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Philosophia Scientiæ CS 5 (2005) Fonder autrement les mathématiques ...........

Philosophia Scientiæ CS 5 (2005) Fonder autrement les mathématiques ................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Dominique Flament H. G. Grassmann et l’introduction d’une nouvelle discipline mathématique : l’Ausdehnungslehre ................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Avertissement Le contenu de ce site relève de la législation française sur la propriété intellectuelle et est la propriété exclusive de l'éditeur. 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Référence électronique Dominique Flament, « H. G. Grassmann et l’introduction d’une nouvelle discipline mathématique : l’Ausdehnungslehre », Philosophia Scientiæ [En ligne], CS 5 | 2005, mis en ligne le 01 août 2008, consulté le 12 octobre 2012. URL : http://philosophiascientiae.revues.org/382 ; DOI : 10.4000/philosophiascientiae.382 Éditeur : Université Nancy 2 http://philosophiascientiae.revues.org http://www.revues.org Document accessible en ligne sur : http://philosophiascientiae.revues.org/382 Ce document est le fac-similé de l'édition papier. T ous droits réservés H. G. Grassmann et l’introduction d’une nouvelle discipline mathématique : l’Ausdehnungslehre Dominique Flament Maison des Sciences de l’Homme (Paris) ; CNRS – Archives Poincaré Résumé : Grassmann n’est pas le premier à créer un nouveau calcul : Möbius, Hamilton, Bellavitis, Cauchy, et bien d’autres l’ont précédé dans cette voie qui témoigne de toute l’importance des mutations subies par l’algèbre et de l’évolution des rapports complexes entretenus entre ce domaine et son « exacte contrepartie » la Géométrie euclidienne : à l’heure où s’élaborent les premières « structures » et les « morphismes », la géométrie euclidienne perd son statut de « critère de vérité » et d’« existence » des entités algébriques, notamment dénoncé par un prétendu « retour à la rigueur ». L’introduction « philosophique », décriée par ses contemporains ne voyant là que « fausse philosophie », ne pouvait être impunément écartée : la « se- conde » Ausdehnungslehre de 1862 (A2) — pourtant proposée telle une nou- velle version rédigée conformément au style « souhaité » par son époque — ne conviendra pas plus à ses trop rares lecteurs. Tout lecteur averti reconnaît que A2 ne peut être parfaitement entendu sans les nécessaires éclaircissements de A1. Trois points nous paraissent aujourd’hui signiﬁcatifs : – L’Ausdehnungslehre est une science formelle qui trouve sa place dans le système mathématique de Grassmann. Ce système « améliore » celui déjà classique (notamment connu du père de Grassmann) qui résulte du croisement entre les deux contrastes ﬂuants « continu/discret » et « distinct/égal ». Philosophia Scientiæ, cahier spécial 5, 2005, 81–141. 82 Dominique Flament – L’Ausdehnungslehre admet la géométrie comme première « application » remarquable. La géométrie [Geometrie] (ou encore la théorie de l’espace [Raumlehre]) est devenue une science réelle (l’espace préexiste), elle ne peut donc légitimement ﬁgurer au sein de la mathématique pure. – Une partie précède la séparation en les quatre branches précédentes de la mathématique pure (ou théorie des formes). La théorie générale des formes présente leurs lois communes, soit cette série de vérités qui, de la même manière se rapportent à toutes les branches des mathématiques et qui ne supposent donc que les concepts généraux d’égalité, de diversité, de liaison et de séparation. Abstract: Grassmann is not the ﬁrst to create a new calculus: Möbius, Hamil- ton, Bellavitis, Cauchy, and many others preceded him in this way which shows all the importance of the changes undergone by the algebra and the evolution of complex connections maintained between this ﬁeld and its “exact counterpart” the Euclidean Geometry: meanwhile the ﬁrst “structures” and “morphisms” are worked out, the Euclidean geometry loses its statute of “criterion of truth” and “existence” of the algebraic entities, particularly denounced by an alleged “return to rigour”. The “philosophical” introduction, denigrated by contemporaries seeing there only “false philosophy”, could not be removed with complete impunity: the “second” Ausdehnungslehre published in 1862 (A2) — however proposed as a new version written in accordance with the style “desired” by its time — will not be more convenient for its too few readers. Any informed reader recognizes that A2 cannot be perfectly known without the necessary explanations of A1. Three observations appear signiﬁcant to us: – Ausdehnungslehre is a formal science which ﬁnds its place in the math- ematical system of Grassmann. This system “improves” the already traditional one (in particular known of the father of Grassmann) re- sulting from the crossing between two changing Contrasts, “continu- ous/discrete” and “distinct/equal”. – Ausdehnungslehre admits geometry as ﬁrst remarkable “application”. Ge- ometry [Geometrie] (or theory of space [Raumlehre ]), became a real science (space preexists), cannot thus legitimately appear within pure mathematics. – A part precedes the separation into the four branches of pure mathe- matics (or theory of forms). The general theory of forms presents their common laws, that is to say that series of truths which, in the same way refer to all branches mathematics and which thus supposes only the general concepts of equality, diversity, connection and separation. H. G. Grassmann et l’introduction d’une nouvelle discipline . . . 83 I. Introduction Hermann Günther Grassmann (1809-1877) est aujourd’hui mieux connu ; son œuvre l’est beaucoup moins1. De nombreux auteurs nous renvoient à ses écrits, mais ceux-ci sont trop souvent utilisés pour as- surer des assertions qui se révèlent hasardeuses, parfois beaucoup trop éloignées des intentions originales de leur prétendu concepteur. L’œuvre de Grassmann est d’une rare richesse, très diversiﬁée et en même temps singulière : l’homme sera connu et célébré pour ses écrits en physique2, pour ses recherches en linguistique3, pour son activité de ré- formateur de la langue allemande, pour sa traduction du Rig Veda4, . . . De nombreux domaines sont impliqués, dont la cristallographie [Grass- mann, H. G. 1839], l’électromagnétisme, la cinématique, la physiologie, la philologie, la botanique, la musique, . . . Ajoutons à cela qu’il sera aussi un temps journaliste5 et qu’il enseignera à la fois l’allemand6, le latin [Grassmann, H. G. 1842b], les mathématiques, l’arithmétique pra- tique, la physique et la religion dans plusieurs écoles avant de devenir en 1852 professeur de mathématiques et de physique au Lycée de Stettin 1Cependant, outre les diverses rééditions des œuvres mathématiques et physiques (1969 et 1972), les multiples traductions commentées anglaises [Kannenberg 1995 & 2000] et française [Flament 1994] participent déjà grandement au changement de cette situation, de même que les ouvrages [Boi, L., Flament, D. & Salanskis, J.-M.], [Schubring 1996a] et [Flament 1997]. 2Plusieurs de ses articles portent sur l’électrodynamique ([Grassmann, H. G. 1845] et [Grassmann, H. G. 1877b]), la théorie des couleurs (Voir [Grassmann, H. G. 1853] ; voir également [Grassmann, H. G. 1877e], l’acoustique, et l’optique élé- mentaire [Grassmann, H. G. 1854] ; en particulier sa Vokaltheorie (voir notamment [Grassmann 1877f]. Ses publications lui ouvriront les portes de la Leopoldina (fondée en 1652). 3[Grassmann, H. G., 1860], [Grassmann, H. G. 1862a], [Grassmann, H. G. 1860], (voir également l’article de K Elfering, [Elfering 1995], [Grassmann, H. G. 1867], [Grassmann, H. G. 1870a] et [Grassmann, H. G. 1877g]. Rappelons enﬁn que l’on parle encore aujourd’hui de « loi(s) de Grassmann ». 4[Grassmann, H. G. 1877a] (de nombreuses fois réédités, la dernière en 1999, on écrit aujourd’hui encore qu’il est : « even after more than 120 years of its publication in Leipzig in 1873, remained one of the most important tools for anyone who wishes to study the oldest Indian text in the original », voir http ://www.vedamsbooks.com/no14539.htm). En 1876, Grassmann sera élu membre de l’American Oriental Society (fondée en 1842). 5Il fonde avec son frère Robert le Deutsche Wochenschrift für Staat, Kirche und Volksleben (le 20 mai 1848). C’est une revue hebdomadaire, remplacée en juillet 1848 par le Norddeutsche Zeitung, dans laquelle Grassmann s’intéressera principalement aux problèmes de droit constitutionnel ; mais dont il se retirera après la restauration. 6Voir [Grassmann, H. G. 1831], [Grassmann, H. G. 1842a] (voir aussi l’article [Hültenschmidt,1996], [Grassmann, H. G. 1846b], [Grassmann, H. G. 1852b] et [Grass- mann, H. G. 1870b]. 84 Dominique Flament (Szczecin), en succédant à son père Justus Grassmann (1779-1852) ; il le restera jusqu’à la ﬁn de sa vie. Il cherchera longtemps un poste universitaire qui l’aurait libéré de cette charge trop prenante et lui aurait permis de poursuivre plus acti- vement ses recherches mathématiques ; mais en vain. Il écrivait à la ﬁn de la préface de sa première Ausdehnungslehre : Je dois demander d’autant plus d’indulgence pour tout ce qui est mon travail dans cette science. Car je suis conscient, malgré tout l’eﬀort porté sur sa présentation, de toute l’imperfection de cet ouvrage. [. . . ] Mais convaincu qu’il n’y aura pas de totale satisfaction et que la présentation sera toujours déﬁcitaire vis-à-vis de la simplicité, de la vérité, j’ai décidé de publier la uploads/s3/ sur-grassmann-flament-1-pdf.pdf