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Suites et s´ eries de fonctions Gr´ egory Berhuy Table des mati` eres Motivatio

Suites et s´ eries de fonctions Gr´ egory Berhuy Table des mati` eres Motivations 5 Chapitre I. Convergence uniforme d’une suite de fonctions 11 I.1. Borne sup´ erieure 11 I.2. Convergence simple et uniforme des suites de fonctions 14 Chapitre II. Suites et s´ eries de fonctions 25 II.1. Suites de fonctions : th´ eor` emes g´ en´ eraux 25 II.2. Rappels sur les s´ eries num´ eriques 30 II.3. S´ eries de fonctions 34 Chapitre III. S´ eries enti` eres 43 III.1. Rayon de convergence d’une s´ erie enti` ere 43 III.2. Propri´ et´ es des s´ eries enti` eres, applications 50 Chapitre IV. S´ eries de Fourier 63 IV.1. Fonctions Ci par morceaux. 63 IV.2. S´ eries de Fourier et produit scalaire hermitien 68 IV.3. Les th´ eor` emes de convergence 73 3 Motivations Les s´ eries de fonctions trouvent leur utilit´ e dans la r´ esolution d’´ equations diﬀ´ erentielles, ou d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles. Bien souvent, ces ´ equations n’ont pas de solution ´ evidente exprimable ` a l’aide de fonc- tions usuelles. L’id´ ee est donc de chercher des solutions sous forme de s´ eries. Donnons un exemple. On consid` ere une barre d’un mat´ eriau homog` ene de longueur ﬁnie L (non nulle !), la temp´ erature initiale (au temps t = 0) ´ etant donn´ ee par une fonction ϕ : [0, L] →R, x 7→ϕ(x). On suppose que la temp´ erature est nulle aux extr´ emit´ es de la barre. Si D est le coeﬃcient de diﬀusion, l’´ equation r´ egissant la temp´ erature T(x, t) en chaque point ` a un instant t > 0 est donn´ ee par ∂T ∂t = D∂2T ∂x2 . Oublions d’abord la condition T(x, 0) = ϕ(x). Autrement dit, on cherche les solutions v´ eriﬁant seulement les conditions au bord T(0, t) = T(L, t) = 0. Cherchons d’abord une solution non nulle de la forme T(x, t) = f(x)g(t) (avec f et g v´ eriﬁant des hypoth` eses convenables). On a alors f(x)g′(t) = Df ′′(x)g(t), soit f ′′(x) f(x) = g′(t) Dg(t). Comme x et t sont deux variables ind´ ependantes, cela implique qu’il existe α ∈R tel que f ′′(x) f(x) = g′(t) Dg(t) = α. Ainsi, on a f ′′(x) −αf(x) = 0 et g′(t) −Dαg(t) = 0. On a donc g(t) = λeDαt pour λ ∈R, et donc g(t) ̸= 0 pour tout t ≥0 (car on cherche T non identiquement nulle). La contrainte T(0, t) = T(L, t) = 0 entraˆ ıne alors f(0) = f(L) = 0. Si α = 0, on a f ′′(x) = 0, et donc f(x) = ax + b. Les conditions f(0) = f(L) = 0 imposent alors facilement f(x) = 0 pour tout x, ce qui est ` a exclure par hypoth` ese sur T. 5 6 MOTIVATIONS Si α > 0, on pose α = ω2. Alors f est de la forme f(x) = ach(ωx) + bsh(ωx), a, b ∈R. Puisque f(0) = 0, on a a = 0. Puisque f(L) = 0, on a bsh(L) = 0. Comme sh(L) ̸= 0 puisque L ̸= 0, on a b = 0 et donc f est identiquement nulle, ce qui est ` a exclure. On a donc α < 0, et donc α = −ω2. Mais alors on a f(x) = a cos(ωx) + b sin(ωx), a, b, ∈R. Puisque f(0) = 0, on a a = 0, et puisque f(L) = 0 on a b sin(ωL) = 0. Puisque l’on cherche T non nulle, on a b ̸= 0 et donc sin(ωL) = 0. Ainsi ωL = πn pour n ≥0, et donc pour chaque n, on a une solution de la forme bn sin(nπ L x)e−π2n2 L2 Dt, o` u bn ∈R. Autrement dit, on a ∂ ∂t(bn sin(nπ L x)e−π2n2 L2 Dt) = D ∂2 ∂x2(bn sin(nπ L x)e−π2n2 L2 Dt). On remarque facilement que la somme d’un nombre ﬁni de solutions (encore une fois si on oublie la premi` ere condition) est encore une so- lution. Pour r´ esoudre l’´ equation initiale, avec toutes les conditions au bord, l’id´ ee est de prendre une somme inﬁnie de telles solutions. Au- trement dit, on cherche une solution de la forme T(x, t) = X n≥1 bn sin(nπ L x)e−π2n2 L2 Dt. A priori, une telle fonction est solution. En eﬀet, on a ∂T ∂t = X n≥1 ∂ ∂t(bn sin(nπ L x)e−π2n2 L2 Dt) = X n≥1 D ∂2 ∂x2(bn sin(nπ L x)e−π2n2 L2 Dt) = D∂2T ∂x2 Oui, mais...dans ce calcul, on a ´ echang´ e sans vergogne d´ erivation et X n≥1 . A priori, rien ne le justiﬁe, car X n≥1 est une s´ erie de fonctions, donc en fait la limite de la suite de fonctions (Sn), avec Sn = n X k=1 bk sin(kπ L x)e−π2k2 L2 Dt. En fait, en g´ en´ eral, l’interversion de la d´ erivation et de la limite est illicite. MOTIVATIONS 7 Par exemple, soit fn : R →R, x 7→sin(nx) n . Clairement, pour tout x ∈R, on a fn(x) →0 lorsque n →+∞. Ainsi, on a (limfn)′(0) = 0. Par contre, on a f ′ n(x) = cos(nx) et donc lim(f ′ n)(0) = 1. Pire, la limite de fonctions d´ erivables (mˆ eme inﬁniment d´ erivables) peut mˆ eme ne pas ˆ etre continue ! Par exemple, soit fn : [0, 1] →R, x 7→xn. Alors pour tout x ̸= 1, on a fn(x) →0 et fn(1) →1 lorsque n →+∞. D’o` u la question suivante : Question 1. Sous quelles conditions une suite de fonctions (fn) conti- nues/d´ erivables converge-t-elle vers une fonction continue/d´ erivable ? Mais laissons pour l’instant ces r´ ecriminations matheuses. Pour avoir l’existence d’une solution v´ eriﬁant T(x, 0) = ϕ(x), on doit n´ ecessairement avoir ϕ(x) = X n≥1 bn sin(nπ L x) pour tout x ∈[0, L]. La question naturelle est donc : quelles sont les fonctions ϕ qui peuvent se d´ ecomposer de la mani` ere pr´ ec´ edente ? Remarquons que le membre de droite est une fonction 2L-p´ eriodique impaire. Pour avoir une chance d’obtenir l’´ egalit´ e, il est naturel de prolonger ϕ en une fonction ψ : R →R 2L-p´ eriodique impaire de la fa¸ con suivante. On pose ψ(x) = −ϕ(−x) pour tout x ∈] −L, 0], et on prolonge ψ ` a R tout entier par p´ eriodicit´ e. La question revient donc ` a savoir si on peut d´ ecomposer le signal p´ eriodique ψ en s´ erie de sinus. Plus g´ en´ eralement, peut-on d´ ecomposer un signal f : R →C T- p´ erodique sous la forme f(x) = a0 2 + X n≥1 an cos(2nπ T x) + bn sin(2nπ T x), avec an, bn ∈C ? En utilisant les formules d’Euler, cela revient ` a savoir si on peut ´ ecrire f(x) = c0 + X n≥1 c−ne−2inπ T x + cne 2inπ T x = X k∈Z cke 2ikπ T x. 8 MOTIVATIONS Si n ∈Z, on a donc f(x)e−2inπ T x = X k∈Z cke 2i(k−n)π T x. On a alors Z T 0 f(x)e−2inπ T xdx = X k∈Z ck Z T 0 e 2i(k−n)π T xdx. Or, un simple calcul montre que , pour m ∈Z, on a Z T 0 e 2imπ T xdx = T si m = 0 0 sinon On obtient alors que cn = 1 T Z T 0 f(x)e−2inπ T xdx. On note cette derni` ere int´ egrale par cn(f). Remarquons que, l` a encore, rien ne justiﬁe que l’on puisse ´ echanger somme inﬁnie et int´ egrale. Encore une fois, il y a des contre-exemples. Par exemple, soit fn : [0, 1] →R, x 7→ 2nx 1 + n2x4. Clairement, pour tout x ∈[0, 1], on a fn(x) →0 lorsque n →+∞. On a donc Z 1 0 lim n fn(x)dx = 0. En revanche, on a Z 1 0 fn(x)dx = Arctan(n) →π 2 lorsque n →+∞. Question 2. Si (fn) est une suite de fonctions int´ egrables sur [a, b] convergeant vers f, sous quelles conditions a-ton l’´ egalit´ e lim n Z b a fn(x)dx = Z b a lim n fn(x)dx? Modulo ce point technique, on aboutit donc ` a la question suivante : Question 3. Si f : R →C est un signal T-p´ eriodique, a-t-on f(x) = X n∈Z cn(f)e 2inπ T x? La s´ erie de droite est appel´ ee s´ erie de Fourier associ´ ee ` a f. On v´ eriﬁe facilement qu’elle est aussi ´ egale ` a a0(f) 2 + X n≥1 an(f) cos(2nπ T ) + bn(f) sin(2nπ T ), MOTIVATIONS 9 o` u on a an(f) = 2 T Z T 0 f(x) cos(2nπ T x)dx, n ≥0 bn(f) = 2 T Z T 0 f(x) sin(2nπ T x)dx, n ≥1. Ce probl` eme a aussi un int´ erˆ et uploads/s3/ gregory-berhuy-suites-et-series-de-fonctions-lecture-notes-2015.pdf