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1 UNIVERSITE HASSAN II FACULTE DES SCIENCES AIN CHOK MASTERS EMGBR & GVG1 & IIS

1 UNIVERSITE HASSAN II FACULTE DES SCIENCES AIN CHOK MASTERS EMGBR & GVG1 & IISPHE POLYCOPIE PROBABILITE STATISTQUES ET ANALYSE DES DONNEES Pr. Berrada Faouzi faouzi.berrada@gmail.com Edition : Mars 2021 2 SOMMAIRE PARTIE COURS ET EXEMPLES D’APPLICATIONS........................................................ 9 INTRODUCTION GENERALE .............................................................................................. 10 AVANT PROPOS CRITIQUE DES DONNÉES ET CLASSIFICATION DES ERREURS .. 12 1. Erreurs systématiques ....................................................................................... 12 2. Erreurs accidentelles ......................................................................................... 12 CHAPITRE 1 NOTIONS FONDAMENTALES EN STATISTIQUE DESCRIPTIVE ...................... 13 1. STATIQUE INFERENTIELLE OU INDUCTIVE..................................................... 13 2. VOCABULAIRE DE BASE .................................................................................... 13 CHAPITRE 2 PRESENTATIONS GRAPHIQUES DES DISTRIBUTIONS DES FREQUENCES .. 16 I. DONNEES QUALITATIVES OU QUANTITATIVES DISCRETES ........................... 16 I.1. Cas de données qualitatives ................................................................................. 16 1. Dépouillement et distribution des fréquences .................................................... 16 2. Diagramme en barres (ou en bâtons) ................................................................ 16 3. Diagramme en secteur (camembert) ................................................................. 17 I.2. Cas de données quantitatives discrètes ............................................................... 17 1. Dépouillement et distribution des fréquences .................................................... 17 2. Diagramme en barres (ou en bâtons) ................................................................ 17 3. Courbes cumulées croissantes et décroissantes .............................................. 18 II. DONNEES QUANTITATIVES CONTINUES......................................................... 18 II.1. Dépouillement et distribution des fréquences ....................................................... 18 1. Nombre de classes ............................................................................................ 18 2. Amplitude ou largeur des classes ...................................................................... 18 3. Limite des classes ............................................................................................. 19 4. Histogramme ..................................................................................................... 19 5. Courbes cumulées croissantes et décroissantes ou ogives .............................. 20 III. TABULATIONS CROISEE ET NUAGE DE POINTS ............................................ 20 CHAPITRE 3 PRESENTATIONS NUMERIQUES DES DONNEES STATISTIQUES TENDANCES CENTRALES, DE DISPERSION ET DE FORME .................................................................... 21 3 I. TENDANCE CENTRALE ......................................................................................... 21 I.1. Moyenne ou moyenne arithmétique d’un échantillon ............................................ 21 I.2. Moment d’ordre k .................................................................................................. 21 I.3. Médiane d’un échantillon ...................................................................................... 21 I.4. Les percentiles d’un échantillon ............................................................................ 22 I.5. Mode d’un échantillon ........................................................................................... 23 II. TENDANCE DE DISPERSION ............................................................................. 23 II.1. Etendue ................................................................................................................ 23 II.2. Ecart interquartile et écart interquartile relatif ....................................................... 23 II.3. Variance d’une population – Variance d’un échantillon ........................................ 23 II.4. Ecart type d’une population – Ecart type d’un échantillon .................................... 23 II.5. Coefficient de variation ......................................................................................... 24 III. CARACTERISTIQUES DE FORME : ASYMETRIE ET APLATISSEMENT .......... 24 III.1. Coefficient d’asymétrie ...................................................................................... 24 III.2. Coefficient d’aplatissement ................................................................................ 24 IV. THEOREME DE CHEBYSHEV ............................................................................ 25 V. CARACTERISTIQUES DES VARIABLES QUALITATIVES ................................. 25 V.1. Richesse ............................................................................................................ 25 V.2. Diversité d’une variable qualitative .................................................................... 26 V.3. Régularité ou équitabilité ................................................................................... 26 CHAPITRE 4 SERIES STATISTIQUES DOUBLES OU MULTIPLES ET REGRESSION LINEAIRE SIMPLE OU MULTIPLE ....................................................................................................... 27 I. SERIES STATISTIQUES DOUBLES ET LEURS CARACTERISTIQUES ............... 27 II. REGRESSION LINEAIRE SIMPLE – EQUATION DE REGRESSION LINEAIRE 28 III. LES SERIES STATISTIQUES MULTIPLES ET LEURS CARACTERISTIQUES . 29 IV. ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES : ACP ....................................... 31 IV.1. Principe de l’ACP............................................................................................... 31 IV.2. Procédé de détermination des composantes principales .................................. 31 CHAPITRE 5 INTRODUCTION A LA THEORIE PROBABILISTE RELATIONS PROBABILISTES ........................................................................................................................................... 33 4 I. APPROCHE INTUITIVE DES PROBABILITES ....................................................... 33 II. UNIVERS – EVENEMENT – PROBABILITE D’UN EVENEMENT ....................... 33 II.1. Univers Ω ou ensemble d’éventualités.................................................................. 33 II.2. Ensemble d’éventualités ....................................................................................... 33 II.3. Evènement ........................................................................................................... 33 II.4. Probabilité ............................................................................................................. 33 III. OPERATIONS EN PROBABILITE ........................................................................ 34 III.1. Loi de l’addition en probabilité ........................................................................... 34 1. Evènement non exclusif ou non incompatible ................................................... 34 2. Evènement mutuellement exclusifs ou incompatible ........................................ 34 3. Evènements mutuellement exclusifs et exhaustifs ........................................... 34 III.2. Loi de la multiplication ....................................................................................... 34 1. Evènements dépendants ................................................................................... 34 2. Evènements indépendants ................................................................................ 35 3. Probabilité d’évènements indépendants ............................................................ 35 4. Probabilité d’évènements dépendants : PROBABILITE CONDITIONNELLE .... 35 5. Théorème de Bayes .......................................................................................... 35 CHAPITRE 6 DISTRIBUTIONS DE PROBABILITE DISCRETES ............................................. 36 I. INTRODUCTION : STATISTIQUE/PROBABILITE ................................................... 36 II. VARIABLE ALEATOIRE ....................................................................................... 36 III. DISTRIBUTION DE PROBABILITE DISCRETE ................................................... 36 IV. CARACTERISTIQUES D’UNE VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE .................. 37 IV.1. Espérance mathématique .................................................................................. 37 IV.2. Variance ............................................................................................................ 37 V. LOI BINOMIALE ................................................................................................... 37 V.1. Expérience binomiale ........................................................................................ 37 V.2. Fonction de probabilité binomiale ...................................................................... 38 V.3. Distribution de probabilité de la loi binomiale .................................................... 38 V.4. Espérance mathématique et variance d’une distribution binomiale ................... 39 VI. LOI HYPERGEOMETRIQUE ................................................................................ 39 5 VI.1. Fonction de probabilité de la loi hypergéométrique ........................................... 39 VI.2. Distribution de probabilité de la loi hypergéométrique ....................................... 39 VI.3. Espérance mathématique et variance d’une loi hypergéométrique ................... 39 VII. LOI MULTINOMIALE ............................................................................................ 40 VIII. LOI DE PASCAL OU LOI BINOMIALE NEGATIVE ........................................... 40 IX. LOI DE POISSON ................................................................................................. 41 IX.1. Propriétés d’une expérience de Poisson ........................................................... 41 IX.2. Fonction de probabilité de Poisson ................................................................... 41 IX.3. Espérance mathématique et variance d’une loi de Poisson .............................. 41 CHAPITRE 7 DISTRIBUTIONS DE PROBABILITE CONTINUES ............................................ 43 I. INTRODUCTION : VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE ........................................ 43 I.1. Définition ............................................................................................................... 43 I.2. Densité de probabilité ........................................................................................... 43 I.3. Fonction de répartition .......................................................................................... 43 I.4. Espérance mathématique et variance d’une variable aléatoire continue : ............ 44 I.5. Moment centré et moment non centré d’une variable aléatoire continue : ............ 44 II. LOI UNIFORME .................................................................................................... 44 II.1. Densité de probabilité de la loi uniforme ............................................................... 44 II.2. Fonction de répartition d’une loi uniforme ............................................................. 44 II.3. Espérance mathématique et variance d’une loi uniforme ..................................... 44 III. LOI EXPONENTIELLE ......................................................................................... 45 IV. LOI NORMALE ..................................................................................................... 46 IV.1. Conditions d’application d’une loi normale ........................................................ 46 IV.2. Densité de probabilité d’une loi normale ............................................................ 46 IV.3. Espérance et variance mathématique de la loi normale .................................... 47 IV.4. Loi normale centrée réduite ............................................................................... 47 IV.5. Approximation d’une loi binomiale par la loi normale......................................... 47 V. LOI DE KHI CARRE ............................................................................................. 48 V.1. Définition ........................................................................................................... 48 VI. LOI DE FISHER-SNEDECOR .............................................................................. 49 6 VII. LOI DE STUDENT ................................................................................................ 49 CHAPITRE 8 ESTIMATION PONCTUELLE ET DISTRIBUTIONS D’ECHANTILLONNAGE D’UNE MOYENNE ET D’UNE PROPORTION ................................................................................... 50 I. PRINCIPE GENERAL DE L’ESTIMATION .............................................................. 50 I.1. Echantillonnage simple ......................................................................................... 50 1. Echantillonnage simple à partir d’une population finie ....................................... 50 2. Echantillonnage simple à partir d’une population infinie .................................... 50 I.2. Estimation ponctuelle et distribution d’échantillonnage ......................................... 50 1. Distribution d’échantillonnage ............................................................................ 50 2. Estimation ponctuelle ........................................................................................ 51 I.3. Propriétés des estimateurs ................................................................................... 51 1. Estimateur non biaisé ........................................................................................ 51 2. Estimateur efficace ............................................................................................ 51 3. Estimateur convergent ....................................................................................... 51 II. DISTRIBUTION D’ECHANTILLONNAGE D’UNE MOYENNE .............................. 51 II.1. Caractéristiques de la distribution d’échantillonnage de la moyenne.................... 51 II.2. Forme de la distribution d’échantillonnage de la moyenne : théorème central limite : ............................................................................................................................. 52 III. DISTRIBUTION D’ECHANTILLONNAGE D’UNE PROPORTION ........................ 52 III.1. Caractéristiques de la distribution d’échantillonnage de la proportion ............... 52 III.2. Forme de la distribution d’échantillonnage de la proportion .............................. 53 CHAPITRE 9 ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE ET TAILLE D’UN ECHANTILLON ................................................................................................................... 54 I. ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE DE LA MOYENNE D’UNE POPULATION .................................................................................................................. 54 I.1. Cas où l’écart type σ est connu ............................................................................ 54 I.2. Cas où l’écart type σ est inconnu.......................................................................... 54 I.3. Détermination de la taille d’un échantillon ............................................................ 55 II. ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE DE LA PROPORTION D’UNE POPULATION ................................................................................................................ 55 II.1. Estimation par intervalle de la proportion .............................................................. 55 7 II.2. Détermination de la taille d’un échantillon ............................................................ 56 III. ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE DE LA MEDIANE ................ 56 IV. ................................................................................................................................... 56 V. ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE DE LA VARIANCE .............. 56 CHAPITRE 10 TESTS D’HYPOTHESES ............................................................................... 57 I. PRINCIPE D’UN TEST D’HYPOTHESE .................................................................. 57 II. COMMENT FORMULER LES DEUX HYPOTHESES H0 ET H1 ........................... 57 III. ERREURS DE PREMIERE ET DE DEUXIEME ESPECE .................................... 58 III.1. Mise en évidence des deux types d’erreurs dans un test statistique ................. 58 III.2. Schématisation des deux risques d’erreurs ....................................................... 58 IV. DEMARCHE A SUIVRE DANS L’ELABORATION D’UN TEST ............................ 59 V. TESTS DE COMPARAISON ET REGLE DE DECISION ..................................... 59 V.1. Test sur la moyenne, cas où l’écart type σ est connu ....................................... 59 V.2. Test sur la moyenne, cas où l’écart type σ est inconnu ..................................... 59 V.3. Test sur la proportion ......................................................................................... 60 V.4. Test sur la variance d’une population normale .................................................. 61 VI. COMPARAISON DE DEUX MOYENNES D’ECHANTILLONS NON APPARIES . 61 VI.1. Cas où les deux écarts-type σ1 et σ2 sont connus ............................................. 61 VI.2. Cas où les deux écarts-type σ1 et ou σ2 sont inconnus ..................................... 62 VII. COMPARAISON DE DEUX MOYENNES D’ECHANTILLONS APPARIES .......... 63 VIII. COMPARAISON DE DEUX PROPORTIONS ................................................... 64 IX. TEST D’EGALITE DE DEUX VARIANCES .......................................................... 64 CHAPITRE 11 TEST D’AJUSTEMENT ET TABLEAU DE CONTIGENCE ...................... 65 I. TEST DE CONFORMITE ENTRE DEUX DISTRIBUTIONS : TEST D’AJUSTEMENT 65 II. TEST D’INDEPENDANCE DANS UN TABLEAU DE CONTIGENCE ................... 66 CHAPITRE 12 INFERENCES EN REGRESSIONS ................................................................. 68 I. TEST SUR LE COEFFICIENT DE CORRELATION LINEAIRE ............................... 68 I.1. Distribution d’échantillonnage du coefficient de corrélation linéaire ...................... 68 8 II. INFERENCE EN REGRESSION LINEAIRE SIMPLE ........................................... 69 II.1. Estimation des coefficients de la régression linéaire simple ................................. 69 II.2. Résidu et mesure de dispersion ........................................................................... 69 II.3. Distribution d’échantillonnage du second coefficient de régression b1 ................. 70 II.4. Inférence sur le paramètre β0 ............................................................................... 70 II.5. Estimation de la covariance de b0 et b1 ................................................................ 70 II.6. Inférence sur la valeur de Y connaissant X : E(Yh) – Intervalle d’estimation ........ 70 II.7. Prévision de Y pour une nouvelle valeur de X : intervalle de prévision ................. 71 II.8. Analyse de la variance dans la régression uploads/s3/ polycope2021-1.pdf