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Chapter 1 Les nombres réels et complexes 1.1 Nombres rationnels Soit I N l’ense

Chapter 1 Les nombres réels et complexes 1.1 Nombres rationnels Soit I N l’ensembles des entiers naturels I N = {0, 1, 2, 3, .....} Il est clair que I N est un ensemble inﬁni car chaque entier naturel n admet un successeur n + 1. On désigne par I N ∗l’ensemble I N\{0}, c’est-à-dire l’ensembles des entiers naturels non nuls. I N est stable par l’addition et la multiplication puisque (x + y) ∈I N et (x × y) ∈I N pour deux entiers naturels quelconques x et y. Par contre le résultat d’une soustraction x −y ou d’une division x y où y ̸= 0, n’est pas toujours un entier naturel. On déﬁnit ainsi de nouveaux nombres I Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}, l’ensembles des entiers relatifs "On notera I Z∗= I Z\{0}" et I Q = {a b a ∈I Z et b ∈I Z∗}, l’ensemble des nombres rationnels dans lequel on identiﬁe la fraction a b avec a.n b.n pour tout a ∈I Z et b, n ∈I Z∗. N.B : A l’aide de cette identiﬁcation on pourra toujours considérer que a et b sont premiers entre eux, c’est à dire le ”PGCD” plus grand diviseur en commun est égal à 1 et on note dans ce cas a ∧b = 1. Par la suite, on vériﬁe facilement que I N ⊂I Z ⊂I Q et ainsi les opérations élémentaires +, −, × et /, s’étendent à l’ensemble I Q des nombres rationnels. Les Grecs classiques ont utilisés longtemps ces nombres rationnels pour mésurer toutes les quantités mais avec le temps ils se sont aperçu que ce n’est pas toujours le cas. En effet, via le théorème de Pythagore on peut construire des nombres non rationnels, considèrons par exemple un triangle ABC rectangle en A. On désigne par a, b et c les longueurs respectivement des segments AB, BC et CA. Le théorème de Pythagore nous donne la relation suivante b2 = a2 + c2. Ainsi pour a = c = 1, la longueur de la diagonale d’un carré de coté 1 mètre est égale à b = √ 2 mètres. Proposition 1 : Le nombre √ 2 n’est pas un nombre rationnel. Démonstration : On utilise un raisonnement par absurd. Supposons que √ 2 est rationnel, soit alors p et q deux entiers premiers entre eux tels que √ 2 = p q et q ̸= 0. Donc 2 = p2 q2 ce qui implique que p2 est pair et on vériﬁe facilement qu’il en est de même pour p. On pose p = 2k où k est un entier, alors q2 = 2k2 et de la même manière on montre que q est pair. 1 Contradiction avec le fait p et q deux entiers premiers entre eux, d’où √ 2 est un nombre irrationnel. C.Q.F.D On montrera ultérieurement qu’il y’en a une inﬁnité de nombres irrationnels. Les plus populaires sont : 1. Le nombre π = 3, 1415... déﬁni comme la circonférence d’un cercle de diamètre 1. 2. Le nombre d’Euler e = 2, 718..., la base de l’exponentielle, déﬁni comme somme inﬁnie e = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + ... + 1 k! + ... où n! = 1 × 2 × 3 × ... × n. 3. Les racines nimes n√m pour m un entier qui ne s’écris pas sous forme m = kn aves k ∈I N. Proposition 2 : Le nombre d’Euler e n’est pas un nombre rationnel. Démonstration : De même que √ 2, supposons que e est rationnel. Il existe alors p et q deux entiers premiers entre eux tels que e = p q = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + ... + 1 q! + ... et q ̸= 0. Multiplions par q!, on obtient donc l’égalité suivante p q ×q!−{q!+q!+ q! 2! + q! 3! +...+ q! q!} = 1 q + 1 + 1 (q + 1)(q + 2) + 1 (q + 1)(q + 2)(q + 3) +...+ 1 (q + 1)(q + 2)...(q + n) +... On vériﬁe facilement que le premier membre situé à gauche de légalité qu’on notera par s, est un entier comme différence de deux entiers. De plus, la minoration suivante (q + 1)(q + 2)...(q + n) > (q + 1)n pour tout n ∈I N, implique 0 < s < 1 q + 1 + 1 (q + 1)2 + 1 (q + 1)3 + ... + 1 (q + 1)n + ... Le dérnier terme de cette inégalité stricte est la somme inﬁnie d’une suite géométrique de terme général un = 1 (q + 1)n et de raison 1 (q + 1), il vaut alors 1 (q + 1) × 1 1 − 1 (q+1) = 1 (q car 1 (q + 1)n tend vers 0 puisque 0 < 1 (q + 1) < 1. Ainsi on obtient l’encadrement 0 < s < 1 q ≤1, d’où la contradiction avec s entier. C.Q.F.D L’irrationalité des racines nimes n√m pour m un entier qui ne s’écris pas sous forme m = kn aves k ∈I N se montre de la même façon de √ 2 (exercice). La preuve de l’irrationalité de π dépasse largement le cadre de ce cours. 1.2 Nombres réels Nous avons déja montré que √ 2 n’est pas rationnel, c’est à dire n’est pas quotient de deux entiers mais peut se présenter sous forme d’un développement décimal inﬁni √ 2 = 1, 41421356... Nous considérons alors cette représentation décimale une déﬁnition d’un nombre réel. Déﬁnition 1 : Un nombre réel est une collection de chiffres {c0, ..., cm} et {d1, d2, ...} compris entre 0 et 9. Les chiffres ci sont en nombre ﬁni et les dj peuvent être en nombre inﬁni. La représentation d’un nombre réel x est donnée par le développement décimal x = cmcm−1...c1c0, d1d2d3...dn..... Exemples : 1. Les décimales du nombre π sont c0 = 3, d1 = 1, d2 = 4, d3 = 1, ... . 2. Si le nombre de décimales dj non nulles est ﬁni, il s’agit bien d’un rationnel et s’écrit sous forme x = cm10m + cm−110m−1 + ... + c110 + c0 + d110−1 + ... + dn10n. 3. Tout nombre rationnel admet un développement décimal. Théorème 1 : Une condition nécéssaire et sufﬁsante pour qu’un nombre réel x est rationnel, est que son dévellopement décimal est périodique à partir d’un certain rang. Remarques 1. Un nombre réel peut avoir plusieurs développements décimaux distincts. Par exemple 1 = 0, 99999... . 2. La base de numérotation considérée est 10. On peut prendre une autre ce qui donnerait une déﬁnition équivalente d’un nombre réel. 3. Difﬁculté d’effectuer les opérations algébriques addition, multiplication ...etc, à cause du problème des retenues. 4. Autres constructions plus intrinsèques de l’ensemble des réels existent mais dépassent le cadre de ce cours. 5. La déﬁnition d’un irrationnel par son développement décimal est presque impossible. Il faudrait un temps et un espace inﬁni pour calculer toutes les décimales! Donner une valeur approchée d’un irrationnel, aussi bonne qu’elle soit, n’est pas une déﬁnition au sens mathématique. On note par I R l’ensemble des réels. On a I N ⊂I Z ⊂I Q ⊂I R I R∗est l’ensemble des réels non nuls. Muni de la relation d’ordre ≤, I R est totalement ordonnée. Déﬁnition 2 : Soit A une partie non vide de I R. 1. Un réel M est un majorant de A si pour tout a ∈A on a a ≤M. A est dite majorée si elle admet un majorant. 2. Un réel m est un minorant de A si pour tout a ∈A on a a ≥M. A est dite mainrée si elle admet un mainorant. 3. A est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Déﬁnition 3 : Soient a et b deux réels tels que a ≤b. 1. [a, b] l’ensemble des réels x tels que a ≤x ≤b, est un interval fermé. 2. ]a, b[ l’ensemble des réels x tels que a < x < b, est un interval ouvert. [a, b[ ou ]a, b] représente un intervalle mixte ou semi-ouvert. [a, +∞[ l’ensemble des réels x tels que a ≤x et ] −∞, a] l’ensemble des réels x tels que x ≤a. Exemples : 1. 1 et π sont des majorants de [0, 1]. 2. [0, +∞[ n’a pas de majorants. Déﬁnition 4 : Soit x un réel. E[x] dite la partie entière de x, est le plus grand entier inférieur ou égale à x. On vériﬁe facilement que E[x] ≤x < E[x] + 1 et x −1 < E[x] ≤x pour tout réel. Théorème 2 : Soient x ∈I R et y ∈I R∗, il existe alors un entier n tel que ny > x. Preuve : à titre d’exercice. Déﬁnition 5 : Soit A une partie non vide de I R. La borne uploads/s3/ chapitre-1 17 .pdf