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1 Contrôle continu 2 Math II analyse Le 4 Avril 2011 Durée 1 heure Exercice 1.

1 Contrôle continu 2 Math II analyse Le 4 Avril 2011 Durée 1 heure Exercice 1. Soit la fonction numérique définie par ( ) ( ( )) ( ) 1°) Déterminer sur quel ensemble est définie, continue, dérivable ? 2°) Etudier la parité de et en déduire un intervalle d’étude . 3°) Calculer la dérivée de et exprimer les valeurs qui l’annulent sur de la manière la plus simple possible (Cette expression ne doit pas faire apparaitre de fonction hyperbolique réciproque). 4°) Déterminer les variations de sur . 5°) Calculer la limite en de ( ), sans préjuger qu’elle existe. 6°) Calculer la limite en de ( ) ( ), sans préjuger qu’elle existe. Que peut-on en déduire ? 7°) Dresser le tableau de variation et tracer sommairement son graphe. Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Résoudre ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 2 Exercice 3. Soit la fonction définie sur [ [ ] ] par ( ) (√ ) 1°) Montrer que est continue sur [ [ ] ]. Montrer que n’est pas prolongeable par continuité en . 2°) Calculer la dérivée de sur ] [ ] [. 3°) En déduire une expression plus simple de sur [ [ et sur ] ]. Allez à : Correction exercice 3 CORRECTION Correction exercice 1. 1°) Pour tout , ( ) donc ( ( )) est définie, continue et dérivable sur (par composée de fonctions continues et dérivables) et ( ) est définie, continue et dérivable sur 2°) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) est paire, on peut étudier sur . 3°) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 2 ( ) { ( ) ( ( ) ) { ( ) ( ) { ( ) Soit on connait la formule donnant ( ) en fonction du logarithme et ( ) ( √( ) ) ( √ ) ( √ ) ( ) ( ) Si on ne la connait pas, on pose ( ) ( ) ( ) Le discriminant vaut et les deux racines sont Si on ne cherche que les solutions ( ), il n’y a qu’une solution ( ) Conclusion : les valeurs positives ou nulle qui annule sont et ( ). 4°) Si ( ) alors ( ) ( ( ) (car est strictement croissante sur [ [) et donc ( ) Si ( ) alors ( ) ( ( )) (car est strictement croissante sur [ [) et donc ( ) Si est strictement positive, on déduit de tout cela le signe de la dérivée et donc les variations de Si ( ) est décroissante. Si ( ) est croissante. 5°) ( ) ( ( )) ( ) ( ) 6°) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( ( ) ( )) ( ) ( ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) On en déduit que la droite d’équation ( ) est asymptote à la courbe représentative de en . 7°) ( ( )) ( ( ( ))) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 Allez à : Exercice 1 Correction exercice 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Donc ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) Allez à : Exercice 2 Correction exercice 3. 1°) √ est définie et continue sur ] [ donc est définie et continue sur [ [ ] ]. √ ( ) √ ( ) Les limites à gauche et à droite de sont différentes donc n’est pas prolongeable par continuité en . 2°) On pose, pour tout ] [ ] [ ( ) √ ( ) √ √ ( ) √ √ ( ) (√ ) √ √ √ √ 3°) Sur ] [, ( ) √ donc il existe tel que ( ) ( ) 4 5 6 7 8 9 10 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 4 ( √ ) ( √ ( √ ) √ ) ( √ ) ( √ √ ) ( ) Et alors ( ) ( ) est continue en , donc ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) Et donc [ [ ( ) ( ) Sur ] [, ( ) √ donc il existe tel que ( ) ( ) ( √ ) ( √ ( √ ) √ ) ( √ ) (√ √ ) ( ) Et alors ( ) ( ) est continue en , donc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Et donc ] ] ( ) ( ) Allez à : Exercice 3 uploads/s3/ controle-intermediaire-printemps-2011-math-ii-analyse-correction.pdf