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mathématiques - S1 TD 1 : limites, dérivées, fonctions usuelles - corrigé dépar

mathématiques - S1 TD 1 : limites, dérivées, fonctions usuelles - corrigé département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble exercices théoriques 1. Manipulation d’expressions : (a) simpliﬁer ex −1 ex + 1 + e−x −1 e−x + 1 (b) simpliﬁer ex + e2x (ex)2 −1 (c) développer (ex + e−x)4 (d) résoudre ex −2e−x = −2 (e) résoudre ln |x −1| + ln |x + 1| = 0 (f) si f(x) = x √ 1 + 3x2 , déterminer f ◦f corrigé succinct : (a) l’expression vaut 0 : en effet, le second terme de la somme e−x −1 e−x + 1 = ex ex .e−x −1 e−x + 1 = 1 −ex 1 + ex est l’opposé du premier terme... (b) ex + e2x (ex)2 −1 = ex + e2x −(ex)2 (ex)2 = ex (ex)2 = e−x (c) On développe par la formule du binôme (ex)4 + 4(ex)3e−x + 6(ex)2(e−x)2 + 4ex(e−x)3 + (e−x)4 et on obtient e4x + 4e2x + 6 + 4e−2x + e−4x. (d) Quand une équation fait apparaître uniquement des exponentielles de l’inconnue on peut sou- vent se ramener à une équation polynômiale en posant ex = X. Ainsi, l’équation devient ici X−2/X = −2 avec X > 0 (car X = ex > 0). Elle est donc équivalente à X2+2X−2 = 0 dont le discriminant est 12, et les solutions −2 ± √ 12 2 = −1± √ 3. L’unique solution X > 0 est donc X = −1 ± √ 3, qui correspond à x = ln( √ 3 −1). (e) L’équation est déﬁnie pour x ̸= ±1. On peut donc, pour x ̸= ±1 transformer l’équation en les équations équivalentes ln |x2−1| = 0, |x2−1| = 1, x2−1 = ±1, soit ﬁnalement x2 = 0 ou x2 = 2 dont les trois solutions sont x = 0, x = √ 2 et x = − √ 2. (f) On trouve (f ◦f)(x) = x √ 1 + 6x2 2. Déterminer les limites des expressions suivantes : (a) limx→+∞e−x cos(x) (b) limx→0 sin(2x) x + x2 (c) limx→0x sin(1/x) (d) limx→+∞x3 exp(−x) (e) limx→0 1 x exp(1/x) (f) limx→+∞ 1 x exp(1/x) corrigé succinct : On peut majorer |f(x)| par e−x, qui tend vers 0 en +∞, donc f tend vers 0. 3. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : (a) a(x) = −(2x −3)4 (b) b(t) = A cos(ωt + ϕ) (A et ϕ constantes) (c) c(x) = x √ x2 + 1 (d) d(x) = ln(x + √ x2 −1) corrigé succinct : a′(x) = −2 × 4 × (2x −3)4−1 = −8(2x −3)3 (surtout ne pas développer l’expression pour la dériver!!!) b′(t) = −Aω sin(ωt + ϕ) On peut dériver c en exprimant c(x) comme le produit x(x2 + 1)−1/2 : c′(x) = (x2 + 1)−1/2 + x(−1 2(x2 + 1)−3/2 × 2x). Pour simpliﬁer l’expression, on factorise le x2 + 1 qui intervient avec le plus bas degré : ainsi, c′(x) = (x2 + 1)−3/2(x2 + 1 −x2) = (x2 + 1)−3/2. la dérivée de d(x) = ln(x + √ x2 −1) est 1 + 2x/2 √ x2 −1 x + √ x2 −1 = √ x2 −1 + x (x + √ x2 −1) √ x2 −1 = 1 √ x2 −1 4. Calculer les dérivées d’ordre n des fonctions : a(x) = cos x , b(x) = 1 x , (*) c(x) = (1 + x)α, α ∈R. corrigé succinct : La dérivée de x 7→cos(x) est −sin(x) = cos(x + π/2) (utiliser un cercle trigonométrique!). Donc par récurrence immédiate, a(n)(x) = cos(n)(x) = cos(x + nπ/2). De même dn dxn ( 1 x) = (−1)(−2) × . . . × (−n)x−(n+1), donc b(n)(x) = (−1)nn! xn+1 . On procède de même pour c : c′(x) = α(1 + x)α−1, c′′(x) = α(α −1)(1 + x)α−2, et ﬁnalement : c(n)(x) = α(α −1) . . . (α −(n −1))(1 + x)α−n. 5. Si x ∈[−1; 1] on déﬁnit arccos(x) comme l’unique nombre dans [0; π] dont le cosinus vaut x. (a) montrer que pour tout x ∈[−1; 1], cos(arccos(x)) = x (b) montrer que pour tout x ∈[−1; 1], sin(arccos(x)) = √ 1 −x2 (c) en dérivant la première relation ci-dessus, déterminer arccos′(x) (d) déterminer les valeurs de arccos en 0, 1, -1, √ 2/2, − √ 3/2, cos(2π) (e) que peut-on dire de arccos(cos(x))? 6. Existence et valeur des extrema des fonctions : a(x) = x(3 −x), b(x) = 4x2 −3x −1 4x2 + 1 , c(x) = √1 + sin x, d(x) = 1 1 + x2 corrigé succinct : il est possible de traiter ces trois exercices par une étude complète de ces fonctions et tableau de variations, en utilisant les dérivées premières et seconde. Le corrigé qui suit propose des rédactions "minimales", ne donnant que les arguments strictement nécessaires. a : a tend vers −∞en −∞et en +∞, elle n’a donc pas de minimum global, et le maximum est atteint pour une valeur de x qui annule la dérivée 3 −2x. Comme la dérivée ne s’annule qu’en x = 3/2, le maximum est atteint en 3/2 et vaut 9/4. b : les limites de b en +∞et −∞valent 1. La dérivée s’annule pour x = −3/2 et x = 1/6, les valeurs correspondantes 5/4 et −5/4 sont donc respectivement les maximum et minimum : le maximum de b vaut 5/4, atteint en −3/2; le minimum vaut −5/4, atteint en 1/6. c : sans calcul... sin est compris entre -1 et 1, donc √ 1 + sin x est compris entre 0 et √ 2, et ces valeurs sont atteintes : en les −π/2 + 2kπ pour 0 et en les π/2 + 2kπ pour le √ 2. Ainsi, le minimum de c est 0 et le maximum √ 2. d : x2 varie entre 0 et +∞, donc 1 1 + x2 entre 1 et 0, la valeur 0 n’est pas atteinte (il n’y a pas de minimum), la valeur 1 est atteinte : 1 est la valeur maximale atteinte pour x = 0 exercices pratiques 1. Corps noir : l’émittance d’un corps noir de température T à la longueur d’onde λ vaut ǫ(λ, T) = a λ5 exp( b λT ) avec a = 3, 7 × 10−16kg.m4.s−3 et b = 1, 44.10−2K.m. Montrer qu’à T ﬁxé, l’émittance est maximale pour une certaine longueur d’onde que l’on déterminera en fonction de T. corrigé succinct : ǫ tend vers 0 en 0 comme en l’inﬁni, donc admet un maximum. On cherche plutôt le minimum de 1/ǫ, dont la dérivée par rapport à λ est 5λ4 exp( b λT ) −bλ3 exp( b λT )/T , et donc s’annule si λ = b 5T . 2. Optimisation : un fabricant produit des boîtes de conserve cylindriques, de volume 1 litre. Quelles dimensions doit-il choisir pour utiliser le moins de métal possible? corrigé succinct : 1l = 1 dm3, donc si h et r sont la hauteur et le rayon de la boîte, exprimés en décimètres, ils vériﬁent la relation πr2h = 1. La surface de métal nécessaire est donc 2πrh + 2πr2 (le corps de la boîte, le couvercle et le fond), que l’on peut exprimer en fonction de r uniquement, en remplaçant h par son expression en fonction de r : S(r) = 2/r + 2πr2. On voit que si r tend vers 0 ou vers l’inﬁni, S(r) tend vers l’inﬁni. Le minimum de la fonction est donc donné par S′(r) = 0 soit −2/r2 + 4πr = 0, soit encore 2πr3 = 1, et r = (2π)−1/3. Donc h = ( 4 π )1/3. A.N : r = 0.54 dm = 5.4 cm, h = 1.08 dm = 10.8 cm. 3. Nombre de chiffres : le plus grand nombre premier connu à ce jour est 282 589 933 −1. Combien de chiffres sont nécessaires pour l’écrire? corrigé succinct : Le nombre de chiffres n est caractérisé par la double inégalité 10n−1 ≤282 589 933 −1 < 10n, soit encore 10n−1 < 282 589 933 < 10n (l’inégalité de droite est stricte car une puissance de 2 n’est pas divisible par 5, donc a fortiori ne peut être une puissance de 10). Si l’on peut écrire 282 589 933 sous la forme 10x, le nombre de chiffre sera donc égal à la partie entière de x plus un. On détermine alors x en prenant le logarithme népérien de cette égalité, soit x = ln 10 = 82 589 933 ln 2, donc x = 82 589 933 ln(2)/ ln 10 ≃24 862 048, ... Le nombre premier s’écrit donc avec 24 862 048 chiffres. 2 uploads/s3/ s1-td-1-limites-derivees.pdf