#6 Relations d'équivalence Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gusta
#6 Relations d'équivalence Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel. Exercice 1. ˇ “) Déterminer l'erreur dans le raisonnement suivant : "Si la relation binaire R sur E est symétrique et transitive, alors elle est ré exive car pour tout (x, y) ∈E2, on a xRy ⇒yRx et comme maintenant xRy et yRx, par transitivité, xRx". Exercice 2. ˇ “) Dans le plan P d'origine O, on dé nit pour tout couple de points ∀(M, N) ∈P2 par MRN ⇔ O, M, N sont alignés. Est-ce une relation d'équivalence ? Si oui, quelles en sont les classes ? Exercice 3. ˇ “) Soit un ensemble non vide E. Quelles sont les relations binaires qui soient à la fois ré exives, symé- triques et antisymétriques ? Exercice 4. ˇ “( Soient E et F deux ensembles et f ∈F E. Soit R la relation dé nie sur E par xRy ⇔ f(x) = f(y). 1) Montrer que R est une relation d'équivalence sur E. 2) Soit a ∈E. Déterminer la classe d'équivalence de a si f est injective. 3) Démontrer que si f n'est pas injective, il existe au moins une classe qui contient deux éléments ou plus. Exercice 5. Soit E un ensemble et P(E) l'ensemble des parties de E. ∀(A, B) ∈P(E)2, ARB ⇔ A = B ou A = B. La relation est-elle une relation d'équivalence ? Exercice 6. ˇ “( Soit E l'ensemble des droites du plan euclidien R2. On considère la relation // sur E dé nie par la parallélisme de deux droites. 1) Montrer que // est une relation d'équivalence. 2) Montrer que l'ensemble des classes d'équivalence est en bijection avec les droites passant par l'origine. Exercice 7. ˇ “ Soit E un ensemble ni non vide et x un élément xé de E. La relation binaire suivante sur P(E) est-elle une relation d'équivalence ? ARB ⇔ (x ∈A ∩B) ∨(x ∈A ∩B) Exercice 8. ˇ “ (Cachan 2000) Un must ! Soit R une relation d'équivalence sur un ensemble E ̸= ∅. Pour x ∈E, on note ˚ x la classe d'équivalence de x modulo R. Soit (x, y) ∈E2. 1) Montrer la sorite : 25 septembre 2018 1 Thierry Sageaux Relations d'équivalence i. xRy ii. ˚ x = ˚ y iii. ˚ x ∩˚ y ̸= ∅ iv. x et y appartiennent à la même classe d'équivalence. 2) En déduire que si (x, y) ∈E2, on a ˚ x ̸= ˚ y ⇔ ˚ x ∩˚ y = ∅ Soit R la relation binaire dé nie dans R par xRy ⇔ xey = yex 3) Montrer que R est une relation d'équivalence. 4) Préciser, pour x ∈R, le nombre d'éléments dans ˚ x, classe de x modulo R. Exercice 9. ˇ “ Soit R la relation dé nie sur l'ensemble des nombres réels par : aRb si et seulement si a3 −b3 = a −b 1) Démontrer que R est une relation d'équivalence. 2) Déterminer les classes d'équivalence. Exercice 10. ˇ “ On considère dans N × N la relation dé nie par : (x, x′)R(y, y′) si et seulement si x + y′ = x′ + y. Montrer que R est une relation d'équivalence. Donner la classe d'équivalence de (1; 2). Exercice 11. ˇ “ Sur R2, on dé nit la relation binaire (x, y)R(z, t) ⇔ xy = zt. 1) Montrer que R est une relation d'équivalence. 2) Quelles sont les classes d'équivalence de R ? 3) Si l'on impose en plus xz ≥0, a-t-on toujours une relation d'équivalence ? Exercice 12. Nombre de relations d'équivalence Soit Rn le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à n éléments. 1) Trouver une relation de récurrence entre Rn et les Rk, k < n ( xer un élément, et raisonner sur la classe d'équivalence de cet élément). 2) Calculer Rn pour n ≤6. Exercice 13. Equivalence entre fonctions Soient E, F, deux ensembles non vides. On dé nit deux relations sur X = F E par : f ∼g ⇐ ⇒ ∃φ : F − →F bijective tq g = φ ◦f, f ≡g ⇐ ⇒ ∀x, y ∈E, f(x) = f(y) ⇐ ⇒g(x) = g(y) . 1) Montrer que ce sont des relations d'équivalence. 2) Montrer que f ∼g ⇒f ≡g. 3) On suppose f ≡g. Montrer que f ∼g dans les cas suivants : a) F est ni et f est surjective. b) F est ni et f est quelconque. c) E est ni. 4) Chercher un contrexemple pour E = F = N. Exercice 14. Soient E et F deux ensembles et f ∈F E. Soit R la relation dé nie sur E par xRy ⇔ f(x) = f(y). 1) Montrer que R est une relation d'équivalence sur E. 2 Thierry Sageaux Relations d'équivalence 2) Soit a ∈E. Déterminer la classe d'équivalence de a si f est injective. 3) Démontrer que si f n'est pas injective, il existe au moins une classe qui contient deux éléments ou plus. 4) Exemples d'applications f : a) Soit f dé nie sur R par f(x) = x2 −x. Décrire la classe d'équivalence d'un réel a. b) Soit f dé nie sur R2 par f(x, y) = x −y. Déterminer la classe d'équivalence de (a, b) ∈R2 puis en donner une interprétation géométrique. Exercice 15. Parties saturées pour une relation d'équivalence Soit ∼une relation d'équivalence sur un ensemble E. Pour A ⊂E, on dé nit s(A) = S x∈A ˙ x. 1) Comparer A et s(A). 2) Simpli er s(s(A)). 3) Montrer que : ∀x ∈E, on a (x ∈s(A)) ⇐ ⇒( ˙ x ∩s(A) ̸= ∅). En déduire s(E \ s(A)). 4) Démontrer que s S i∈I Ai = S i∈I s(Ai) et s T i∈I Ai ⊂T i∈I s(Ai). 5) Donner un exemple d'inclusion stricte. Exercice 16. Parties saturées pour la relation d'équivalence associée à f Soit f : E →F une application, et S = {X ⊂E tq f −1(f(X)) = X}. 1) Pour A ⊂E, montrer que f −1(f(A)) ∈S. 2) Montrer que S est stable par intersection et réunion. 3) Soient X ∈S et A ⊂E tels que X ∩A = ∅. Montrer que X ∩f −1(f(A)) = ∅. 4) Soient X et Y ∈S. Montrer que X et Y \ X appartiennent à S. 5) Montrer que l'application ϕ : S − → P(f(E)) A 7− → f(A) est une bijection. Exercice 17. Soient E et F deux ensembles et f : E − →F une application. On dé nit une relation R sur E en posant, pour tout(x, x′) ∈E × E, xRx′ ⇔ f(x) = f(x′). 1) Est-ce une relation d'équivalence ? 2) Quelles en sont les classes ? A quelle condition les classes sont des singletons ? Exercice 18. Congruence des carrés modulo 5 On dé nit la relation ∼sur Z par x ∼y ⇐ ⇒x2 ≡y2 [5]. 1) Déterminer l'ensemble quotient. 2) Peut-on dé nir une addition quotient ? une multiplication quotient ? Exercice 19. Produit cartésien Soient deux relations d'équivalence : R sur E, et S sur F. On dé nit sur E × F : (x, y) ∼(x′, y′) ⇐ ⇒xRx′ et ySy′. 1) Véri er que ∼est une relation d'équivalence. 2) Soit φ : E × F − → (E/R) × (F/S) (x, y) 7− → ( ˙ x, ˙ y) Démontrer que φ est compatible avec ∼, et que l'application quotient associée est une bijection. Exercice 20. X ∪A = Y ∪A Soit E un ensemble et A ⊂E. On dé nit la relation sur P(E) : X ∼Y ⇐ ⇒X ∪A = Y ∪A. 3 Thierry Sageaux Relations d'équivalence 1) Montrer que c'est une relation d'équivalence. 2) Soit φ : P(E) − → P(E \ A) X 7− → X \ A Montrer que φ est compatible avec ∼, et que l'application quotient associée est une bijection. Exercice 21. Équivalences sur EE Soit E un ensemble non vide. On considère les relations sur F = EE : f ∼g ⇐ ⇒∃n ∈N∗tq f n = gn, f ≈g ⇐ ⇒∃m, n ∈N∗tq f n = gm, f ≡g ⇐ ⇒f(E) = g(E). 1) Montrer que ∼, ≈, ≡sont des relations d'équivalence. 2) Pour f ∈F, on note f ∼, f ≈, f ≡les classes d'équivalence de f modulo ∼, ≈, ≡. a) Comparer f ∼, f ≈. b) Montrer que toute classe d'équivalence pour ≈est réunion de classes d'équivalence pour ∼. c) Que pouvez-vous dire de f s'il existe g ∈f ≈injective ? surjective ? d) Même question avec f ≡. Exercice 22. Relation d'équivalence quotient Soient R et S deux relations d'équivalence sur un ensemble E, telles que : ∀x, y ∈E, xRy ⇒xSy. On dé nit ˙ S sur E/R par : ˙ x ˙ S ˙ y ⇐ ⇒xSy. Véri er que ˙ S est une relation d'équivalence, puis dé nir une bijection entre (E/R)/ ˙ S et E/S. Exercice 23. Complétion d'une relation ré uploads/S4/ 006.pdf
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- Publié le Apv 29, 2022
- Catégorie Law / Droit
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