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http://al9ahira.com/ Itinéraire d'accès à Al9ahira (point B sur la carte) en partant de la Place Ibéria École Nationale de Commerce et de Gestion CONCOURS NATIONAL D’ACCES AUX Épreuve  Chaque candidat n’a droit qu’à un seul «  Le candidat doit écrire son nom de famille, partie réservée à ceci en haut de la 1 rédiger, pour valider sa feuille de composition.  L’usage de toutes machines (calculatrice, traductrice, etc.) ou dictionna interdit.  Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. PR Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la École Nationale de Commerce et de Gestion – SETTAT CONCOURS NATIONAL D’ACCES AUX ÉCOLES DE MANAGEMENT CNAEM 2015 Filière : ECT preuve de Mathématiques Durée 4 heures Notes à lire par le candidat Chaque candidat n’a droit qu’à un seul « CAHIER D’EPREUVE ». Le candidat doit écrire son nom de famille, prénom(s), centre et numéro d’examen dans la partie réservée à ceci en haut de la 1ère page du CAHIER D’EPREUVE, avant de commencer à rédiger, pour valider sa feuille de composition. L’usage de toutes machines (calculatrice, traductrice, etc.) ou dictionna Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. PRÉSIDENCE DU CNAEM 2015 Royaume du Maroc Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Formation des Cadres http://al9ahira.com COLES DE MANAGEMENT prénom(s), centre et numéro d’examen dans la page du CAHIER D’EPREUVE, avant de commencer à L’usage de toutes machines (calculatrice, traductrice, etc.) ou dictionnaire est strictement Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des Page de garde Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Épreuve de Mathématiques  Session 2015  Filière ECT Concours National (CNAEM) Durée : 4 heures ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction et à la présentation des copies seront des éléments pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Remarques générales : L'épreuve se compose de quatre exercices indépendants. ⋆⋆⋆⋆⋆ Al9ahira EXERCICE 1 On donne les matrices : A =   7 2 −3 2 −3 3 2 1 2 −3 3 2 −3 2 −1  , P =   1 1 1 1 1 −1 1 0 1  , D =   −1 0 0 0 2 0 0 0 2  et I =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   Partie I 1. a) Montrer que P est une matrice inversible et calculer sa matrice inverse. b) Véri er que P −1   −3 2 0 −2  =   −5 4 1 2 −3 4  . 2. a) Véri er que A = PDP −1. b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, An = PDnP −1. c) Pour tout entier naturel n, calculer Dn en fonction de n. d) Pour tout entier naturel n, en déduire l'expression de An en fonction de n. Partie II Les suites (xn), (yn) et (zn) sont dé nies par les conditions initiales x0 = −4, y0 = −2 et z0 = −1 et pour tout entier naturel n.      xn+1 = 7 2xn −3 2yn −3zn + 1 yn+1 = 3 2xn + 1 2yn −3zn + 1 zn+1 = 3 2xn −3 2yn −zn −2 On pose B =   1 1 −2  et pour tout entier naturel n, Xn =   xn yn zn  . 1. Justi er que pour tout entier naturel n, Xn+1 = AXn + B. (1) 2. On se propose de trouver la matrice colonne U ∈M3,1(R) telle que U = AU + B. (2) a) Montrer que, la relation (2) est équivaut à (I −A)U = B. b) Véri er que A2 −A −2I = 0 où 0 est la matrice nulle de M3(R) et que ( −1 2 A)(I −A) = I. c) En déduire que la matrice I-A est inversible et calculer son inverse. d) En déduire que U = −1 2 AB et véri er que u =   −4 −4 −1  . Page 1/5 http: // al9ahira. com/ Épreuve de Mathématiques  Session 2015  Filière ECT Concours National (CNAEM) 3. a) Montrer que pour tout entier naturel n, Xn+1 −U = A(Xn −U). b) En déduire par récurrence que pour tout entier naturel n, Xn −U = An(X0 −U). 4. En utilisant l'expression de An obtenue dans la partie I, question 2.d), calculer (xn), (yn) et (zn), en fonction de n. 5. Posons (an), (bn) et (cn) les suites qui sont dé nies par les conditions initiales a0 = e−4, b0 = −2 et c0 = e−1, telles que (an) et (cn) sont positives et pour tout entier naturel n,      ln(an+1) = 7 2 ln(an) −3 2bn −3 ln(cn) + 1 bn+1 = 3 2 ln(an) + 1 2bn −3 ln(cn) + 1 ln(cn+1) = 3 2 ln(an) −3 2bn −ln(cn) −2 . En utilisant un changement de variable convenable, calculer (an), (bn) et (cn), en fonction de n. Al9ahira EXERCICE 2 Soit f la fonction dé nie pour tout x réel par f(x) = ( 0 si x < 0 1 8(x3 + 2x2)e −x 2 si x ≥0. On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère du plan. Partie I 1. Déterminer la limite de f en +∞. 2. Montrer que pour tout x réel positif, f′(x) = −1 16 x(x2 −4x −8)e −x 2 . 3. En déduire que pour tout x réel positif, f′(x) = −1 16 x(x −x1)(x −x2)e −x 2 , avec x1 et x2 à déterminer. 4. Donner le tableau de variations de f sur R+. Partie II 1. On pose I0 = R +∞ 0 e −x 2 dx et pour tout entier naturel non nul, In = R +∞ 0 xne −x 2 dx. a) Montrer que I0 est une intégrale convergente égale à 2. b) En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout réel positif A, Z A 0 xn+1e −x 2 dx = −2An+1e −A 2 + 2(n + 1) Z A 0 xne −x 2 dx c) Montrer que lim A→+∞An+1e −A 2 = 0, on pourra faire un changement de variable en posant t = A 2(n+1). d) Montrer que pour tout entier naturel n, In est convergente et que In+1 = 2(n + 1)In. e) En déduire par récurrence que pour tout entier naturel n, In = 2n+1n!. 2. Soit la fonction g dé nie sur R par g(x) = 1 16f(x) a) Montrer que g est une densité de probabilité d'une variable aléatoire que l'on notera S. b) Calculer l'espérance E(S) et la variance V (S) de S. Page 2/5 http: // al9ahira. com/ Épreuve de Mathématiques  Session 2015  Filière ECT Concours National (CNAEM) Partie III Posons pour tout entier naturel non nul N, SN = N X k=1 Ik−1 (k + 1)!2k 1. a) Véri er que pour tout entier naturel non nul k, 1 k(k+1) = 1 k − 1 k+1. b) En déduire que pour tout entier naturel non nul N, SN = 1 − 1 N+1. 2. Montrer que X n≥1 In−1 (n + 1)!2n est convergente et calculer sa valeur. Al9ahira EXERCICE 3 On dispose d'un dé cubique classique équilibré et d'une pièce de monnaie équilibrée. On lance le dé et on observe son résultat. Si celui-ci est un nombre pair c'est-à-dire 2 ou 4 ou 6, on lance la pièce de monnaie deux fois. Dans tous les autres cas, on lance la pièce de monnaie une seule fois. On note X la variable aléatoire égale au résultat du dé. On note Y la variable aléatoire égale au nombre de piles apparus au cours de cette expérience. 1. a) Véri er que X suit une loi uniforme. b) Donner l'espérance E(X) et la variance V (X). 2. a) Montrer que pour k ∈{1, 3, 5}, P(X=k)(Y = 0) = 1 2. b) Montrer que pour k ∈{2, 4, 6}, P(X=k)(Y = 0) = 1 4. c) En déduire la valeur uploads/s3/ cnaem-maths-ect-2015e1.pdf

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