I. 1 II. Théorie de Lax-Milgram 2.1 Théorème de Lax-Milgram (Cadre abstrait) Il

I. 1 II. Théorie de Lax-Milgram 2.1 Théorème de Lax-Milgram (Cadre abstrait) Il s’agit d’un résultat abstrait relatif aux espaces de Hilbert. Nous le présentons dans cette partie car, dans ce cours, nous l’utiliserons seulement quand l’espace de Hilbert est un espace de Sobolev (H1( ) ou l’un de ses sous-espaces). Soit E un espace de Hilbert, notons h:; :iE le produit scalaire sur E, et k:kE la norme associée. Dé…nition 2.1.1 : Une forme linéaire L : E ! R sur l’espace de Hilbert E muni de la norme k:kE est dite bornée sur E s’il existe une constante c > 0 telle que : jL(w)j  c kwkE , 8w 2 E. Remarque 2.1.1 : Si L(:) est bornée sur E alors L(:) est continue sur E. Dé…nition 2.1.2 : L’ensemble de toutes les formes linéaires continues sur un espace de Hilbert E est appelé espace dual de E et est noté E0. Dé…nition 2.1.3 : a : E  E ! R une forme bilinéaire tel que E est un espace de Hilbert, a(:; :) est dite bornée sur E  E s’il existe une constante M > 0 telle que : ja(w; u)j  M kwkE : kukE , 8w; u 2 E. Remarque 2.1.2 : Si a(:; :) est bornée sur E  E alors a(:; :) est continue sur E  E. Dé…nition 2.1.4 : Une forme bilinéaire a(:; :) est dite symétrique si : a(w; u) = a(u; w), 8w; u 2 E. Dé…nition 2.1.5 : Une forme bilinéaire a(:; :) est dite coercive s’il existe une constante > 0, telle que : a(w; w)  kwk2 E , 8w 2 E. 2 Théorème 2.1.1 (Représentation de Riesz) Soit E un espace de Hilbert réel, et soit E0 son dual. Pour toute forme linéaire continue L(:) 2 E0 il existe un unique élément v 2 E tel que : L(w) = hv; wiE , 8w 2 E. De plus, on a kLkE0 = kvkE. Théorème 2.1.2 (Lax-Milgram) Soit E un espace de Hilbert réel, L(:) une forme linéaire continue sur E, a(:; :) une forme bilinéaire, continue, et coercive sur E  E. Alors la formulation variationnelle : (FV ) 8 < : Trouver u 2 E tel que a(u; w) = L(w), 8w 2 E. admet une unique solution. De plus cette solution dépend continûment de la forme linéaire L(:). Démonstration 1  D’aprés le théorème de Riesz, il existe un unique élément v 2 E tel que : L(w) = hv; wiE , 8w 2 E, et, kLkE0 = kvkE :  Considérons maintenant l’application : w ! a(u; w), qui est une forme linéaire continue sur E, par conséquent il existe un élément unique de E noté Au 2 E, tel que : a(u; w) = hAu; wiE , 8w 2 E. (Riesz) 3  u ! Au est linéaire, en e¤et on a : 8 ; 2 R, 8u; v 2 E : A( u + v) véri…e : hA( u + v); wiE = a( u + v; w), 8w 2 E = a(u; w) + a(v; w) = hAu; wiE + hAv; wiE = h Au + Av; wiE d’où A( u + v) = Au + Av.  a(:; :) est continue ce qui implique : 9M > 0 tel que : hAu; AuiE = kAuk2 E = a(u; Au)  M kukE kAukE = ) kAukE  M kukE = ) A est continue.  Le problème (FV ) est équivalent au problème : (P) 8 < : Trouver u 2 E tel que Au = v  Montrons que l’opérateur A est bijectif de E dans E. – A est injectif, en e¤et on a : kwk2 E  a(w; w) = hAw; wiE  kAwkE kwkE = ) kwkE  kAwkE (A est linéaire et continu). De plus on a : Aw = 0 = ) kAwkE = 0 = ) kwkE = 0 = ) w = 0, d’où A est injectif. – A est surjectif : soit w 2 (Im A)?, on a Aw 2 Im A, d’où : hAw; wiE = 0, d’un autre côté on a : kwk2 E  hAw; wiE = 0 = ) w = 0, 4 par conséquent (Im A)? = f0g, il s’ensuit que E = Im A  f0g = Im A. – Montrons que Im A = Im A. Soit (Awn)n une suite qui converge vers b dans E, on a : kwn wpkE  kAwn AwpkE ! 0, si n; p ! +1 par conséquent lim n;p!+1 kwn wpkE  0, d’où (wn)n est une suite de Cauchy dans E ( espace de Hilbert) alors : lim n!+1wn = w 2 E, par continuité de A on obtient : lim n!+1Awn = Aw, comme w 2 E alors Aw 2 Im A, ce qui entraîne que Im A est fermé (Im A = Im A), il s’ensuit que E = Im A, d’où A est surjectif. Dans ce cas on a : u = A1v, solution unique du problème (P).  A1 est continu, en e¤et on a : kukE = A1v E  kAukE = kvkE = ) A1v E  1 kvkE De plus on a : kukE  c kLkE0 , où c = 1 , c’est à dire une perturbation de L(:) produira une perturbation du même ordre sur u. 2.2 Formulation variationnelle du problème de Dirichlet bidimentionnel Exemple 1 Considérons le problème de Dirichlet homogène suivant : (P1) 8 < : u(x; y) = f(x; y), sur u(x; y) = 0, sur @ où est un ouvert borné de R2, et f 2 L2( ). 5 En multipliant l’équation par une fonction test w(x; y) telle que w(x; y) = 0 sur @ , et en intégrant sur , on obtient : R u(x; y)w(x; y)dxdy = R f(x; y)w(x; y)dxdy Utilisant la formule 2 de Green on obtient : R ru(x; y)rw(x; y)dxdy R @ @u @n(x; y)w(x; y)ds = R f(x; y)w(x; y)dxdy comme w(x; y) = 0 sur @ on en déduit que : R ru(x; y)rw(x; y)dxdy = R f(x; y)w(x; y)dxdy A…n que cette expression ait un sens, il su¢t de choisir u et w dans H1 0( ). Le problème variationnel associé au problème (P1) consiste donc à : (FV 1) 8 < : Trouver u 2 H1 0( ) tel que a(u; w) = L(w), 8w 2 H1 0( ). où a(u; w) = R ru(x; y)rw(x; y)dxdy et L(w) = R f(x; y)w(x; y)dxdy Exemple 2 Considérons le problème de Dirichlet homogène suivant : (P2) 8 < : u(x) + g(x)u(x) = f(x), sur u(x) = 0, sur @ où est un ouvert borné de Rn, et f 2 L2( ), g 2 L1( ). 6 En multipliant l’équation par une fonction test w(x) telle que w(x) = 0 sur @ , et en intégrant sur , on obtient : R u(x)w(x)dx + R g(x)u(x)w(x)dx = R f(x)w(x)dx Utilisant la formule 2 de Green on obtient : R ru(x)rw(x)dx R @ @u @n(x)w(x)ds + R g(x)u(x)w(x)dx = R f(x)w(x)dx comme w(x) = 0 sur @ on en déduit que : R ru(x)rw(x)dx + R g(x)u(x)w(x)dx = R f(x)w(x)dx A…n que cette expression ait un sens, il su¢t de choisir u et w dans H1 0( ). Le problème variationnel associé au problème (P2) consiste donc à : (FV 2) 8 < : Trouver u 2 H1 0( ) tel que a(u; w) = L(w), 8w 2 H1 0( ). où a(u; w) = R ru(x)rw(x)dx + R g(x)u(x)w(x)dx et L(w) = R f(x)w(x)dx 2.3 Etude mathématique du problème variationnel Considérons le problème aux limites suivant : (P1) 8 < : u(x1; x2) = f(x1; x2), sur u(x1; x2) = 0, sur @ où est un ouvert borné de R2, et f 2 L2( ). 7 La formulation variationnelle proposée pour (P1) est : (FV 1) 8 > < > : Trouver u 2 H1 0( ) tel que R ru(x1; x2)rw(x1; x2)dx1dx2 = R f(x1; x2)w(x1; x2)dx1dx2, 8w 2 H1 0( ). Véri…ons que la formulation variationnelle (FV 1) admet une solution unique. Pour cela nous utilisons le théorème de Lax-Milgram dont nous véri…ons les hypothèses avec les notations : a(u; w) = R ru(x1; x2)rw(x1; x2)dx1dx2, et, L(w) = R f(x1; x2)w(x1; x2)dx1dx2.  Il est clair que a(:; :) est une forme bilinéaire, et L(:) est une forme linéaire (par linéarité de l’intégrale).  L(:) est continue, en e¤et 8w 2 H1 0( ) on a : jL(w)j = R f(x1; x2)w(x1; x2)dx1dx2 C:S  kfkL2( ) kwkL2( ) PC  C kfkL2( ) kwkH1 0( ) comme L(:) est bornée, alors L(:) est continue.  a(:; :) est continue, en e¤et 8u; w 2 H1 0( ) on a : ja(u; w)j = R ru(x1; x2)rw(x1; x2)dx1dx2 C:S  krukL2( ) krwkL2( ) = kukH1 0( ) kwkH1 0( ) par conséquent uploads/s3/ chapitre-2-3.pdf

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