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i Cours MEC3400 Éléments finis en mécanique du Solide 7e édition Notes de cours

i Cours MEC3400 Éléments finis en mécanique du Solide 7e édition Notes de cours Luc Marchand Georges McIntyre Martin Lévesque Département de Génie Mécanique, École Polytechnique de Montréal Août 2008 Tous droits réservés  Luc Marchand, Georges McIntyre, Martin Lévesque, École Polytechnique de Montréal, 2008 ii TABLE DES MATIÈRES 1 MÉTHODES APPROXIMATIVES POUR LA RÉSOLUTION DES PRINCIPAUX PROBLÈMES D’INGÉNIERIE ......... 1-1 1.1 LES PRINCIPAUX PROBLÈMES D'INGÉNIERIE ........................................................................................................ 1-1 1.1.1 Problèmes avec conditions aux rives ................................................................................................. 1-4 1.1.2 Problèmes aux valeurs propres .......................................................................................................... 1-5 1.1.3 Problèmes de diffusion ...................................................................................................................... 1-6 1.1.4 Problèmes dynamiques ...................................................................................................................... 1-6 1.2 MÉTHODE DE RÉSOLUTION APPROXIMATIVE ...................................................................................................... 1-7 1.2.1 Forme de l’équation différentielle...................................................................................................... 1-7 1.2.2 Méthode générale de résolution ........................................................................................................ 1-7 1.2.3 Exemple............................................................................................................................................ 1-10 1.3 SOLUTION PAR LES MÉTHODES DE RÉSIDUS PONDÉRÉS ....................................................................................... 1-12 1.3.1 Collocation par points ...................................................................................................................... 1-13 1.3.2 Collocation par sous domaines ........................................................................................................ 1-14 1.3.3 Méthode des moindres carrés ......................................................................................................... 1-15 1.3.4 Méthode de Galerkin ....................................................................................................................... 1-18 1.3.5 Comparaison entre les différentes méthodes .................................................................................. 1-19 1.4 MÉTHODE VARIATIONNELLE DE RITZ .............................................................................................................. 1-20 1.4.1 Méthode .......................................................................................................................................... 1-20 1.4.2 Exemple numérique ......................................................................................................................... 1-22 1.5 EVALUATION DE LA PRÉCISION DES SOLUTIONS (ÉTUDE DE LA CONVERGENCE) ........................................................ 1-22 1.6 EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES ...................................................................................................................... 1-26 2 MÉTHODES PRATIQUES DE RÉSOLUTION .................................................................................................. 2-1 2.1 CONDITIONS AUX RIVES: NOMENCLATURE ........................................................................................................ 2-1 2.2 INTERPOLATION........................................................................................................................................... 2-3 2.2.1 Fonctions d’interpolation ................................................................................................................... 2-3 2.2.2 Méthode matricielle d'interpolation ................................................................................................ 2-10 iii 2.2.3 Solution à plusieurs éléments .......................................................................................................... 2-11 2.2.4 Méthode d'interpolation de LAGRANGE .......................................................................................... 2-12 2.2.5 Utilisation d'éléments d’ordre supérieur ......................................................................................... 2-13 2.2.6 La méthode matricielle d’interpolation appliquée à un élément poutre ......................................... 2-15 2.3 INTÉGRATION PAR PARTIES ............................................................................................................................ 2-19 2.3.1 Une dimension ................................................................................................................................. 2-19 2.3.2 En deux et trois dimensions ............................................................................................................. 2-19 2.3.3 Exemple d'application. ..................................................................................................................... 2-21 2.3.4 Autre classification des conditions aux rives (Selon la méthode d'application) ............................... 2-24 2.4 EXEMPLES NUMÉRIQUES ............................................................................................................................. 2-25 2.4.1 Exemple no. 1 – Application de la méthode matricielle et de l'intégration par parties ................... 2-25 2.4.2 Exemple no. 2, Méthode matricielle avec valeurs constantes ......................................................... 2-37 2.4.3 Exemple no.3 – Analogie avec le barreau droit ............................................................................... 2-44 2.5 EXERCICES ................................................................................................................................................ 2-47 2.5.1 Interpolation .................................................................................................................................... 2-47 2.5.2 Intégration par parties et Galerkin .................................................................................................. 2-50 3 DÉVELOPPEMENT D’UN ÉLÉMENT FINI POUTRE-COLONNE ....................................................................... 3-1 3.1 ÉQUILIBRE .................................................................................................................................................. 3-2 3.2 CHOIX DE LA FONCTION D'ESSAI ...................................................................................................................... 3-4 3.3 FORME INTÉGRALE FAIBLE ............................................................................................................................. 3-5 3.4 SOLUTION PAR ÉLÉMENTS FINIS ...................................................................................................................... 3-7 3.5 CALCUL DE LA CHARGE CRITIQUE DE COLONNES DROITES .................................................................................... 3-15 3.5.1 Système d'équations pour un élément ............................................................................................. 3-15 3.5.2 Exercice no.1 : Colonne rotule-rotule (1 élément) ............................................................................ 3-15 3.5.3 Exercice no.2 : Colonne encastrée-libre (1 élément) ........................................................................ 3-16 3.5.4 Exercice no.3 : Colonne rotule-rotule (2 éléments finis de longueur L) ............................................ 3-17 3.6 EXERCICES ................................................................................................................................................ 3-19 iv 4 CONVERGENCE D’UNE SOLUTION PAR ÉLÉMENTS FINIS ............................................................................ 4-1 4.1 CONDITIONS DE CONVERGENCE ...................................................................................................................... 4-1 4.1.1 Représentation constante .................................................................................................................. 4-1 4.2 CONTINUITÉ ............................................................................................................................................... 4-2 4.2.1 Classe ................................................................................................................................................. 4-3 4.3 TAUX DE CONVERGENCE DE LA FONCTION D'ESSAI .............................................................................................. 4-3 4.4 TAUX DE CONVERGENCE DU FLUX .................................................................................................................... 4-5 4.5 POINTS DE SURCONVERGENCE ........................................................................................................................ 4-7 4.6 CONCLUSION ............................................................................................................................................ 4-13 5 TRANSFORMATIONS DU SYSTÈME MATRICIEL D'UN ÉLÉMENT.................................................................. 5-1 5.1 TRANSFORMATION DE COORDONNÉES ............................................................................................................. 5-1 5.1.1 Matrice de rotation ............................................................................................................................ 5-2 5.2 TRANSFORMATION D'UN VECTEUR .................................................................................................................. 5-2 5.3 CALCUL DE LA MATRICE DE ROTATION .............................................................................................................. 5-4 5.3.1 Matrice de rotation d'un élément à deux dimensions ....................................................................... 5-5 5.3.2 Matrice de rotation d'une poutre ...................................................................................................... 5-7 5.4 CHANGEMENT DE BASE EN ÉLÉMENTS FINIS ..................................................................................................... 5-11 5.5 AUTRES TRANSFORMATIONS ........................................................................................................................ 5-13 5.5.1 Libération (relaxation) de degrés de liberté d'un élément ............................................................... 5-13 5.5.2 Les fonctions de contraintes ............................................................................................................ 5-14 5.5.3 Les éléments rigides ......................................................................................................................... 5-16 5.6 SYMÉTRIE ET ANTISYMÉTRIE ......................................................................................................................... 5-18 5.6.1 Symétrie par réflexion ...................................................................................................................... 5-18 5.6.2 Antisymétrie (des charges) .............................................................................................................. 5-19 5.6.3 La symétrie cyclique ......................................................................................................................... 5-19 5.7 EXEMPLE DU DÉVELOPPEMENT ET DE L'UTILISATION DE LA MATRICE [P] ................................................................ 5-22 6 FORMULATION DES ÉLÉMENTS ISOPARAMÉTRIQUES ............................................................................... 6-1 v 6.1 INTRODUCTION ........................................................................................................................................... 6-1 6.1.1 Famille de Lagrange ........................................................................................................................... 6-2 6.1.2 Famille de Serendip ............................................................................................................................ 6-4 6.1.3 Interpolation linéaire ......................................................................................................................... 6-4 6.1.4 Interpolation quadratique ................................................................................................................. 6-5 Propriétés des fonctions d'interpolation .......................................................................................................... 6-5 6.2 FONCTIONS DE FORME DES ÉLÉMENTS BIDIMENSIONNELS (SURFACE 2D) ................................................................ 6-6 6.3 FONCTIONS DE FORME DES ÉLÉMENTS TRIDIMENSIONNELS (SOLIDE 3D) ................................................................. 6-9 6.4 INTERPOLATION DES FONCTIONS D’UN PROBLÈME ............................................................................................ 6-11 6.5 DÉRIVÉES D'UNE FONCTION PAR RAPPORT AUX COORDONNÉES CARTÉSIENNES ...................................................... 6-13 6.5.1 Exemple............................................................................................................................................ 6-14 6.6 INTÉGRATION DES EXPRESSIONS .................................................................................................................... 6-15 6.6.1 Méthode d'intégration numérique .................................................................................................. 6-16 6.7 EXERCICES ................................................................................................................................................ 6-17 7 LES ÉLÉMENTS FINIS POUR L'ANALYSE DES STRUCTURES .......................................................................... 7-1 7.1 INTRODUCTION ........................................................................................................................................... 7-1 7.1.1 Problèmes linéaires ............................................................................................................................ 7-1 7.2 LES PRINCIPAUX ÉLÉMENTS ............................................................................................................................ 7-3 7.3 THÉORÈME DE L’ÉNERGIE POTENTIELLE MINIMALE .............................................................................................. 7-4 7.3.1 Énergie de déformation interne ......................................................................................................... 7-4 7.3.2 Potentiel des charges extérieures ...................................................................................................... 7-5 7.3.3 Application à la méthode des éléments finis ..................................................................................... 7-5 7.4 ÉLÉMENTS DE BARRE ET DE POUTRE ................................................................................................................. 7-6 7.4.1 Éléments de barre [4] ......................................................................................................................... 7-6 7.4.2 Éléments de poutre [4] ....................................................................................................................... 7-7 7.4.3 Matrices de rigidité ............................................................................................................................ 7-8 7.5 LES ÉLÉMENTS MEMBRANE .......................................................................................................................... 7-13 vi 7.5.1 Introduction [4] ................................................................................................................................ 7-13 7.5.2 Les principaux éléments membrane [4] ........................................................................................... 7-15 7.5.3 Les états plans ................................................................................................................................. 7-18 7.5.4 Énergie de déformation ................................................................................................................... 7-22 7.5.5 Potentiel des charges ....................................................................................................................... 7-24 7.5.6 Énergie potentielle (Équation du mouvement) ................................................................................ 7-26 7.5.7 Remarque sur l'intégration .............................................................................................................. 7-26 7.5.8 Remarques sur la forme géométrique des éléments ....................................................................... 7-27 7.5.9 Erreurs communes de maillage........................................................................................................ 7-28 7.6 PLAQUES EN FLEXION ................................................................................................................................. 7-31 7.6.1 Introduction ..................................................................................................................................... 7-31 7.6.2 Hypothèses simplificatrices de la théorie des plaques ..................................................................... 7-32 7.6.3 Fonctions de déplacement d'une plaque ......................................................................................... 7-33 7.6.4 Théorie de KIRCHOFF (Théorie des plaques minces) ........................................................................ 7-34 7.6.5 Théorie de MINDLIN (Plaques avec cisaillement transversal) .......................................................... 7-36 7.6.6 Contraintes ...................................................................................................................................... 7-39 7.6.7 Remarques sur les théories de Kirchoff et de Mindlin ...................................................................... 7-39 7.7 LES COQUES ............................................................................................................................................. 7-40 7.7.1 Éléments plats. ................................................................................................................................. 7-40 7.7.2 Éléments isoparamétriques ............................................................................................................. 7-42 7.8 ÉLÉMENT SOLIDE AXISYMÉTRIQUE ................................................................................................................. 7-47 7.8.1 Introduction [4] ................................................................................................................................ 7-47 7.8.2 Relations déformations-déplacements ............................................................................................ 7-48 7.8.3 Hypothèses du problème axisymétrique .......................................................................................... 7-49 7.8.4 Relations contraintes-déformations ([3], chapitre 9) ...................................................................... 7-50 7.8.5 Énergie de déformation ................................................................................................................... 7-51 7.8.6 Fonctions de déplacement et critères de convergence .................................................................... 7-51 vii 7.9 ÉLÉMENTS DE VOLUME (SOLIDES 3D) ............................................................................................................ 7-52 7.9.1 Introduction [4] ................................................................................................................................ 7-52 7.9.2 Éléments finis de volume ................................................................................................................. 7-54 7.9.3 Relations déformations-déplacements ............................................................................................ 7-55 7.9.4 Relations contraintes-déformations ................................................................................................ 7-55 7.9.5 Énergie de déformation ................................................................................................................... 7-56 7.9.6 Fonctions de déplacement et critères de convergence .................................................................... 7-56 8 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES DYNAMIQUES ............................................................................................8-58 8.1 SYSTÈME À UN SEUL DEGRÉ DE LIBERTÉ, UNE BRÈVE RÉVISION ............................................................................. 8-58 8.1.1 Vibration libre sans amortissement ................................................................................................. 8-58 8.1.2 Vibration libre avec amortissement ................................................................................................... 8-3 8.1.3 Vibration forcée avec amortissement ................................................................................................ 8-7 8.1.4 Détermination expérimentale du facteur d'amortissement ............................................................ 8-10 8.2 PROBLÈMES DYNAMIQUES ........................................................................................................................... 8-13 8.2.1 Fréquences naturelles de vibration .................................................................................................. 8-13 8.2.2 Méthode de réduction de GUYAN (Condensation statique) ............................................................ 8-15 8.2.3 Orthogonalité des vecteurs propres { Di } ........................................................................................ 8-18 8.3 RÉPONSE D'UN SYSTÈME DYNAMIQUE ............................................................................................................ 8-20 8.3.1 Méthode de superposition des modes ............................................................................................. 8-20 8.3.2 Remarques sur l'amortissement ...................................................................................................... 8-23 8.4 MÉTHODE D'INTÉGRATION DIRECTE ............................................................................................................... 8-27 8.5 EXEMPLES DE CALCUL, FRÉQUENCES NATURELLES ET MODES VIBRATOIRE .............................................................. 8-31 8.5.1 Système à deux masses avec ressorts .............................................................................................. 8-31 8.5.2 Colonne encastrée-libre ................................................................................................................... 8-34 8.6 EXERCICES ................................................................................................................................................ 8-39 9 INTRODUCTION À ANSYS .......................................................................................................................... 9-1 10 PROBLÈMES SUPPLÉMENTAIRES, COURS 1 À 9 .........................................................................................10-1 viii RÉFÉRENCES [1] “Finite Element Analysis, from Concept to Applications”, David S. Burnett, Addison-Wesley Publishing Company, 1987, ISBN 0-201-10806-2. Reproduction des figures 3.4, 3.6, 3.8, 3.9, 3.10, 3.12, 3.13,4.5,5.1, 5.2, 5.4, 5.6, 5.9, 5.11, 5.14, 9.2, 9.4 à 9.7, 13.48, 13.63, 13.64 [2] “Concepts and Applications of Finite Element Analysis”, Robert D. Cook and al., John Wiley and Sons, Inc., Fourth edition, 2001, ISBN 0-471-35605-0. Reproduction des figures 3.2-1,6.4-2, 6.4-3, 10.3-1, 10.3-3 [3] "Résistance des matériaux", A. Bazergui et al., Éditions de l'École Polytechnique de Montréal, 3ième éditions, 2003 [4] "Modélisation des structures – Calcul par éléments finis", Jean-Charles Craveur, Dunod, 2ième édition, 2001, ISBN 2 10 005547 X Reproduction partielle ou totale des pages 35, 36, 41, 75, 79 à 81, 91, 92, 117, 131 à 133. [5] "Finite Element Analysis – Theory and Application with ANSYS", Saeed Moaveni, Pearson Education Inc., 2nd Edition, 2003, ISBN 0-13-111202-3. Reproduction de: Table 1.1, Fig. 6.1, pages 129 à 136 ( Chap. 3), 345 à 375 et 391 à 396 (Chap. 8) 1-1 Chapitre 1 1 MÉTHODES APPROXIMATIVES POUR LA RÉSOLUTION DES PRINCIPAUX PROBLÈMES D’INGÉNIERIE Dans ce premier chapitre nous allons exposer les méthodes fondamentales pour résoudre approximativement les principaux problèmes d'ingénierie. Dans le chapitre 2 nous apporterons des raffinements à l’une de ces méthodes fondamentales afin d’obtenir “la méthode des éléments finis” ou MEF. 1.1 Les principaux problèmes d'ingénierie En général, pour résoudre les problèmes d’ingénierie, nous construisons des modèles mathématiques pour représenter des phénomènes physiques. Dans plusieurs cas, ces modèles sont faits d’équations différentielles avec un ensemble de conditions initiales ou de conditions aux rives. Les équations différentielles sont développées en appliquant des lois fondamentales à un système ou à un volume de contrôle. Ces équations représentent une loi de conservation comme l’équilibre uploads/s3/ mec3400-notesdecours-pdf.pdf