Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

A 2013 MATH II PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,

A 2013 MATH II PSI ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS 2013 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l’épreuve : trois heures) L’usage d’ordinateur ou de calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. La formule du triple produit de Jacobi On note N l’ensemble des entiers naturels, N∗l’ensemble des entiers naturels non nuls, Z l’ensemble des entiers relatifs, C l’ensemble des nombres complexes et C∗ l’ensemble des nombres complexes non nuls. Si an, n ≥1 est une suite numérique, on note Q+∞ n=1 an la limite (si elle existe) de la suite An = Qn k=1 ak = a1a2 . . . an−1an. L’expression : i = 1, m signiﬁe “pour tout i entier tel que 1 ≤i ≤m.” Soit ζ ∈C, on rappelle que si Re ζ > 0, alors Arg ζ = Arc tg (Im ζ/ Re ζ) . Dans tout ce problème z notera un nombre complexe non nul et x un nombre réel tel que |x| < 1. 1 Préambule Question 1 Soient (ξk)k∈N une suite dans C et n ∈N, démontrer par récurrence que n Y k=1 (1 + ξk) −1 ≤ n Y k=1 (1 + |ξk|) −1. (1) 2 La formule de Jacobi On pose Q (x) = ∞ Y k=1 1 −x2k et H (x, z) = ∞ Y k=1 1 + z2x2k−1 . (2) Question 2 Montrer que Q (x) est bien déﬁni, c’est-à-dire que la suite de terme gé- néral Qn k=1 1 −x2k converge. Question 3 Soit ρk = 1 + z2x2k−1 , montrer que le produit inﬁni Q∞ k=1 ρk converge. On pourra utilement penser à l’utilisation du Logarithme pour transformer le produit inﬁni en série. Question 4 Soit θk = Arg 1 + z2x2k−1 , montrer que la série P∞ k=1 θk converge. Question 5 En déduire que H est bien déﬁni. Question 6 A l’aide de l’inégalité (1) démontrer que Q (x) →1 quand x →0. On pose F (x, z) = H (x, z) H x, z−1 . (3) 2 Question 7 Montrer que F (x, xz) = 1 + z−2x−1 ∞ Y k=1 1 + z2x2k+1 ∞ Y k=1 1 + z−2x2k−1 et en déduire que xz2F (x, xz) = F (x, z) . On admettra que F (x, z) se décompose de façon unique sous la forme suivante : F (x, z) = F1 (x, z) + F2 x, z−1 , où pour x ﬁxé, F1 (x, ξ) et F2 (x, ξ) sont les sommes respectives de deux séries entières de rayon de convergence inﬁni, soit F1 (x, ξ) = +∞ X k=0 ak (x) ξk et F2 (x, ξ) = +∞ X k=1 a−k (x) ξk ; les fonctions ak, k = 0, +∞et a−k, k = 1, +∞de la variable réelle x étant à valeurs dans C. On notera F (x, z) = +∞ X k=−∞ ak (x) zk, z ∈C∗. (4) Question 8 On pose F n 1 (x, z) = Pn k=0 ak (x) zk. Démontrer que a0 (x) = F1 (x, 0) et que, pour n ≥0, an+1 (x) = limz→0 (F1 (x, z) −F n 1 (x, z)) /zn+1. Question 9 En déduire que si F (x, z) vériﬁe à la fois (4) et F (x, z) = P+∞ k=−∞dk (x) zk, alors ∀k ∈Z les fonctions ak et dk sont égales, c’est-à-dire que les coeﬃcients ak (x) dans l’expression (4) de F (x, z) sont déterminés de façon unique. Question 10 Montrer qu’il existe des fonctions bm, m ∈Z, de la variable réelle x, à valeurs dans C, telles que ∀z ∈C∗, F (x, z) = +∞ X m=−∞ bm (x) z2m. Question 11 A l’aide de la question 7, montrer que ∀m ∈Z, bm (x) = bm−1 (x) x2m−1. Question 12 Montrer que ∀m ∈N, bm (x) = b−m (x) et donner l’expression de bm (x) en fonction de b0 (x) et x. Question 13 A l’aide de l’inégalité (1) démontrer que H (x, z) →1 quand x →0. Question 14 En déduire que b0 (x) →1 quand x →0. On pose P (x, z) = Q (x) F (x, z) et η = eiπ/4. (5) Question 15 Montrer que P (x, η) = ∞ Y k=1 1 −x4k ∞ Y k=1 1 −x4k−2 ∞ Y k=1 1 + x4k−2 . 3 Question 16 En déduire que P (x, η) = P (x4, i) . On pose cm (x) = Q (x) bm (x) . Question 17 A l’aide de la question 16 et de l’expression de bm (x) de la question 12, montrer que c0 (x4) = c0 (x) . Question 18 En utilisant une récurrence et à l’aide des questions 14 et 6, en déduire que pour tout x ∈]−1, 1[ , c0 (x) = 1 et la formule du triple produit ∞ Y k=1 1 −x2k ∞ Y k=1 1 + z2x2k−1 ∞ Y k=1 1 + z−2x2k−1 = +∞ X m=−∞ xm2z2m. (6) 3 Le nombre de partitions d’un entier Question 19 En posant x = t3/2 et par un choix judicieux de z2, déduire la formule des nombres pentagonaux d’Euler : ∞ Y m=1 (1 −tm) = +∞ X m=−∞ (−1)m t(3m2+m)/2, t ∈R, 0 ≤t < 1, (7) de celle du triple produit (6). Si n est un entier positif, on note p (n) et on appelle nombre de partitions de n le nombre de façons de représenter n comme une somme d’entiers positifs sans prendre en considération l’ordre des termes ; c’est encore le nombre de solutions (r1, r2, . . . , rn) ∈ (N∗)n de l’équation n X j=1 rj = n, telles que r1 ≥r2 ≥. . . ≥rn ≥1. (8) On aura par exemple p (3) = 3 car 3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1, partitions que l’on représente sous la forme des trois diagrammes de Ferrer suivants : • • • • • • • • • On note S1 l’ensemble des solutions de (8). On note également S2 l’ensemble des solutions (q1, q2, . . . , qn) ∈(N∗)n de n X j=1 jqj = n. (9) 4 On note f l’application (N∗)n − →(N∗)n déﬁnie par f (q1, q2, . . . , qn) = (r1, r2, . . . , rn) où rj = Pn i=j qi. Question 20 En s’aidant de l’application f, démontrer que S1 et S2 comportent le même nombre d’éléments. Question 21 Démontrer que pour n > 0, p (n) est le coeﬃcient de tn dans le déve- loppement de Qn k=1 Pn i=0 tik . Question 22 A l’aide de la formule d’Euler (7), démontrer que 1 + ∞ X k=1 p (k) tk ! +∞ X m=−∞ (−1)m t(3m2+m)/2 ! = 1. Question 23 En déduire la valeur de p (n) , n = 1, 7. Fin de l’épreuve 5 uploads/s3/ maths-psi-ii-triple-produit.pdf