -3 est racine de P car P(-3) = 0 Théorème : Si est racine de P, alors on peut factoriser P par (x - ). Réciproquement si on peut factoriser P par (x - ), alors est racine de P. Exemple : Q(x) = x² + 3x - 10 0 = Q(2) = 2² + 6 - 10 En soustrayant ces deux lignes, on obtient : Q(x) = Q(x) - Q(2) = (x² - 2²) + (3x - 6) = (x + 2)(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x + 5) II. Forme canonique Rien de mieux que de comprendre à partir d'un exemple... On a : On commence par factoriser par le nombre devant est le début d'une identité remarquable de type (a + b)² Donc : Maintenant a² - b² D'où : Fonctions Polynômes : Cours I. Fonctions polynômes 1. Définitions Une fonction polynôme est une fonction P : définie par une expression du type : P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Les nombres a0,...,an sont appelés les coefficients de P. Si an 0, n est appelé le degré de P. 2. Opérations sur les degrés Soit P et Q deux fonctions polynômes non nulles. Alors : deg (PQ) = deg P + deg Q et deg (P + Q) sup(deg P, deg Q) Remarque : l'inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré pouvant s'annuler. 3. Egalité de deux fonctions polynômes Soit P et Q deux fonctions polynômes Théorème 1 P = Q signifie que : deg P = deg Q et les coefficients des termes de même degré de P et Q sont égaux Cas particulier : P = 0 signifie que tous les coefficients de P sont nuls. 4. Racine d'une fonction polynôme Soit P une fonction polynôme de degré n, n 1. Définition : Une racine (ou zéro) de P est un nombre a tel que P(a) = 0. Déterminer les racines de P, c'est résoudre l'équation P(x) = 0. Théorème 2 a est une racine de P si et seulement s'il existe une fonction polynôme Q telle que pour tout réel x, P(x) = (x - a) Q(x). Remarques : on a alors deg Q = n - 1 ; ce théorème permet de réduire le degré d'une équation. 5. Une formule utile Quels que soient les réels x et a, xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + ... + akxn-k-1 + ... + an-2x + an-1). II. Trinôme du second degré 1. Définitions Un trinôme du second degré est un polynôme de la forme : P(x) = ax² + bx + c avec a 0. Résoudre l'équation du second degré P(x) = 0, c'est chercher l'ensemble S des racines de P. 2. Méthode générale Définition : On appelle discriminant de P le réel = b² - 4ac. Théorème 3 Si < 0, S = Ø Si = 0, S = Si > 0, S = 3. Somme et produit des racines Théorème 4 Si le trinôme P(x) = ax² + bx + c, avec a 0, admet deux racines x1 et x2 alors : x1 + x2 = et x1 x2 = . Remarque : ces formules restent valables si les racines sont confondues. Théorème 5 Les solutions du système sont les couples (u, v) tels que u et v soient les solutions de l'équation du second degré Remarque : quand on connaît une solution (u, v) du système on a entièrement résolu celui-ci, car l'autre solution est (v, u). 4. Factorisation du trinôme Théorème 6 Si le trinôme P(x) admet deux racines x1 et x2 (éventuellement confondues), alors pour tout réel x, P(x) = a(x - x1)(x - x2). 5. Signe du trinôme Théorème 7 Si < 0, P(x) a le signe de a pour tout x. Si = 0, P(x) a le signe de a pour tout x . Si > 0, P(x) a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe de (- a) entre les racines. Remarque : un élève de première S doit connaître parfaitement ce résultat, mais peut, au début, faire rapidement un tableau de signes. 6. Second degré et paraboles De nombreux résultats de ce chapitre se traduisent graphiquement à l'aide de la parabole P d'équation : y = ax² + bx + c, a 0. Les Fonctions Polynômes : Fiche Méthode I. Fonction polynôme Ne pas oublier qu'une fonction polynôme est définie sur et que les puissances de x sont des entiers naturels. II. Equation de degré supérieur ou égal à 3 Chercher une ou plusieurs racines : en programmant une calculatrice, souvent parmi -2, -1, 0, 1, 2, dont 0 si le coefficient constant est nul, puis utiliser le théorème suivant : a est une racine de P si et seulement s'il existe une fonction polynôme Q telle que pour tout réel x, P(x) = (x - a) Q(x). une ou plusieurs fois pour factoriser et se ramener à une équation de degré 2. III. Equation de degré 2 Vérifier d'abord s'il s'agit ou non d'une identité remarquable. S'il y a une racine simple (souvent parmi -2, -1, 0, 1, 2), utiliser le théorème suivant pour obtenir l'autre racine : Si le trinôme P(x) = ax² + bx + c, avec a 0, admet deux racines x1 et x2 alors : x1 + x2 = et x1 x2 = Sinon utiliser les formules du théorème suivant : - Si < 0, S = - Si = 0, S = - Si > 0, S = qui ne sont valables que pour une équation du second degré et qui doivent être connues par cœur ! Retenir qu'un polynôme de degré 2 a au plus deux racines. Dans un problème concret, vérifier la cohérence des résultats. IV. Inéquation Commencer par factoriser au maximum en utilisant les méthodes du II. et du III., puis utiliser la règle des signes avec un tableau. Ne pas oublier le facteur a dans a(x - x1)(x - x2). Vérifier les résultats en prenant des valeurs particulières et en déterminant le signe du polynôme pour ces valeurs. Factorisations de polynômes exercice 1 Factoriser H(x) = x² - x - 2 aide : calculer H(2) exercice 2 Factoriser R(x) = x³ + 2x² - 5x - 6 aide : calculer R(2) a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) exercice 3 Factoriser A(x) = 2x² + 10x - 3 Voir la correction exercice 1 H(x) = x² - x - 2 Calculons H(2) : H(2) = 2² - 2 - 2 = 0 Donc : H(x) = H(x) - H(2) H(x) = x² - x - 2 - (2² - 2 - 2) H(x) = (x² - 2²) - (x - 2) H(x) = (x - 2)(x + 2) - (x - 2) H(x) = (x - 2)(x + 2 - 1) H(x) = (x - 2)(x + 1) exercice 2 R(x) = x³ + 2x² - 5x - 6 Calculons R(2) = 2³ + 2 × 2² - 5 × 2 - 6 = 0 Donc : R(x) = R(x) - R(2) R(x) = x³ + 2x² - 5x - 6 - (2³ + 2 × 2² - 5 × 2 - 6) R(x) = (x³ - 2³) + 2(x² - 2²) - 5(x - 2) R(x) = (x - 2)(x² + 2x + 4) + 2(x - 2)(x + 2) - 5(x - 2) R(x) = (x - 2)(x² + 2x+ 4 + 2x + 4 - 5) R(x) = (x - 2)(x² + 4x + 3) Pour aller plus loin... On prend : Z(x) = x² + 4x + 3 0 = Z(-1) = (-1)² + 4 × (-1) + 3 ____________________________ Z(x) = Z(x) - Z(-1) = (x² - (-1)²) + 4(x - (-1)) Z(x) = (x - 1)(x + 1) + 4(x + 1) Z(x) = (x + 1)(x + 3) Donc pour reprendre R(x) : R(x) = x³ + 2x - 5x - 6 R(x) = (x - 2)(x² + 4x + 3) R(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 3) exercice 3 On va utiliser la forme canonique ... Fonctions Polynômes : Exercices exercice 1 Calculer x1² + x2² et x1 3 + x2 3 où x1 et x2 sont les deux racines de ax² + bx + c. exercice 2 Résoudre dans l'équation suivante : indication : uploads/s3/ factorisations-de-polynomes.pdf