MSX02 Vibrations Vibrations des syst` emes ` a 1 degr´ e de libert´ e 1 Quelque

MSX02 Vibrations Vibrations des syst` emes ` a 1 degr´ e de libert´ e 1 Quelques exemples de mod´ elisation Le syst` eme ` a 1 degr´ e de libert´ e constitue le mod` ele le plus simple d’une structure. En r´ ealit´ e les structures ne sont pas rigides, elles bougent et se d´ eforment dans plusieurs directions ; leur mouvement est donc constitu´ e de plusieurs inconnues (une infinit´ e). Cependant pour beaucoup de situations un mod` ele ` a 1 d.d.l. (quelquefois ` a 2 d.d.l.) permet une pr´ ediction tr` es satisfaisante du comportement de la structure, et pr´ esente l’avantage de pouvoir ˆ etre r´ esolu rapidement “` a la main”. De plus les ph´ enom` enes intervenant pour les syst` emes ` a 1 d.d.l. et leur interpr´ etation seront forc´ ement pr´ esents dans les syst` emes discrets (i.e. ` a n d.d.l.) et dans les syst` emes continus. Ce chapitre constitue donc une base essentielle pour la suite du cours. Il faut distinguer 2 syst` emes ` a 1 d.d.l. : le syst` eme masse-ressort, conservatif, et le syst` eme masse-ressort-amortisseur, dissipatif, pr´ esent´ es sur la Fig. 1. m x(t) F(t) k m x(t) F(t) k c Fig. 1. Mod´ elisations d’un syst` eme conservatif (gauche) et dissipatif (droite) L’utilisation d’un mod` ele ` a 1 d.d.l. intervient lorsque l’on ne s’int´ eresse qu’au mouvement d’un seul point de la structure en mouvement dans une seule direction de l’espace. C’est par exemple le cas lorsque les mouvements dans les autres directions sont n´ egligeables et lorsque un seul point pr´ esente un enjeu (par exemple il s’agit du seul point de mesure, ou bien le d´ eplacement de ce point est critique pour la survie de la structure). m x(t) F(t) k=??? Fig. 2. Mod´ elisation d’une plateforme offshore [8] Prenons l’exemple d’une plateforme offshore soumise au chargement dynamique du courant marin (Fig. 2). La partie sup´ erieure de la plateforme peut-ˆ etre consid´ er´ ee comme rigide, et le mouvement principal est horizontal. Le ressort repr´ esente la rigidit´ e de l’ensemble du treillis, la masse est celle de la partie sup´ erieure (la masse du treillis est n´ eglig´ ee). Remarquons qu’en 3D le mouvement horizontal a 2 composantes, il faudrait donc un mod` ele ` a 2 d.d.l. (translations sur x et y) ou 3 d.d.l. (translations sur x et y, et rotations autour de z) pour caract´ eriser plus pr´ ecis´ ement le mouvement de la plateforme. 1 m x(t) F(t) k=??? Fig. 3. Mod´ elisation d’un pont charg´ e par un v´ ehicule ` a l’arrˆ et [8] Un autre exemple (Fig. 3) est celui d’un pont soumis au passage de v´ ehicules dans lequel le dimensionnement se fait“` a la fl` eche maximale”. La quantit´ e d’int´ erˆ et est donc la fl` eche au milieu du pont. La raideur du ressort est la raideur ´ equivalente du pont, la masse est celle du v´ ehicule. Ici encore le mod` ele est tr` es simplifi´ e puisque la r´ ealit´ e implique la masse r´ epartie du pont (non n´ egligeable devant celle du v´ ehicule) et que le chargement est mobile sur le pont (on parle de charge mouvante). m x(t) F(t) k=??? m Fig. 4. Mod´ elisation d’un bˆ atiment Un autre exemple est celui d’un bˆ atiment de g´ enie civil (Fig. 4), susceptible de subir un s´ eisme. Le plancher est g´ en´ eralement consid´ er´ e comme ind´ eformable, tandis que les poteaux verticaux se d´ eforment et constituent donc une rigidit´ e. La quantit´ e d’int´ erˆ et est le mouvement lat´ eral. Remarquons ici que pour les bˆ atiments de plusieurs ´ etages un mod` ele acceptable serait un syst` eme ` a n d.d.l., n ´ etant le nombre d’´ etages. Un exemple tir´ e de la m´ ecanique est celui du d´ es´ equilibrage d’une roue de voiture. Le ph´ enom` ene revient ` a ´ etudier l’effet du mouvement d’une masse en rotation autour d’un axe, et d´ esax´ ee par rapport ` a l’axe de rotation. L’entraxe (distance entre la masse et l’arbre) en conjonction aux forces centrifuges cr´ ee des vibrations qui peuvent ˆ etre n´ efastes pour l’essieu ou les amortisseurs. On peut ´ egalement ´ evoquer les mouvements des soupapes, qui sont rappel´ ees par des ressorts de compression afin d’assurer l’´ etanch´ eit´ e de la chambre de combustion. 2 Obtention des ´ equations de mouvement Une fois le mod` ele masse-ressort(-amortisseur) obtenu, l’´ equation de mouvement d’un syst` eme ` a 1 d.d.l. s’obtient assez simplement par diverses m´ ethodes. Rappelons que toutes les m´ ethodes ci-dessous sont ´ equivalentes et d´ ecoulent de la 2e loi de Newton. 2.1 Principe fondamental de la dynamique (2e loi de Newton) ´ Enonc´ e : 2 Dans un r´ ef´ erentiel galil´ een, l’acc´ el´ eration ¨ x subie par un corps de masse m est proportionnelle ` a la r´ esultante des forces ext´ erieures exerc´ ee sur cette masse, et inversement proportionnelle ` a m. On se souvient plus g´ en´ eralement de cette loi sous la forme : m ¨ x = X fext (1) Les relations de comportement du ressort et de l’amortisseur s’´ ecrivent : fressort = −k x (2) famort = −c ˙ x (3) On obtient donc les ´ equations de mouvement suivantes : m ¨ x + k x = F (syst` eme conservatif) (4) m ¨ x + c ˙ x + k x = F (syst` eme dissipatif) (5) o` u F constitue la force d’excitation du syst` eme. Remarque : La relation de comportement du ressort (2) est ´ ecrite en consid´ erant que la position d’´ equilibre est x = 0. Ce n’est pas le cas puisqu’un ressort r´ eel a toujours une longueur ` a vide x0 avec une relation de comportement de la forme fressort = −k (x −x0). On peut toutefois effectuer le changement de variable ˜ x = x −x0 et la nouvelle inconnue ˜ x v´ erifie l’´ equation de mouvement (4) ou (5) selon le cas. Dans la suite on consid` erera toujours la position nulle comme position d’´ equilibre, ce qui ´ evite la lourdeur d’avoir x0 dans les ´ equations. 2.2 ´ Equations de Lagrange Les ´ equations de Lagrange sont un outil tr` es pratique pour obtenir les ´ equations de mouvement notamment dans le cas de syst` emes comprenant un param´ etrage compliqu´ e, par exemple en robotique. Il s’agit de l’expression du PFD sous une forme ´ energ´ etique. Dans la suite il est exprim´ e pour les syst` emes ` a plusieurs d.d.l. (de mani` ere ` a n’apprendre qu’une seule formule) puis est appliqu´ e sur les syst` emes ` a 1 d.d.l. 2.2.1 Petits mouvements autour d’une position d’´ equilibre stable pour un syst` eme conservatif On consid` ere un syst` eme conservatif param´ etr´ e par N degr´ es de libert´ es g´ en´ eralis´ es (i.e. ind´ e- pendants) not´ es qi, et soumis ` a des forces d´ erivant d’un potentiel V. Une position d’´ equilibre stable est caract´ eris´ ee par : ∂V ∂qi  q=0 = 0 ∀i ∈{1 . . .N} (6) Dans cette expression, les d.d.l. g´ en´ eralis´ es sont mesur´ es ` a partir de la position d’´ equilibre : ` a l’´ equilibre qi = 0, ∀i. Si ce n’est pas le cas, on peut effectuer le changement de variable ˜ qi = qi −qeq i et le nouveau d.d.l. g´ en´ eralis´ e ˜ qi prend alors la valeur nulle ` a la position d’´ equilibre. Expression de l’´ energie potentielle : 3 On peut effectuer un d´ eveloppement de Taylor autour de la position d’´ equilibre : V(q) = V(0) + N X i=1 qi ∂V ∂qi  q=0 + 1 2 N X i=1 N X j=1 qi qj  ∂2V ∂qi ∂qj  q=0 + O(q2) (7) Le premier terme V(0) de ce potentiel est une constante qu’on peut la choisir arbitrairement. On le prend en g´ en´ eral ` a 0. Si la position d’´ equilibre consid´ er´ ee est stable, le second terme est nul. Au second ordre, l’´ energie potentielle s’exprime donc comme suit : V(q) = 1 2 N X i=1 N X j=1 qi qj  ∂2V ∂qi ∂qj  q=0 = 1 2 N X i=1 N X j=1 qi qjkij (8) que l’on peut mettre sous la forme matricielle suivante : V(q) = 1 2qT K q (9) La matrice K est appel´ ee matrice de raideur ou matrice de rigidit´ e. Remarquons que ses termes kij sont sym´ etriques puisque la d´ erivation l’est : kij =  ∂2V ∂qi ∂qj  q=0 =  ∂2V ∂qj ∂qi  q=0 = kji (10) Remarquons ´ egalement que c’est une matrice positive, du au uploads/s3/ systemes-1ddl-vibration-equation-de-lagrange.pdf

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Administrationsyst` eponse solution equation forme
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