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www.biblio-scientifique.com Exercices incontournables Julien Freslon MP polytechnicien, professeur agrégé de mathématiques en classe préparatoire au lycée Dessaignes de Blois. Mathématiques Jérôme Poineau polytechnicien, agrégé de mathématiques, maître de conférences à l’université de Strasbourg. Daniel Fredon ancien maître de conférences à l’université de Limoges et interrogateur en classes préparatoires aux lycées Gay Lussac et Turgot de Limoges. Claude Morin professeur de mathématiques en PC* au lycée Gay Lussac de Limoges. www.biblio-scientifique.com © Dunod, Paris, 2010 ISBN 978-2-10-056068-4 www.biblio-scientifique.com © Dunod La photocopie non autorisée est un délit 1 Algèbre générale 3 Exercice 1.1 : Résolution d’un système 3 Exercice 1.2 : Configuration géométrique 3 Exercice 1.3 : Utilisation d’une base non canonique de Rn[X] 5 Exercice 1.4 : Dés pipés et polynômes 6 Exercice 1.5 : Retrouver la fraction rationnelle 7 Exercice 1.6 : Groupe engendré par deux éléments 7 Exercice 1.7 : Radical d’un idéal 8 Exercice 1.8 : Anneau Z[ √ 2] 10 Exercice 1.9 : Une congruence 12 Exercice 1.10 : Calculs dans Z/nZ 13 Exercice 1.11 : Lemme chinois et application 15 Exercice 1.12 : Nombres de Fermat 16 Exercice 1.13 : Une propriété du groupe symétrique 17 Exercice 1.14 : Système de générateurs du groupe orthogonal 17 2 Algèbre linéaire 21 Exercice 2.1 : Éléments propres d'un endomorphisme d'un espace de polynômes 21 Exercice 2.2 : Éléments propres d'un endomorphisme d'un espace de fonctions 25 Exercice 2.3 : Étude d'un endomorphisme d'un espace d'endomorphismes 28 Exercice 2.4 : Diagonalisation 31 Exercice 2.5 : Réduction 35 Exercice 2.6 : Réduction d'une matrice d'ordre 3 38 Exercice 2.7 : Trigonalisation 42 Exercice 2.8 : Réduction d'une matrice à paramètres 46 Exercice 2.9 : Diagonalisation simultanée 48 Exercice 2.10 : Réduction des matrices de trace nulle 50 Exercice 2.11 : Formes linéaires et base antéduale 53 Exercice 2.12 : Formes linéaires et hyperplans 56 Exercice 2.13 : Théorème de Cayley-Hamilton 60 Exercice 2.14 : Décomposition de Dunford 66 3 Algèbre bilinéaire 75 Exercice 3.1 : Noyaux, images et adjoint 75 Exercice 3.2 : Exemple de matrice définie positive 77 Exercice 3.3 : Construction de matrices positives 79 Table des matières www.biblio-scientifique.com Exercice 3.4 : Endormorphisme normal 80 Exercice 3.5 : Une inégalité sur le déterminant d'une matrice symétrique 83 Exercice 3.6 : Racine carrée d'une matrice définie positive 86 Exercice 3.7 : Décomposition polaire 88 Exercice 3.8 : Congruence simultanée et inégalités sur les déterminants 89 4 Espaces vectoriels normés 93 Exercice 4.1 : Réunion et intersection de boules 93 Exercice 4.2 : Boule unité 94 Exercice 4.3 : Comparaison de normes 94 Exercice 4.4 : Normes équivalentes 96 Exercice 4.5 : Partie dense dans un ensemble de matrices 98 Exercice 4.6 : Partie dense dans un ensemble de polynômes 99 Exercice 4.7 : Fonction continue 100 Exercice 4.8 : Application linéaire non continue 100 Exercice 4.9 : Fonction uniformément continue 101 Exercice 4.10 : Applications linéaires non continues 102 Exercice 4.11 : Norme subordonnée 104 Exercice 4.12 : Compacité du groupe des matrices orthogonales 105 Exercice 4.13 : Un fermé borné non compact 106 Exercice 4.14 : Somme d'un compact et d'un fermé 106 Exercice 4.15 : Suites de Cauchy 107 Exercice 4.16 : Espaces complets 109 5 Séries numériques 111 Exercice 5.1 : Nature de séries 111 Exercice 5.2 : Nature de séries II 116 Exercice 5.3 : Quelques calculs explicites de sommes de séries 122 Exercice 5.4 : Formule de Stirling 127 Exercice 5.5 : Séparation des termes pairs et impairs 130 Exercice 5.6 : Convergence et développement asymptotique 133 Exercice 5.7 : Un critère de convergence 135 Exercice 5.8 : Convergence et monotonie 139 Exercice 5.9 : Équivalents et restes de séries 142 Exercice 5.10 : Convergence de série et intégrabilité 151 Exercice 5.11 : Transformation d'Abel 159 Exercice 5.12 : Produits infinis 163 6 Suites et séries de fonctions 167 Exercice 6.1 : Convergence uniforme d'une suite de fonctions I 167 Exercice 6.2 : Convergence uniforme d'une suite de fonctions II 169 Exercice 6.3 : Convergence uniforme d'une série de fonctions 171 Exercice 6.4 : Fonction ζ de Riemann 174 Exercice 6.5 : Régularité d'une série de fonctions 180 Exercice 6.6 : Calcul d'intégrales à l'aide de séries de fonctions 183 Exercice 6.7 : Intégration et convergence uniforme 188 IV Table des matières www.biblio-scientifique.com 7 Intégration 195 Exercice 7.1 : Un calcul d'intégrale I 195 Exercice 7.2 : Un calcul d'intégrale II 198 Exercice 7.3 : Changement de variable 202 Exercice 7.4 : Calcul d'une intégrale à paramètre 203 Exercice 7.5 : Fonction d'Euler 208 Exercice 7.6 : Convergence de l'intégrale de Dirichlet 211 Exercice 7.7 : Transformée de Laplace du sinus cardinal 217 Exercice 7.8 : Calcul de l'intégrale de Dirichlet 218 Exercice 7.9 : Une formule d'Euler 224 Exercice 7.10 : Intégrale de Gauss 233 Exercice 7.11 : Théorème de d'Alembert-Gauss 238 8 Séries de Fourier 245 Exercice 8.1 : Calcul de séries numériques à l'aide de séries de Fourier I 247 Exercice 8.2 : Calcul de séries numériques à l'aide de séries de Fourier II 250 Exercice 8.3 : Calcul de séries numériques à l'aide de séries de Fourier III 253 Exercice 8.4 : Relation de récurrence sur les coefficients de Fourier 258 Exercice 8.5 : Expression d'une intégrale sous forme de série 261 Exercice 8.6 : Inégalité de Wirtinger 263 9 Séries entières 273 Exercice 9.1 : Calculs de sommes de séries numériques 273 Exercice 9.2 : Calculs de rayons de convergence avec la règle de d'Alembert 274 Exercice 9.3 : Calculs de rayons de convergence avec la définition 275 Exercice 9.4 : Domaine de convergence 277 Exercice 9.5 : Convergence et calcul de la somme 278 Exercice 9.6 : Développement d'une fonction en série entière 279 Exercice 9.7 : Avec une suite récurrente linéaire 281 Exercice 9.8 : Convergence radiale 282 Exercice 9.9 : Dénombrement 284 Exercice 9.10 : Détermination d'une somme 286 Exercice 9.11 : Conditions de continuité 287 Exercice 9.12 : Un équivalent de la somme 290 Exercice 9.13 : Limite du quotient de deux sommes 291 Exercice 9.14 : Calcul de la somme d'une série numérique 292 10 Équations différentielles 295 Exercice 10.1 : Variation de la constante ou des constantes ? 295 Exercice 10.2 : Utilisation d'une solution « évidente » 297 Exercice 10.3 : Utilisation d'un changement de variable 299 Exercice 10.4 : Utilisation de séries entières (cas régulier) 300 Exercice 10.5 : Utilisation de séries entières (cas singulier) 302 Exercice 10.6 : Système différentiel d'ordre 2 305 Exercice 10.7 : Système différentiel d'ordre 3 (A trigonalisable) 309 Exercice 10.8 : Utilisation du Wronskien 312 Exercice 10.9 : Équation différentielle autonome 314 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. V Table des matières www.biblio-scientifique.com 11 Fonctions de plusieurs variables 317 Exercice 11.1 : Continuité d'une fonction 317 Exercice 11.2 : À propos du théorème de Schwarz 318 Exercice 11.3 : Différentiabilité d'une fonction 319 Exercice 11.4 : Une équation aux dérivées partielles 320 Exercice 11.5 : Équation des cordes vibrantes 321 Exercice 11.6 : Dérivée directionnelle 323 Exercice 11.7 : Étude d'une suite 324 Exercice 11.8 : Recherche d'extremums 326 Exercice 11.9 : Extremums sur un compact 328 Exercice 11.10 : Extremums sur un compact d'une fonction de n variables 329 Exercice 11.11 : Majoration 330 Exercice 11.12 : D'un extremum local à un extremum global 331 Exercice 11.13 : Détermination d'un facteur intégrant d'une forme différentielle 334 Exercice 11.14 : Calcul d'une intégrale curviligne 336 12 Courbes et surfaces 339 Exercice 12.1 : Droites tangentes et normales 339 Exercice 12.2 : Plans tangents à une surface 340 Exercice 12.3 : Intersection d'un cône et d'un plan 342 Exercice 12.4 : Équation d'un cylindre 343 Exercice 12.5 : Étude d'une quadrique 345 Exercice 12.6 : Variations sur les normes usuelles du plan 347 Exercice 12.7 : Surface engendrée par rotation 350 Exercice 12.8 : Quadrique dépendant d'un paramètre 352 Exercice 12.9 : Détermination d'un cône 353 Exercice 12.10 : Intersection d'une quadrique avec un plan et projection 355 Index 359 VI Table des matières www.biblio-scientifique.com © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Cet ouvrage s’adresse aux élèves de deuxième année MP de classes préparatoires scientifiques. Il leur propose de mettre en pratique les notions abordées en cours de mathématiques par le biais d’exercices. Chacun est assorti d’une correction détaillée, dans laquelle l’accent est mis sur la méthode qui mène à la solution. Le livre est divisé en douze chapitres, consacrés chacun à une partie du program- me. Au sein d’un même chapitre, les exercices, classés par ordre croissant de diffi- culté, ont été choisis de façon à passer en revue les notions à connaître, mais aussi à présenter les techniques susceptibles d’être utilisées. En ce qui concerne les corrections, nous avons choisi de séparer clairement la réflexion préliminaire, comprenant analyse du problème et tâtonnements, de la rédaction finale, rigoureuse et précise. Cette dernière étape est signalée, dans le texte, par la présence d’un liseré gris sur la gauche et d’un . Insistons sur le fait que nous ne prétendons uploads/s3/ mathematiques-les-exercices-incontournables-mp.pdf