Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

ÉLECTROMAGNÉTISME Préambule Ce sujet comporte deux parties indépendantes : - La

ÉLECTROMAGNÉTISME Préambule Ce sujet comporte deux parties indépendantes : - La première partie porte sur quelques aspects fondamentaux de l’électromagnétisme, notamment sur l’approximation des régimes quasi-stationnaires et ses conséquences sur la simplification des équations fondamentales de l’électromagnétisme. - La deuxième partie est dédiée à l’étude de la propagation guidée dans un câble coaxial. Chaque partie comporte de nombreuses questions indépendantes. Le candidat peut utiliser un résultat donné par le texte même s’il n’a pas été démontré. La plus grande importance sera donnée à la qualité de la rédaction et de la présentation. Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. FORMULAIRE Opérateurs vectoriels rot rotC ( )= grad divC ( )−ΔC Opérateurs vectoriels en coordonnées cylindriques divC = 1 r ∂rCr ( ) ∂r + 1 r ∂Cθ ∂θ + ∂Cz ∂z rotC = 1 r ∂Cz ∂θ −∂Cθ ∂z ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ur + ∂Cr ∂z −∂Cz ∂r ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ uθ + 1 r ∂rCθ ( ) ∂r −∂Cr ∂θ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ uz Δf = 1 r ∂ ∂r r ∂f ∂r ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 1 r2 ∂2 f ∂θ 2 + ∂2 f ∂z2 1 8 2 2 7 0 1 12 0 10 3 10 4 10 85 8 - - - s m c s kg·m·A π μ m F . ε ⋅ × = ⋅ × = ⋅ × = − − − Agrégation externe de physique 2008 : 05 Enoncé composition de physique (épreuve A) 2008.doc Page 1 sur 15 1 Première Partie Quelques aspects fondamentaux de l’électromagnétisme A. Des équations de Maxwell. I. Voici quelques-uns des plus éminents artisans de l’électromagnétisme classique : Coulomb, Ampère, Faraday, Maxwell, Hertz, Lorentz. Rappeler brièvement une des contributions de chacun à la construction de l’électromagnétisme. II. Enoncer les équations de Maxwell dans le vide en présence de charges et de courants. Pour chacune d’entre elles, en donner la forme intégrale. Suffisent-elles à rendre compte de tous les phénomènes électromagnétiques ? Si non, que faut-il leur adjoindre ? B. De l’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires L’objet de cette partie est de dégager précisément ce que recouvre l’approximation des régimes quasi-stationnaires en électromagnétisme (notée dorénavant ARQS). On commence par l’étude d’un exemple simple : la détermination du champ électromagnétique dans un condensateur plan en régime sinusoïdal forcé. x R z x y r θ z u r θ u r r u r O z z u r θ u r r u r O e Condensateur solénoïde 0 Q 0 I Figure 1. a Figure 1. b I. Condensateur plan en régime sinusoïdal forcé : première approche. On considère un condensateur plan constitué de deux armatures planes de forme circulaire, d’axe Oz et de rayon R, distantes de e (figure 1. a). L’espace interarmatures est vide et la charge totale stockée sur l’armature supérieure du condensateur est donnée par : ) exp( ) ( 0 t i Q t Q ω = , en notation complexe ( réel positif ). On suppose que 0 Q R >> e, de sorte que l’on négligera tout effet de bord . Vu la géométrie du problème, on travaille en coordonnées cylindriques r,θ,z ( ) d’axe Oz. Agrégation externe de physique 2008 : 05 Enoncé composition de physique (épreuve A) 2008.doc Page 2 sur 15 2 On s’intéresse ici à un régime non stationnaire de fonctionnement, en l’occurrence un régime sinusoïdal forcé de pulsation ω . On se propose ici de déterminer le champ électromagnétique ] , [ B E r r dans le condensateur par résolution directe d’une équation dans laquelle le couplage entre le champ électrique E r et le champ magnétique B r a disparu. 1. a. Par une analyse des symétries et invariances du problème, déterminer la forme a priori du champ électromagnétique ] , [ B E r r entre les armatures. Evaluer l’ordre de grandeur du rapport z r E E en supposant momentanément et en première approximation que 0 r r = E rot . Le fait de « négliger les effets de bords » signifie ici que Er Ez <<1, ce qu’on supposera dorénavant. b. Justifier qu’il est légitime, compte tenu des hypothèses faites, de chercher le champ électromagnétique ] , [ B E r r sous la forme : ( ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = θ u t r B B u t r E E z , , r r . 2. Montrer à partir des équations de Maxwell que la fonction E r,t ( ) vérifie entre les armatures l’équation : 0 1 1 2 2 2 2 2 = − + t E c r E r r E ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ . 3. On cherche des solutions complexes de la forme : E r,t ( )= E0e r ( )exp iωt ( ), où ω est la pulsation des oscillations et e 0 ( )=1. Etablir l’expression du champ du champ magnétique complexe ) , ( t r B en fonction de en utilisant l’équation de Maxwell appropriée. ) (r e 4. On définit la variable réelle u = ωr c . Etablir l’équation différentielle à laquelle obéit ( ) u e , qu’on ne cherchera pas à résoudre. La solution de cette équation s’écrit : ( ) ( ) ( ) ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 0 2 2 2 ! 1 k k k u k u e . 5. On désire maintenant trouver le développement perturbatif du champ électromagnétique ] , [ B E r r à l’intérieur du condensateur. Alors que précédemment, nous sommes partis d’une équation aux dérivées partielles éliminant le couplage entre E r et B r , nous cherchons ici une solution faisant apparaître ce couplage comme le cœur du problème. Bien évidemment, la forme du champ électromagnétique ] , [ B E r r est la même que précédemment (voir B.I.1b), puisque les hypothèses sont les mêmes. En particulier, les effets de bord sont négligés. Pour plus de commodité nous travaillons, comme ci-dessus, en notation complexe. L’idée fondamentale du traitement est la suivante : à l’ordre le plus bas le champ électrique entre les armatures est approximativement uniforme (comme en électrostatique) soit en notation complexe : z u t i E E r r ) exp( 0 0 ω = , où est réel. Mais ce champ 0 E z u t i E E r r ) exp( 0 0 ω = varie au cours du temps ; par conséquent, il crée un champ magnétique : θ u t r B B r r ) , ( 1 1 = . Ce champ θ u t r B B r r ) , ( 1 1 = engendre à son tour un champ Agrégation externe de physique 2008 : 05 Enoncé composition de physique (épreuve A) 2008.doc Page 3 sur 15 3 électrique z u t r E E r r ) , ( 2 2 = , qui crée lui-même un champ magnétique θ u t r B B r r ) , ( 3 3 = qui engendre z u t r E E r r ) , ( 4 4 = …etc.. . Les termes de rang plus élevé sont des termes correctifs par rapport aux termes de rang plus bas : cette méthode itérative est qualifiée de « perturbative ». a. Partant de la première expression approchée du champ électrique z u t i E E r r ) exp( 0 0 ω = , calculer le champ magnétique θ u t r B B r r ) , ( 1 1 = par application de l’équation de Maxwell- Ampère. b. La présence du champ magnétique modifie le champ électrique : le champ magnétique θ u t r B B r r ) , ( 1 1 = engendre un terme correctif z u t r E E r r ) , ( 2 2 = pour le champ électrique. De quel phénomène s’agit-il ? A l’aide de l’équation de Maxwell appropriée, calculer ce terme correctif z u t r E E r r ) , ( 2 2 = . On ne retiendra que la solution nulle sur l’axe : pourquoi ? c. Réitérer ce développement pour aboutir à θ u t r B B r r ) , ( 3 3 = puis z u t r E E r r ) , ( 4 4 = . d. Montrer alors que l’expression du champ électrique complexe ) , ( t r E à l’ordre 4 en c r ω est donnée par : E r,t ( )= E0 1−1 4 ωr c ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 + 1 64 ωr c ⎛ ⎝ uploads/s3/ formulaire-electromagnetisme 1 .pdf