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4ème - Calcul littéral, équations COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE : (T :

4ème - Calcul littéral, équations COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE : (T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données et fonctions) Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3 T1 Connaître le vocabulaire, les déﬁnitions et les propriétés du cours N22 Remplacer la lettre par un nombre dans une expression littérale ; tes- ter une égalité N23 Développer un produit à l’aide de la règle de distributivité simple N24 Factoriser, réduire une somme à l’aide de la règle de distributivité simple N25 Appliquer la règle de suppression des parenthèses précédées d’un signe + ou d’un signe −. N26 Développer un produit en utilisant la règle de distributivité double N27 Résoudre une équation du premier degré à une inconnue N28 Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équa- tion du premier degré à une inconnue Taux de réussite : . .. . .. .. .. . .% Note du chapitre : . .. .. .. . .. ../20 Moyenne de la classe : . .. .. .. . .. ../20 ∗: cette compétence fait partie du socle commun. PE 1 Cours Maths - Deux points verts : Je sais très bien faire Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs Deux points rouges : Je sais pas faire du tout Légende du tableau de compétences : 12.1 Remplacer la lettre par un nombre dans une expression littérale ; tester une égalité Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont représentés par des lettres. Une même lettre désigne toujours un même nombre dans une expression littérale donnée. Par exemple : E = 4x2 −x +3 est une expression littérale dans laquelle un nombre est représenté par la lettre x On peut calculer la valeur de cette expression lorsque la lettre prend une valeur donnée. Par exemple, pour x = −2, on a E = 4×(−2)2 −(−2)+3 = 4×4+2+3 = 16+2+3 = 21 Tester si l’égalité 2x +4 = 13−x est vraie pour x = 3 • D’une part, le premier membre vaut 2×3+4 = 6+4 =10, • d’autre part le second membre vaut 13−3 =10 Comme les deux membres ont la même valeur, l’égalité est vériﬁée. 12.2 Développer un produit grâce à la règle de distributivité simple Développer un produit signiﬁe l’écrire sous la forme d’unesomme ou d’une différence. Déﬁnition Pour ce faire, on dispose d’un premier moyen : Soient k, a et b trois nombres relatifs. On a : k(a +b) = k × a +k ×b autrement dit, en simpliﬁant l’écriture, k(a +b) = ka +kb Développer grâce à la règle de distributivité simple Exemples : • 2(3+5x) = 2×3 + 2×5x = 6+10x • 5y(3−2y) = 5y ¡ 3+(−2y) ¢ = 5y ×3 + 5y ×(−2y) = 15y −10y2 PE 1 Cours Maths - 12.3 Factoriser, réduire une expression Factoriser une somme ou une différence signiﬁe l’écrire sous la forme d’un produit. Déﬁnition C’est donc l’opération "inverse" du développement : Soient k, a et b trois nombres relatifs ; on a ka +kb = k(a +b) autrement dit, en simpliﬁant l’écriture, ka +kb = k(a +b) Factoriser grâce à la règle de distributivité simple Exemples : • 5x +5y = 5(x + y) • 3b −5b = 3b +(−5)b = (3−5)b = −2b • 3x2 −x = x ×3x −x ×1 = x(3x −1) Réduire une expression littérale, cela consiste à effectuer la somme algébrique des termes "de même nature", aﬁn d’écrire cette expression avec le moins de termes possibles. Déﬁnition Exemples : • 5x −2+3x +7 = 5x +(−2)+3x +7 = 5x +3x +(−2)+7 = 8x +5 On a regroupé d’une part les "termes en x", d’autre part les "termes constants" • 5x2 + x −7x2 +5x −11 = 5x2 + x +(−7x2)+5x +(−11) = 5x2 +(−7x2)+ x +5x +(−11) = −2x2 +6x −11 On a regroupé entre eux les "termes en x2", les "termes en x", et enﬁn les "termes constants" 12.4 Règles de suppression des parenthèses précédées d’un signe +, d’un signe − Pour ajouter une somme algébrique écrite entre parenthèses, il sufﬁt d’additionner chaque terme de cette somme algébrique : Pour tous nombres relatifs a, b, c et d, on a a +(b +c −d) = a +b +c −d Parenthèses précédées d’un signe + Exemples : • 2x +(3+5x) = 2x +3+5x = 7x +3 • 5+(9x −1) = 5+9x −−1 = 9x +4 PE 1 Cours Maths - Pour soustraire une somme algébrique écrite entre parenthèses, il sufﬁt d’additionner les opposés de chacun des termes de cette somme algébrique : Pour tous nombres relatifs a, b, c et d, on a a −(b +c −d) = a −b −c +d Parenthèses précédées d’un signe − Exemples : • 2x −(3+5x) = 2x −3−5x = −3x −3 • 5−(9x −1) = 5−9x +1 = −9x +6 12.5 Double distributivité Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs ; on a : (a +b)(c +d) = ac + ad +bc +bd Règle de double distributivité Exemples : • (x +2)(x +5) = x × x + x ×5 + 2× x + 2×5 = x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10 • (3x +2)(x −5) = (3x +2)(x +(−5)) = 3x ×x + 3x ×(−5) + 2×x + 2×(−5) = 3x2 + (−15x) + 2x + (−10) = 3x2 −13x −10 12.6 Résoudre une équation du premier degré • Une équation est une égalité dans laquelle un nombre - appelé inconnue de l’équation - est repré- senté par une lettre. • S’il en existe, la (ou les) valeur(s) de l’inconnue pour la(les)quelle(s) l’égalité est vraie sont appelées solutions de l’équation. • Résoudre une équation consiste à trouver toutes ses solutions Déﬁnitions Exemple : 2x +3 = 11 est une équation, d’inconnue x. On dit qu’elle est du premier degré, car la plus grande puissance de x est 1. • x = 2 n’est pas une solution de cette équation ; en effet, on a 2×2+3 = 4+3 = 7 ̸= 11 • x = 4 est une solution de cette équation ; en effet, on a 2×4+3 = 8+3 = 11 PE 1 Cours Maths - Comment résoudre une équation ? On s’appuie sur deux règles de calcul sur les égalités : Soient a, b et c trois nombres relatifs. On ne change pas une égalité (c’est-à-dire qu’une égalité vraie reste vraie) lorsque : – on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à ses deux membres : Si a = b alors a +c = b +c et a −c = b −c – on multiplie (ou on divise) par un même nombre chacun de ses deux membres : Si a = b alors a ×c = b ×c et a c = b c Règles de calcul sur les égalités Application à la résolution d’une équation : Pour résoudre une équation de ce type, on doit isoler x dans un des membres de l’équation. x +7 = −2x −2 x +7+2x = −2x −2+2x 3x +7 = −2 3x +7−7 = −2−7 3x = −9 3x 3 = −9 3 x = −3 La solution de cette équation est −3 Vériﬁcation : −3+7 = 4 et −2×(−3)−2 = 4 +2x +2x −7 −7 ÷3 ÷3 x On commence par ajouter 2x aux deux membres de l’équation, pour éli- miner les x du second membre. y Ensuite on soustrait 7 aux deux membres de l’équation, pour élimi- ner les termes constants du premier membre. z On termine en divisant par 3 les deux membres de l’équation pour ﬁnir d’iso- ler l’inconnue. PE 1 Cours Maths - 12.7 Mettre en équation et résoudre un problème Toutes les résolutions de problèmes par mise en équation se déroulent selon un schéma en 4 étapes, qu’il faut impérativement respecter ; en voici un exemple : Enoncé : Deux enfants, Adrien et Béatrice, jouent aux billes. Adrien dit : "J’ai seize billes de moins que toi..." ; ce à quoi Béatrice répond : "J’en ai trois fois plus que toi !". Combien de billes possède Adrien ? Résolution : Etape 1 : choix de l’inconnue On note x le nombre de billes que possède Adrien. Etape 2 : mise en équation du problème La phrase "J’ai seize billes de moins que toi..." se traduit par "Béatrice possède x +16 billes". La phrase "J’en ai trois fois plus que toi !" se traduit par "Béa- trice possède 3x billes". On a donc l’équation x +16 = 3x Etape 3 : résolution de l’équation x +16 = 3x x +16−3x = 3x −3x −2x +16 = 0 −2x +16−16 = 0−16 −2x = −16 −2x −2 = −16 −2 x = 8 La solution de cette équation est 8 Vériﬁcation : 8+16 = 24 et 3×8 = 24 −3x −3x −16 −16 ÷(−2) ÷(−2) Etape 4 : Interprétation et uploads/s3/ calcul-litteral-et-equations-cours.pdf