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Concours National Commun – Session 2017 – Filière PSI Épreuve de Physique II 1/

Concours National Commun – Session 2017 – Filière PSI Épreuve de Physique II 1/7 FIN. • On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. • Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. • Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées. • Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement indépendantes entre elles. L'énergie électrique : centrale hydroélectrique La prise électrique que nous connaissons tous, est l’aboutissement de tout un réseau de production et de transport de l’énergie électrique. Dans ce problème, on propose d'étudier de façon simplifiée le fonctionnement de quelques parties d'une centrale hydroélectrique. L’énergie hydraulique est transformée en énergie mécanique, par une turbine qui entraine un alternateur, lequel produit de l’électricité. Les différentes parties de ce problème sont largement indépendantes. 1. Questions préliminaires : statique des fluides On considère un fluide homogène incompressible de masse volumique µ f au repos dans un référentiel R(O, x, y, z,t) supposé galiléen. Un point M du fluide est repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z) dans le référentiel (R) auquel on associe la base (e ! x,e ! y,e ! z) . L’axe Oz coïncide avec la verticale ascendante et la côte z = 0 est prise au niveau de la surface du fond du fluide de hauteur hf . On désigne par P(M) la pression au point M et P 0 celle à la surface libre du fluide. Dans cette étude, le champ de pesanteur terrestre g ! = −ge ! z est supposé uniforme. 1.1. Qu’appelle-t-on un fluide homogène incompressible ? 1.2. Justifier que la dimension de la pression dans le système international est : [P]= ML−1T −2 , où M , L et T sont les dimensions respectives de la masse, de la longueur et du temps. 1.3. On considère une particule élémentaire de fluide de forme parallélépipédique de volume dτ = dxdydz . Montrer que la force de pression qui s’exerce sur cette particule s’écrit : dF ! " pres = −grad ! " !!!! (P)dτ . Écrire la condition d’équilibre de cette particule dans le référentiel (R) . 1.4. En déduire l’équation locale du fluide en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre. Quelle est la nature des surfaces isobares ? 1.5. Exprimer la pression P(M) à la côte z . 1.6. On tient compte dans cette question de la variation de la masse volumique µ f du fluide avec la pression. Le fluide est de l’eau supposée en équilibre isotherme. Sa masse volumique varie avec la pression selon la loi : Concours National Commun – Session 2017 – Filière PSI Épreuve de Physique II 2/7 FIN. µ f = µ0(1+α(P −P 0)) où α =1,0.10−10Pa−1 , µ0 =1,0.103kg.m−3 et P 0 =1,0.105Pa . On donne g = 9,8m.s−2 . 1.6.1. Établir l’expression de la pression P(M) à la côte z . 1.6.2. Que devient cette loi pour des profondeurs faibles ? 1.6.3. Calculer les valeurs de pression exacte et approchée au niveau de la surface du fond pour hf =100m . Conclusion. 1.6.4. Quelle erreur relative commet-on, quand on assimile l'eau à un fluide incompressible ? Dans la suite, le fluide est l’eau que l’on suppose homogène, incompressible et en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme. Sa masse volumique est µ f = µ0 . 2. Barrage-poids L’eau de hauteur hf est retenue par un barrage-poids de coupe transversale triangulaire (figure 1). Le parement amont du barrage (face côté eau) est un rectangle vertical de hauteur Hb . Le parement aval (face côté air) est incliné. On effectuera les calculs en considérant la coupe triangulaire du barrage. On note eb la largeur de base du barrage. Afin de simplifier les calculs, on prendra hf = Hb . figure 1 Le matériau constituant le barrage est homogène et a pour masse volumique dµ0 où d est la densité du matériau par rapport à l’eau. On supposera que seule la pression effective intervient (autrement dit, la pression atmosphérique est prise comme référence nulle). Le barrage est soumis aux trois forces : − les forces de pression de résultante F ! " pres exercées par l'eau ; − le poids P ! " du barrage ; − la réaction R ! " = Rxe " x + Rze " z du sol. La composante verticale Rz de la force exercée par le sol sur le barrage est de la forme : dRz dx = ax + b , où a et b sont des paramètres que l’on déterminera. 2.1. Établir l’expression des deux résultantes F ! " pres et P ! " . 2.2. En écrivant une première condition d’équilibre du barrage, déduire la composante horizontale Rx des forces exercées par le sol sur le barrage et une relation entre a et b . 2.3. Calculer, en O , le moment M !" ! pres(O) des forces de pression de l’eau, le moment M !" ! pes(O) des forces de pesanteur et le moment de la composante Rz . 2.4. En écrivant une deuxième condition d'équilibre du barrage, déterminer une autre relation entre a et b . b H O b e f h x z eau x e r Z e r barrage Concours National Commun – Session 2017 – Filière PSI Épreuve de Physique II 3/7 FIN. 2.5. Achever la détermination des paramètres a et b en fonction de µ0 , d , eb , hf et g . 2.6. Quel est le signe de dRz dx qui convient pour que le barrage ne se soulève pas ? En déduire une condition entre d , eb et hf . 3. Écoulement dans une conduite On étudie dans cette partie la distribution de vitesse et de pression dans la conduite entre le barrage et la turbine et on examine le rôle de l'injecteur. L'eau du lac artificiel, retenue par le barrage, alimente une centrale hydroélectrique située à la sortie d'une conduite (figure 2). La conduite cylindrique, de section S = 3m2 achemine l'eau du lac jusqu’à la turbine de la centrale. Elle a son départ situé à H −h = 40m en dessous de la surface libre de l'eau et se termine horizontalement à H =100m en dessous de cette surface par un injecteur (tubulure de section décroissante, figure 3) de section S' = 2m2 . figure 3 On négligera la variation du niveau d'eau du lac au cours de l'écoulement supposé permanent et on néglige tout frottement. La pression dans le jet à la sortie de l'injecteur est égale à P 0 . Le niveau de référence ( z' = 0) est la sortie de la conduite. 3.1. On rappelle que le long d’une ligne de courant, le fluide satisfait à la relation de Bernoulli : p+µ0 v2 2 +µ0gz' = cste . Préciser la signification des différents termes de cette relation ainsi que les conditions de sa validité. On suppose ces conditions vérifiées. 3.2. On ferme la vanne située à la sortie du barrage. Calculer littéralement et numériquement la pression P(M) en un point M situé au fond du lac. 3.3. On ouvre maintenant la vanne. L'eau s'écoule à la sortie de la conduite, dans l’air dont la pression est P 0 . 3.3.1. En utilisant la relation de Bernoulli sur une ligne de courant convenablement choisie, exprimer la vitesse vs de l’eau à la sortie de l’injecteur où l’eau se retrouve à la pression atmosphérique P 0 . Calculer numériquement la vitesse vs . injecteur ' z h H ' O Conduite Barrage eau figure 2 Vanne M × × N S ' S Concours National Commun – Session 2017 – Filière PSI Épreuve de Physique II 4/7 FIN. 3.3.2. Exprimer le débit massique Dm de l'eau et calculer sa valeur numérique. 3.3.3. Écrire l'équation de continuité dans les conditions de l’écoulement. En déduire l’expression de la vitesse vs ' de l'eau en un point situé avant la sortie de l'injecteur. Calculer sa valeur numérique. Que vaut la vitesse en d'autres points de la conduite ? 3.3.4. En utilisant la relation de Bernoulli, déterminer littéralement la pression P(N) au un point N de la conduit de côte z' . Tracer l’allure de la courbe donnant P(N) = P(z') . 3.3.5. Calculer littéralement et numériquement l'altitude h' de l'entrée de la conduite pour laquelle la pression s'annulerait. 3.3.6. Comparer h' et h . Conclure. 3.4. Afin d’examiner le rôle de l'injecteur, on suppose maintenant que la conduite n’est pas terminée par l'injecteur. 3.4.1. Quelle serait la vitesse à la sortie de la conduite dans ce cas ? 3.4.2. En utilisant la relation de Bernoulli, calculer littéralement et numériquement la nouvelle altitude h" de l'entrée uploads/s3/ e-ph2-psi2017.pdf