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Chapitre II NOTIONS DE BASE I Introduction La résistance mécanique des matériau

Chapitre II NOTIONS DE BASE I Introduction La résistance mécanique des matériaux (R.D.M.), concerne leurs aptitudes à supporter les efforts extérieures auxquelles ils sont soumis (traction, compression, cisaillement, flexion, etc…) 1) Qu’est-ce que la R.D.M. Le but de la R.D.M. est d’assurer qu’on utilise, dans une pièce donnée une quantité minimale de matériau, tout en satisfaisant aux exigences suivantes : Résistance - Rigidité - Stabilité Endurance - Résilience 2) But de la R.D.M. a - Résistance La pièce doit pouvoir supporter et transmettre les charges externes qui lui sont imposées. b - Rigidité Lorsqu’elle est sollicitée, la pièce ne doit pas subir de déformations excessives (E.L.S.). c - Stabilité La pièce doit conserver son intégrité géométrique afin d’éviter les conditions d’instabilités (flambement). d - Endurance Si elle est soumise à un chargement répété, la pièce doit tolérer sans rupture un certain nombre de cycles de sollicitations variables (fatigue des matériaux). e - Résilience Dans le cas ou un chargement dynamique est à prévoir (impact), la pièce doit pouvoir absorber une certaine quantité d’énergie sans s’en trouver trop endommagé (résistance au choc). II Hypothèses de base Ces hypothèses permettent de réduire la complexité des développements mathématiques tout en conservant une certaine généralité. Ces hypothèses de base concernent la continuité, l’homogénéité, l’isotropie, les déformations et les forces internes du matériau étudié. Le matériau est continue, c’est-à-dire ne comportant ni fissures ni cavités. 1) Continuité 2) Homogénéité En tout point, le matériau possède les mêmes propriétés chimiques. La plupart des matériaux d’ingénierie satisfont à ce critère (à l’échelle macroscopique). Les propriétés physiques sont les mêmes en tout point et dans toutes les directions. La plupart des matériaux sont isotropes à l’échelle macroscopique. 3) Isotropie Aucune force interne n’agit dans le matériau avant l’application des charges externes (état initial). 5) Forces internes 4) Déformations Les déformations ont une influence négligeable sur la position des points d’application ou sur la direction des forces extérieures. Les forces internes, dites résiduelles sont souvent présentes dans les matériaux. Elle résultent en général du processus de fabrication (pliage, soudage, etc…). On tient compte de ces forces résiduelles en diminuant la force trouvée ou en augmentant le section (On prend une certaine sécurité). 6) Remarque III Méthode de résolution l’étude des forces et des conditions d’équilibre; l’étude des déplacements et de la compatibilité géométrique; l’application des relations forces- déformations (E.L.S.). On résout un problème de R.D.M. selon une démarche systématique qui comporte trois étapes fondamentales : Possibilité d’obtenir jusqu’à six équations 1) Forces et les conditions d’équilibre  quelconque point un est O 0 M 0 F Τ ext/O F ext O                 Une structure conserve sa continuité et son intégrité après avoir été déformée sous l’action des charges externes ou celle de variations de température. Il est donc nécessaire d’étudier les déformations que subit chacun des composants de la structure et d’examiner les déplacements qui en résultent. 2) Déplacements et compatibilité géométrique Notions de compatibilité géométrique Exemple Avec l’application de ces relations (relations constitutives), nous faisons intervenir les propriétés du matériau et nous relions les forces étudiées à la première étape de résolution aux déformations analysées à la seconde étape. 3) Relations forces-déformations IV Contrainte Les forces internes prise en compte sont celles due aux sollicitations externes et capables de déformer le matériau. 1) Forces internes La R.D.M. consiste à dimensionner le matériau pour qu’il supporte l’action des forces internes sans se détériorer. 2) Etat des forces internes On étudie dans un système d’axes (xyz), le point interne I d’un corps soumis à des forces externes . n 2 1 F ....... F , F    I Le plan m est normal à l’axe des x et passe par I. La section est soumise à des forces internes variant en intensités et en direction d’un point à un autre. Au point I, une force d’intensité moyenne …. agit sur l ’élément de surface . x ΔA F   ΔyΔz ΔAx  z y F F            x F F L’intensité moyenne de chacune de ces composantes, par unité de surface est : x x x x A ; A ; A F       z y F F  (∆Fx/∆Ax) : la force interne agit dans la direction normale à la face considérée. (∆Fy/∆Ax et ∆Fz/∆Ax) : la force interne agit parallèlement à la face considérée. Si ∆Ax tend vers 0, ces trois rapports tendent vers des limites qu’on définit comme étant les composantes des contraintes qui agissent sur la surface normale à l’axe des x au point I. 3) Etat de contrainte Les sollicitations sont quantifiées par la notion de contrainte σ, qui est l'effort surfacique exercé sur une partie de la pièce en un point par le reste de la pièce. σ est homogène à une pression et est exprimé en mégapascal (MPa) ou en Newton par millimètre carré (N/mm²). a - Définition Les contraintes normales notée σ, sont définie par les relations : b – Contrainte normale x x 0 A F lim       x A x xx   y y 0 A F lim       y A y yy   z z 0 A F lim       z A z zz   La contrainte de cisaillement ou tangentielle notée , est définie par la relation : c – Contrainte de cisaillement x y 0 A F lim      x A xy  et x z 0 A F lim      x A xz  y x 0 A F lim      x A yx  z x 0 A F lim      z A zx  z y 0 A F lim      z A zy  y z 0 A F lim      y A yz  et et Une face est positive lorsque sa normale externe est dirigée dans le sens positif d’un axe. Une contrainte est positive lorsqu’elle agit dans le sens positif d’un axe, sur une face positive ou dans le sens négatif d’un axe sur une face négative. d – Convention de signe Les mêmes composantes de contrainte agissent au point I sur la partie droite du corps sectionné (principe de la coupe: solide en équilibre en deux parties). e – Etat de contrainte en un point Etat de contrainte au point I montrant toutes les composantes de contraintes sur les faces négatives et leurs contreparties (primées) sur les faces positives. Lorsque les dimensions ∆x, ∆y et ∆z de l’élément tendent vers zéro, la valeur des composantes primées tend vers celle de leurs contrepartie non primées. Les relations qui régissent les contraintes de cisaillement sont les suivantes : f – Réciprocité zx xz zy yz yx xy          ; ;  V Déformation 1) Présentation Sous l’action des forces externes et des variations de température, le corps se déforme : le point I se déplace en I’, le point A en A’, le point B en B’ et le point C en C’. Trois éléments parallèles aux axes de référence avant déformation ; leur position relative et leur longueur après déformation. Les angles entre les segments de référence ne sont plus les mêmes. 2) Déformation normale La déformation normale notée e est le quotient de la variation de longueur par la longueur initiale, lorsque celle-ci tend vers zéro. IA IA A' I' ε ε lim 0 Δx x xx     Les trois déformations normales : IB IB B' I' ε ε lim 0 Δy y yy     IC IC C' I' ε ε lim 0 Δz z zz     3) Déformation de cisaillement La déformation de cisaillement notée g est la tangente de la variation d’un angle originellement droit lorsque les côtés, qui sous-tende l’angle tendent vers zéro. ) B' I' A' 2 π ( tan γ γ lim 0 Δy 0 Δx yx xy       Les trois déformations de cisaillement : ) C' I' B' 2 π ( tan γ γ lim 0 Δz 0 Δy zy       yz ) C' I' A' 2 π ( tan γ γ lim 0 Δz 0 Δx zx       xz 3) Convention de signe Une déformation normale e est positive lorsqu’il y a allongement. Une déformation de cisaillement g est positive, lorsque l’angle droit, sous-tendu par les côtés dirigés selon le sens positif d’axes de référence, diminue. VI Relations constitutives Les relations constitutives décrivent le comportement des matériaux et font intervenir les propriétés du matériau utilisé. On distingue les comportements élastique, plastique et visqueux. 1) Notions uploads/s3/ chapitre-ii-notions-de-base.pdf