BTS M´ ecanique et Automatismes Industriels Nombres complexes Lyc´ ee Louis Arm

BTS M´ ecanique et Automatismes Industriels Nombres complexes Lyc´ ee Louis Armand, Poitiers, Ann´ ee scolaire 2006 2007 Nombres complexes Lyc´ ee Louis Armand, Poitiers Table des mati` eres Nombres complexes 1. Les diff´ erentes ´ ecritures  1 1.1 - Forme alg´ ebrique d’un nombre complexe  1 1.2 - Repr´ esentation g´ eom´ etrique d’un nombre complexe  1 1.3 - Forme trigonom´ etrique, forme exponentielle  1 2. Op´ erations dans l’ensemble   2 2.1 - Conjugaison, nombre complexe conjugu´ e  2 2.2 - Op´ erations sous forme alg´ ebrique  2 2.2.1 - Addition et multiplication  2 2.2.2 - Inverse et quotient de deux nombres complexes  2 2.3 - Op´ erations sous forme trigonom´ etrique  2 2.3.1 - Produit, produits it´ er´ es  3 2.3.2 - Inverse et quotient  3 2.3.3 - Avec la notation exponentielle  3 2.4 - Interpr´ etations g´ eom´ etriques  3 2.4.1 - Addition, soustraction de deux complexes  3 2.4.2 - Multiplication d’un complexe par un r´ eel  3 3. Quelques propri´ et´ es de la conjugaison et des nombres conjugu´ es  4 4. Quelques propri´ et´ es sur les modules  4 5. Quelques propri´ et´ es sur les arguments  4 6. ´ Equations du second degr´ e ` a coefficients r´ eels  4 7. Formules de Moivre et d’Euler  5 8. Calcul de racines carr´ ees dans   5 9. ´ Equations du second degr´ e ` a coefficients dans   5 10. Fonctions de  dans  , lignes de niveau  6 10.1 - La fonction z  ℜe(z)  6 10.2 - La fonction z  ℑm(z)  7 10.3 - Les fonctions z  z et z  z z0  7 10.4 - Les fonctions z  Arg(z) et z  Arg(z z0)  8 11. Fonctions de  dans  , transformations  9 11.1 - Translations (z  z + b)  9 11.2 - Rotations (z  eiθz)  9 11.3 - Homoth´ eties (z  kz  k  )  9 11.4 - Similitudes (z  az  a   )  10 11.5 - Inversion (z  1 z )  10 11.6 - Inversion complexe (z  1 z )  11 Nombres complexes : exercices Nombres complexes 1. Les diff´ erentes ´ ecritures 1.1 - Forme alg´ ebrique d’un nombre complexe On d´ esigne par i le nombre tel que i2 = 1 , et on appelle nombre complexe tout nombre z ayant une ´ ecriture du type z = a + ib o` u a et b sont des nombres r´ eels. Cette ´ ecriture est appel´ ee forme alg´ ebrique, ou encore forme cart´ esienne, du nombre complexe z, et les nombres a et b sont respectivement appel´ es partie r´ eelle et partie imaginaire du nombre complexe z. On note : a = ℜe(z) et b = ℑm(z) On d´ esigne par  l’ensemble des nombres complexes. Il contient l’ensemble  des nombres r´ eels (on note  ). Deux nombres complexes z = a + ib et z  = a  + ib  sont ´ egaux si et seulement si a = a  et b = b  1.2 - Repr´ esentation g´ eom´ etrique d’un nombre complexe O M a b Dans le plan muni d’un rep` ere orthonormal (O u v), on associe ` a tout nombre complexe z = a + ib le point M de coordonn´ ees (a  b). Ce point M(a  b) est appel´ e image du nombre complexe z, et z est appel´ e affixe du point M. De mˆ eme, Le vecteur OM est nomm´ e vecteur image du nombre complexe z, et z est appel´ e affixe du vecteur OM. L’axe des abscisses (O u) est dit axe r´ eel; l’axe des ordonn´ ees (O v) est dit axe des imaginaires. Remarques :  Le point O est l’image du nombre 0.  Un nombre z r´ eel a pour image un point de l’axe (O u)  Un nombre z imaginaire pur (c’est ` a dire de la forme z = ib avec b r´ eel) a pour image un point de l’axe (O v)  Les nombres z et z ont pour images deux points M et M  sym´ etriques par rapport ` a O. 1.3 - Forme trigonom´ etrique, forme exponentielle M a b O r θ Soit le nombre complexe z = a + ib et son point image M dans le plan rapport´ e ` a un rep` ere orthonormal (O u v). Le point M, s’il est diff´ erent de l’origine O, est enti` erement d´ etermin´ e par les donn´ ees de la distance r et de l’angle θ, o` u r = OM et θ =  ( u  OM) Ce qui nous donne une autre ´ ecriture pour le nombre complexe z. On notera z = [r  θ] ou z = reiθ qui sont respectivement appel´ ees forme trigonom´ etrique et forme exponentielle du nombre complexe z. On appelle module de z, et on note z , le nombre z = r. On appelle argument de z, et on note Arg(z), toute mesure de l’angle θ. L’argument d’un nombre complexe n’est donc d´ efini qu’` a 2kπ pr` es. On en donne g´ en´ eralement la d´ etermination principale qui est la mesure appartenant ` a l’intervalle ] π  π]. En cons´ equence, les nombres z = [r  θ] et z  = [r   θ  ] sont ´ egaux si et seulement si r = r  et θ = θ  + 2kπ  o` u k  1 Nombres complexes Lyc´ ee Louis Armand, Poitiers Pour passer d’une ´ ecriture ` a une autre, on utilise les r´ esultats suivants : si z = a + ib , on a z = r = a2 + b2 et en consid´ erant les projections orthogonales du point M sur les axes de coordonn´ ees, on obtient les relations a = r cos θ  et b = r sin θ On peut alors d´ eterminer θ en utilisant le fait que cos θ = a r et sin θ = b r R´ eciproquement, si on a la forme exponentielle z = reiθ, on d´ etermine la forme alg´ ebrique avec la relation : z = reiθ = r(cos θ + i sin θ) = a + ib Remarque : On a donc en particulier eiθ = cos θ + i sin θ . 2. Op´ erations dans l’ensemble  2.1 - Conjugaison, nombre complexe conjugu´ e O M M’ a b −b θ −θ Soit z = a+ib un nombre complexe. On appelle conjugu´ e de z, et on note z le nombre z = a ib Si deux nombres complexes z et z  sont conjugu´ es, alors leurs points images respectifs M et M  sont sym´ etriques par rapport ` a l’axe des abscisses. Si la forme trigonom´ etrique de z est z = [r  θ] = reiθ, on v´ erifie imm´ ediatement que l’on a z = [r  θ] = re  iθ 2.2 - Op´ erations sous forme alg´ ebrique 2.2.1 - Addition et multiplication Les calculs s’effectuent comme dans l’ensemble  des nombres r´ eels. Il suffit de remplacer i2 par 1. Il en r´ esulte en particulier que les identit´ es remarquables restent valables pour les nombres complexes. On a ainsi, si A et B sont deux complexes quelconques : (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A B)2 = A2 2AB + B2 (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A B)3 = A3 3A2B + 3AB2 B3 A2 B2 = (A B)(A + B) Et on a en plus l’´ egalit´ e A2 + B2 = (A iB)(A + iB) 2.2.2 - Inverse et quotient de deux nombres complexes Soit z = a + ib avec z = 0, alors 1 z = ¯ z z¯ z = a ib a2 + b2 Le quotient de deux nombres est d´ efini par z z  = z  1 z  . 2.3 - Op´ erations sous forme trigonom´ etrique On ne peut utiliser la forme trigonom´ etrique pour additioner ou soustraire deux nombres complexes. Par contre, il est tr` es ais´ e de multiplier, de diviser, ou d’´ elever ` a une puissance enti` ere en utilisant cette ´ ecriture. 2 Nombres complexes Lyc´ ee Louis Armand, Poitiers 2.3.1 - Produit, produits it´ er´ es Soit n un nombre entier positif ou n´ egatif. On pose z = [r  θ] et z  = [r   θ  ]. On v´ erifie alors facilement (avec le formulaire de trigonom´ etrie) uploads/s3/ complex.pdf

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