DS no 1 - Corrig´ e Exercice 1 : a) Soit x ∈R. On suppose que √10x −1 −√4x + 5

DS no 1 - Corrig´ e Exercice 1 : a) Soit x ∈R. On suppose que √10x −1 −√4x + 5 = 2. Donc 10x −1 = 4 + 4√4x + 5 + (4x + 5), puis 4√4x + 5 = 6x −10, donc 2√4x + 5 = 3x −5. Enfin 4(4x + 5) = 9x2 −30x + 25 puis 9x2 −46x + 5 = 0. Le discriminant est ∆= 462 −4 × 45 = 442. Donc les racines sont (46 + 44)/18 = 5 et (46 −44)/18 = 1/9. Puis en synth` ese, on a pour x = 5, √ 49 − √ 25 = 2 et pour x = 1/9, p 1/9 − p 49/9 = −6/3 = −2. Donc 5 est l’unique solution. b) Soit x ∈R. On a : x6 −3x4 + 3x2 −1 = 27 ⇔(x2 −1)3 = 33 ⇔x2 −1 = 3 ⇔x2 = 4. Ainsi les solutions sont 2 et −2. c) Soit x ∈[5/2, +∞[. Si x < 4 alors x −4 < 0 ≤√2x −5 est toujours vraie. Si x ≥4 alors x −4 < √2x −5 ⇔x2 −8x + 16 < 2x −5 ⇔x2 −10x + 21 < 0. Les racines du polynˆ ome sont 3 et 7. Donc l’expression est strictement n´ egative dans ]3, 7[. L’ensemble des solutions est alors [5/2, 7[. d) Soit x ∈R −{9}. On calcul x2−x+1 x2+x+1 −x−5 x−9 = (x2−x+1)(x−9)−(x2+x+1)(x−5) (x2+x+1)(x−9) = (x2−x+1)(x−9)−(x2+x+1)(x−5) (x2+x+1)(x−9) = −6x2+14x−4 (x2+x+1)(x−9) = −2(x−2)(3x−1) (x2+x+1)(x−9). Cette expression est strictement positive sur ] −∞, 1/3[∪]2, 9[. Exercice 2 : a) L’assertion ∀a ∈Z, ∃b ∈Z, ∀c ∈Z, a + b = c est fausse. En effet sa n´ egation est ∃a ∈Z, ∀b ∈Z, ∃c ∈Z, a + b ̸= c est v´ erifi´ ee. On pose a = 0 ∈Z. Soit b ∈Z. On pose c = b + 1 alors a + b = b ̸= c. b) L’assertion ∀a ∈Z, ∀c ∈Z, ∃b ∈Z, a + b = c est vraie. Soit a ∈Z. Soit c ∈Z. On pose b = c −a. On a a + b = a + (c −a) = c. c) L’assertion ∀x ∈R, x2 −3x + 2 ≥0 ⇒x ≥2. est fausse. Sa n´ egation ∃x ∈R, x2 −3x + 2 ≥0 et x < 2 est v´ erifi´ ee par x = 0. d) L’assertion ∀n ∈N, (∃k1 ∈N, n = 3k1) ⇒(∃k2 ∈N, n = 6k2). est fausse. Sa n´ egation ∃n ∈N, (∃k1 ∈N, n = 3k1) et (∀k2 ∈N, n ̸= 6k2) est v´ erifi´ ee par n = 3. On pose k1 = 1, on a n = 3k1. Soit k2 ∈N. On a 6k2 est pair et n = 3 est impair donc n ̸= 6k2. e) L’assertion ∀ε > 0, ∃N ∈N, ∀n ≥N, −ε < sin(n) n3 < ε est vraie. Soit ε > 0. On pose N = E(ε−1/3) + 1 ∈N. Soit n ≥N. On a sin(n) n3 ≤n−3 ≤N −3 < ε. Donc −ε < sin(n) n3 < ε. f) L’assertion ∀a ∈Z, ∀c ∈Z, (a < c ⇒∃b ∈Z, a < b < c) est fausse. Sa n´ egation ∃a ∈Z, ∃c ∈Z, a < c et ∀b ∈Z, (a ≥b ou b ≥c) est v´ erifi´ ee par a = 0 et N.Provost PCSI1 2019-2020 c = 1. En effet, on a a < c. Soit b ∈Z. Si b ≤0 alors a ≥b. Si b > 0 alors b ≥1 = c car b est un entier. Probl` eme I : 1) a) On a ∆= A2 −4(−B) = A2 + 4B = 0. Donc B = −A2/4 = −(A/2)2. b) On d´ emontre par r´ ecurrence double sur n ∈N que un = n(A/2)n−1. Initialisation : Pour n = 0, u0 = 0 et pour n = 1, u1 = 1 = (A/2)0. H´ er´ edit´ e : Soit n ∈N tel que un = n(A/2)n−1 et un+1 = (n + 1)(A/2)n. On calcul un+2 = Aun+1 + Bun = A(n + 1)(A/2)n −(A/2)2n(A/2)n−1 = (A/2)n+1 (2(n + 1) −n) = (n + 2)(A/2)n+1. Conclusion : ∀n ∈N, un = n(A/2)n−1. 2) a) Les racines du polynˆ ome sont : α1 = A+ √ A2+4B 2 et α2 = A− √ A2+4B 2 . b) On d´ emontre par r´ ecurrence double sur n ∈N que un = (αn 1 −αn 2)/ √ ∆. Initialisation : Pour n = 0, u0 = 0 = (1 −1)/ √ ∆ et pour n = 1, u1 = 1 = α1−α2 √ ∆. H´ er´ edit´ e : Soit n ∈N tel que un = (αn 1 −αn 2)/ √ ∆ et un+1 = (αn+1 1 −αn+1 2 )/ √ ∆. On calcul un+2 = Aun+1 + Bun = A(αn+1 1 −αn+1 2 )/ √ ∆+ B(αn 1 −αn 2)/ √ ∆ = 1 √ ∆[αn 1(Aα1 + B) −αn 2(Aα2 + B)] = 1 √ ∆  αn+2 1 −αn+2 2  . En effet, P(αk) = α2 k −Aαk −B = 0 donc α2 k = Aαk + B pour k = 1 ou k = 2. Conclusion : ∀n ∈N, un = (αn 1 −αn 2)/ √ ∆. c) Les racines de P(X) = X2 −X −1 sont α1 = 1+ √ 5 2 et α2 = 1− √ 5 2 avec ∆= 5. Donc on trouve pour tout n ∈N, Fn = √ 5 5 h 1+ √ 5 2 n −  1− √ 5 2 ni . 3) a) On a P(X) = X2 −2X + 2 = (X −1)2 + 1 = (X −1 −i)(X −1 + i). Les racines sont 1 + i = √ 2eiπ/4 et 1 −i = √ 2eiπ/4. b) On d´ emontre par r´ ecurrence double sur n ∈N que un = 2n/2 sin(nπ/4). Initialisation : Pour n = 0, u0 = 0 = sin(0) et pour n = 1, u1 = 1 = √ 2 √ 2 2 . H´ er´ edit´ e : Soit n ∈N tel que un = 2n/2 sin(nπ/4) et un+1 = 2(n+1)/2 sin((n + 1)π/4). Notons θ = (n + 2)π/4 pour simplifier la lecture des calculs. On a : un+2 = 2un+1 −2un = 2(n+3)/2 sin((n + 1)π/4) −2(n+2)/2 sin(nπ/4) = 2(n+2)/2 √ 2 sin(θ −π/4) −sin(θ −π/2)  = 2(n+2)/2(sin θ −cos θ −0 + cos θ) = 2(n+2)/2 sin θ. Conclusion : ∀n ∈N, un = 2n/2 sin(nπ/4). N.Provost PCSI1 2019-2020 uploads/s3/ devoir-de-mathematiques-correction-pcsi-1.pdf

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